圆锥曲线中的定点问题

1、圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点， 也是圆锥 曲线问题中的一个难点。解决这个难点没有常规的方法， 但解决 这个难点的基本思路是明确的， 定点问题必然是在变化中所表现 出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、 数 量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量 所影响的某个点，就是要求的定点。化解这类问题难点的关键就 是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等 式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。题型一、直线过定点问题例型1点A为双曲线C: x2- =1的右顶点，直线 MN不过 点A交C于M N两点，若AML AN求证：直

2、线 MN过定点，并 求出该定点的坐标。解：当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y=kx+m 设 M（x1，y1），N（x2，y2）则由 y=kx+m2x2-y2=2 得（2-k2） x2-2kmx-m2-2=0 x1+x2=，x1x2= 由？（ k2+1）x1x2- （ km-1）（ x1+x2） +m2+1=0得 3k2+2km-m2=0所以k=或k=-m （舍去）此时直线MN过定点P（-3，0）当直线MN垂直于x轴时易知直线 MN也过定点P (-3 , 0)所以直线MN过定点P (-3 , 0);评注：经典题型，让学生了解斜率之积、斜率之和为定值时求定点的解法。可以推广一般结论：不

3、过圆锥曲线的顶点 A的直 线与圆锥曲线相交于 M N两点，若直线AM AN的斜率之积、斜 率之和为定值，则直线 MN过定点。变式1:已知椭圆C:+=1( ab0)的离心率e=，左、右焦点分别为F1, F2,点P(2，)，点F2在线段PF1的中垂 线上.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线I : y=kx+m与椭圆C交于M N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为a , B,且a + p = n，试问直线I是否 过定点？若过，求该定点的坐标 .题型二、曲线过定点例2.已知直线y=-x+1与椭圆 + =1 ( ab0)相交于 A B两点，且OALOB.(其中0为坐标原点)求证：不论 a、b如何

4、变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P,并求点P的坐标。解：由 - =1y=-x+1得( a2+b2) x2-2a2x+a2 ( 1-b2 ) =0.由 =( -2a2 ) 2-4a2 (a2+b2) (1-b2 ) 0,整理得 a2+b21. 设 A (x1 , y1) , B (x2, y2)，贝U x1+x2=，x1x2=.v OAL OB 二 x1x2+y1y2=0,即卩 2x1x2- (x1+x2) +1=0. - +1=0.整理得 a2+b2-2a2b2=0.由a2+b2-2a2b2=0.，得 + =1,则不论 a、b如何变化， 椭圆恒过第一象限内的定点(,).评注：本类题由已知条件

5、 0乩0B经过转化找到满足曲线方 程椭圆中 a， b 的关系式 a2+b2-2a2b2=0. ，因为椭圆恒过一定点， 所以将关系式转化为椭圆方程的一般形式， 可从一般形式中得到 这一定点。变式3:椭圆C: x2+=1过点S (- , 0)的动直线I交椭 圆C于A, B两点，试问：在直角坐标平面内是否存在一个定点 T,使得无论直线I如何转动，以为AB直径的圆恒过点T?若存 在，求出点的T坐标；若不存在，则说明理由。题型三、定点与定值综合例3.已知椭圆E的中心在原点，焦点在 x轴上，椭圆上的 点到焦点的距离的最小值为-1，离心率e=.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 过点(1, 0)作直线I交E

6、于P, Q两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点 M使？为定值？若存在，求出这个 定点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)椭圆E的方程为+y2=1.(2)假设存在符合条件的点 M(m, 0),设 P(x1, y1),Q(x2, y2),则=(x1-m, y1) , = ( x2-m, y2), ? = ( x1-m)(x2-m) +y1y2=x1x2-m (x1+x2) +m2+y1y2.当直线I的斜率不存在时，直线I的方程为x=1，则 x1+x2=2, x1x2=1, y1y2=- ，由 m=，得 ?二-.当直线 I 的斜率存在时，设直线 I 的方程为 y=k(x-1 )，由 +y2=1y=k ( x+1 )得(2k2+1) x2-4k2x+2k2-2=0则 x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2(x1-1 )(x2-1 ) =k2x1x2- (x1+x2) +1=- 所以 ? = -m?l +m2 =.因为对于任意的k值，?为定值，所以2m2-4m+1=2(m2-2)，得 m=l.所以 M，0，此时 ?二-。综上，符合条件的点 M存在，且坐标为，0.评注：定点定值问题的关键是引进参数建立其求解目标的代 数表达式， 只要这个代数表达式与引进的参数无关即可。 本题的 难点是由？的