圆锥曲线背景下的最值问题

1、圆锥曲线背景下的最值问题一、函数法(一)设点转化为二次函数求最值例 1.在抛物线 y=4x2 上求一点，使它到直线 y=4x-5 的距离 最短。解：设抛物线上的点 P (t , 4t2 )，点P到直线4x-y-5=0 的距离d=，当t= 时，dmin=，故所求点为(,1)。例2.已知曲线y2=2x， ( 1)设点A的坐标为(，0)，求 曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA| ； ( 2)设点 A的坐标为(a, 0) a R求曲线上点到点 A距离最小值d,并 写出d=f (a)的函数表达式。解：(1 )设M(x, y)是曲线上任意一点，则 y2=2x (x0)|MA|2= (x- )

2、2+y2= (x- ) 2+2x= (x+)2+v x0 |MA|2mi n= 所求P点的坐标是(0, 0)，相应的距离是|AP|= o(2)设M(x, y)是曲线上任意一点，同理有|MA|2= (x-a ) 2+y2= (x-a ) 2+2x=x- (a-1 ) 2+ (2a-1 ), x0。综上所述， 有d=(当a1时)|a| (当a0且x1+x20,解之得12。点评：函数法求最值其核心是函数思想。 我们要结合题目条 件,灵活选取设点方式,把要求的条件转化为我们熟悉的二次函 数，三角函数或较简单的复合函数， 利用已熟知的函数知识解决 最值问题。该类题涉及的知识点多，题型多样，这就要求学生熟

3、 练掌握各类初等函数及复合函数求值域的方法， 具备较强的解题 的综合能力。这类题属于圆锥曲线最值中的最为常见的一种， 涉 猎点很多，难度较大。二、数形结合法(一)利用圆锥曲线定义例7.已知椭圆+=1, A (4, 0) , B (2, 2)是椭圆内的 两点，P是椭圆上任一点，求：(1)求|PA|+|PB|=1的最小值； (2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值。解：(1) A为椭圆的右焦点。作 PQL右准线于点 Q则由 椭圆的第二定义=e=， |PA|+|PB|=|PQ|+|PB| 。问题转化 为在椭圆上找一点P,使其到点B和右准线的距离之和最小，很 明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的

4、交点，最小值为。(2)由椭圆的第一定义，设 C为椭圆的左焦点，贝V|PA|=2a- |PC| |PA|+|PB|=2a -|PC|+|PB|=10+(|PB|-|PC| )。根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC| bo）中心的弦，椭圆的左焦点为F1 （-C，0），则厶F1AB的面积最大为（）A.bc B.ab C.ac D.b2解析：由椭圆对称性知道 0为AB的中点，则 F1OB的面积 为AF1AB面积的一半。又|0F1|=c， F10B边0F1上的高为yB， 而yB=b则S最大值为be。点评：抓住 F1AB中|0F1|=c为定值，

5、以及椭圆是中心对称 图形解题。点评：数形结合的思想方法是解析几何中最重要的思想方法 之一。在解决求最值问题时，我们应先从几何的直观图形出发， 根据图形的几何性质洞察最值出现的位置，再从代数运算入手， 建立某种几何量的代数表达式， 然后利用解决代数问题的最值方 法解决问题。三、利用基本不等式 列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。例9.已知椭圆+y2=1, F1, F2为其两焦点，P为椭圆上任 一点。求：( 1)|PF1|PF2| 的最大值；( 2)|PF1|2+|PF2|2 的 最小值。解：设 |PF1|=m , |PF2|=n，贝U m+n=2a=4 |PF1|PF2|=mn

6、42-2X4=8。例10.已知圆C: (x-a ) 2+ (y-b ) 2=8 (ab0)过坐标原点，则圆心C到直线L:+ =1距离的最小值为。解：圆C过原点，则a2+b2=8。圆心C (a，b)到直线I : ax+by-ab=O的距离d=,所以圆心到直线L距离的小值 为。点评：利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种 方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：( 1)每一项要取正值；( 2)不等式的一边为常数；( 3)等号 能够成立。 其中正确应用 “等号成立”的条件是这种方法关键。圆锥曲线最值问题体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、 方程、平面向量等代数知识的横向联系，