圆的有关概念与性质

1、圆的有关概念与性质课前热身1.如图，AB是O O的弦，ODLAB于D交O O于E,.则下列说法错误的是（）D . OD= DECD= 6cm,则直径AB的A . AD= BDB . / ACB=Z AOEC . AEBE2.如图，O O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,长是（）A. 2 3cmB . 3 2cmD . 4. 3 cmAB= 6, M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则O O的半径为（3.如图，O O的弦A. 55,弦 AB= 8,M是弦AB上的动点，则OM不可能为（A. 25.如图，AB是O O的直径,弦 CDLAB于点E,Z CDB= 30 , OO的半径为

2、.3cm，则弦CD的长为（）A. cm2C . 2、3cmD . 9cm【参考答案】1.2.3.4.5.考点聚焦1. 圆的有关概念，包括圆心、半径、 弦、弧等概念，这是本节的重点之一.2 掌握并灵活运用垂径定理及推论,圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是 本节难点.3 .理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、？四边形等结合的题型也是中考执占7 八、八 、 备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距

3、的差或和）与这三者 之间的关系.所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由 此转化为直角三角形的问题.常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现.考点链接1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ;圆又是对称图形， 是它的对称中心 .3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ;平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两

4、条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别_5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 6. 直径所对的圆周角是，90所对的弦是.典例精析例1 （山西太原） 如图，在 Rt ABC中,/ C= 90, AB= 10,若以点 C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过 AB的中点D,则AC的长等于（B. 5 5,2【答案】A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD, / C= 90D 是 AB 中点，AB= 10,. CD1=AB= 5 ,. BC= 5，根据勾股定理得2例2 （黑龙江哈尔滨） 如图，O O的直径CD= 10,弦AB= 8,AC= 5.3，故选 AAB丄

5、CD垂足为 M 则DM勺长【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA根据垂径定理可知AM= 4,又OA= 5,则根据勾1股定理可得：OM= 3。又OD= 5,贝U DM= 8.例3 （贵州贵阳）如图，已知 AB是OO的直径，点C在OO 上,且 AB=13, BC=5.(1)求 sin / BAC 的值;（2） 如果ODLAC垂足为点 D,求AD的长；（3） 求图中阴影部分的面积.（精确到0. 1）【答案】解：（1）v AB是OO的直径，BCAB513(2)在 Rt ABC中，AC= . AB2 - BC2 二,132 - 52 =12 .又/ ODL AC于点D, ADAC=6.2(3)_1半圆=

6、: x2AB )22 1169 169= x =248S aabc= - ACX BC=- x 12x 5=30,2 2阴影=S半圆一 Saabc =169ji8-30 36.3点评“直径所对的圆周角为90”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来因此对这部分知识应加以重视.迎考精练、选择题1.（湖北孝感） 如图，O O是厶ABC的外接圆，已知/ B= 60,则/ CAO的度数是（）A. 15B . 30C. 45D . 60A周角的度数为（）2.（山东泰安）如图，O O的半径为1, AB是O O的一条弦，且 AB= . 3，则弦AB所对圆C.30 。或 150D.60 。或

7、 1203.（浙江嘉兴） 如图，O P内含于O 0,0 O的弦AB切O P于点C,且AB/ OPA. 3B（天津市）如图,4. ABC内接于O0,若/0AB= 28，则/ C的大小为（B . 56C.60D . 62A. 285.（安徽）如图，弦CD垂直于O 0的直径AB,垂足为且 CD= 2 2 , BD=3，贝U AB 的长为（A. 26.（浙江温州）如图，/ A0B是O 0的圆心角，/ A0B= 80,则弧 AB所对圆周角/ ACB的度数是（）A. 40B.45C.50D.80A7.（四川遂宁）如图，已知O 0的两条弦ACBD相交于点E,/ A= 70,/ C= 50o,那么sin /

8、AEB的值为（）A.1B.C.、2D.323228.（甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米,拱的半径为13米，则拱高为（）A. 5 米B. 8 米 C . 7 米 D . 5 . 3 米9.（湖北十堰）如图， ABC内接于OO,连结OAOB若/ABO= 25,则/C的度数为（）A. 0.4 米B . 0.5 米C . 0.8 米D. 1 米11.（山西太原）如图，AB是半圆O的直径，点sO动一周.设0P为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画 s与t之间关系的是（）10. （山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处

9、水深 0.2米，则此输水管道的直径是（）.P从点O出发，沿0A - AB - BO的路径运二、填空题11.（河南）如图，AB为半圆O的直径，延长 AB到点P,使BP=AB,PC切半圆O于点C,2点D是AC上和点C不重合的一点，则.D的度数为2.（广东梅州）如图，在O O中，/ ACB= 20,则/ AOB=度.3.（山西省）如图所示，A、B C D是圆上的点，仁70, A = 40,则.C= 度.B1CD4. （湖北鄂州）在O O中，已知O O的直径AB为2，弦AC长为.3，弦AD长为.2 .贝U DC5.（福建福州） 如图，AB是O O的直径，点C在O O上,OD/ AC,若BD= 1,贝U

10、 BC的长为6.（广东中山）已知O0的直径AB=8cm, C为OO上的一点，.BAC = 30。，贝U BC =cm.7.（山东济南）如图，LI O的半径OA =5cm,弦AB =8cm,点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是cm .若/ CEA= 28；，则/8.（北京市）如图，AB为O O的直径，弦 CD AB, E为BC上一点,AB* .则/ COB的度数等9.（福建宁德）如图，AB是O O的直径，AC是弦，若/A CO= 32 于(7三、解答题垂足为 E, BD交CE于1.（广西柳州） 如图，AB是OO的直径，C是弧BD的中点，CELAB 点F.（1）求证：CF= BF;（2

11、）若AD= 2,OO的半径为3,求BC的长.2.(广西钦州)已知：如图，00 i与坐标轴交于 A (1 , 0)、B ( 5, 0)两点，点 O的纵坐标为.5 .求00 i的半径.x3.(湖北宜昌) 已知：如图，O O的直径 AD= 2, BC二CD=DE，/ BAB 90.(1)求 CAD的面积； 如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P,那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？4.(湖北黄冈)如图，已知 AB是00的直径，点C是00上一点，连结 BC, AC,过点C作直 线CDLAB于点D,点E是AB上一点，直线CE交00于点F,连结BF,与直线CD交于点G.求 证：BC2 =BG BF

12、 .A【参考答案】 选择题1. B2. D3. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10. D11. C【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P从点0向点A运动，0P逐渐增大,当点P从点A向点B运动，0P不变，当点P从点B向点0运动，0P逐渐减小，故能大致地 刻画S与t之间关系的是C.填空题1. 302. 403. 304. 2、3或 2 - 35. 26. 47. 3 8. 289. 64o解答题1.证明：（1）连结AC女口图。/ BDC=Z DBC又 / BDC=Z BAC在三角形 ABC 中，/ ACB= 90, CEL AB/ BCEfZ BAC/ BCEZ D

13、BC CF = BF因此，CF= BF.(2)证法一：作CGL AD于点GC是弧BD的中点 / CAG=Z BAC ,即AC是/ BAD的角平分线. CE = CQ AE= AG在 Rt BCE与 Rt DCG中, CE= CG , CB= CD Rt BCE Rt DCG BE= DG AE= AB-BE= AG= AD+DG即 6-BE = 2+DG 2BE= 4, 即 卩 BE = 22二 BC =BEAB=12BC -二2 . 3 (舍去负值) BC = 2、3(2)证法二：T AB是OO的直径，CELAB/ BEi乙ADB =90 ,在 Rt ADB 与 Rt FEB 中，AD AB

14、EF _ BF= 3EF-3EFT ABD = FBE ADBFEB，贝V即-, BFEF BF又t BF = CF ,- CF利用勾股定理得：BE BF2 - EF 2 =2、2EF又 EBCA ECA则 C! = B!，即则 CE2 = AE BE AE CE (CF EF)2 =(6 - BE) BE即(3EF EF)2 =(6-2 .一2EF) 2.2EF- BC = ：$bE2 CE2 =2 一32.解：过点 O作OCL AB,垂足为C, AC=2.在Rt AQC中， O的纵坐标为s/5 ,OC=寸百.O O 的半径 OA= O1Cabc=ACX BF = AC25)2 22 = 3.3.解：(1)v AD为O O的直径，/ ACD=Z BAE= 90./ BC =CD =DE , / BAC=Z CAD=Z DAE/ BAC=Z CAD=Z DAE = 30.=1, AC = 2cos30= _ 3在 Rt ACD中, AD= 2, CD= 2sin30S aacd=丄 ACX CD =-.2 2(2)连 BD /A BD= 90,/ BAD= = 60, / BDA=/ BCA=30,. BA= BC.作BF丄AC垂足为F, （5分） af= 2ac=, BF= AFtan30ABCD=4n ,.P点落在四边形ABCD区域的概率=3、3