三角形模块综合复习

1、三角形资料一、三角形相关概念1三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形2三角形的表示ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，A、B、C分别表示三角形的三个内角3三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线注意：三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部 （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线注意：三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点 （3）三角

2、形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高二、三角形三边关系定理三角形两边之和大于第三边，故同时满足ABC三边长a、b、c的不等式有：a+bc，b+ca，c+ab三角形两边之差小于第三边，故同时满足ABC三边长a、b、c的不等式有：ab-c，ba-c，cb-a注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可三、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180表示： 在ABC中，A+B+C=180 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余表示：如图，在直角三角形ABC中，C=90，那么A+B=90四、三角形的外

3、角1意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角如图，ACD为ABC的一个外角，BCE也是ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等2性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，ACD=A+B , ACDA , ACDB.三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角五、多边形多边形的对角线条对角线n边形的内角和为（n2）180多边形的外角和为360六、三角形的分类按角分：三角形 按边分：三角形ACBDE特殊三角形：（1） 直角三角形：

4、有一个角是的三角形（Rt三角形） 。直角三角形的性质： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图 ，（勾股定理）；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 。如图 D为AB中点，CD=AB；直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 如图CEAB，在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 （2） 等腰三角形：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）； 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，

5、底边上的高 重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）； 等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）； 等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等 ； 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 （3）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 等边三角形的性质：等边三角形的内角都相等，且均为60度；等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合 ，且它们的交点位于三角形的正中心；3等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一） (4)等腰直角三角形：有一个角

6、是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。 等腰直角三角形的性质： 它具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质； 等腰直角三角形三角度数分别为、 ； 等腰直角三角形直角边与斜边之比为 两直角边相等。7、 三角形的全等 全等三角形的定义：两个三角形能够完全重合，则我们称则两个三角形全等。 全等三角形的表示： 全等用符号“”表示。由于全等三角形的对应边对应角相等，所以书写的时候要字母位置一一对应。 全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等;(3)全等三角形的周长相等、面积相等 全等三角形的判定1一般三角形全等的判定

7、(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(ASA)；(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(AAS)2直角三角形全等的判定(5)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为(HL)8、 三角形的相似 相似三角形的定义：对应角相等 、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 相似三角形的判定方法 （AA）：如果一个三角形

8、的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。(SAS)：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两 个三角形相似。(SSS)：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。( HL )：如果一个直角三角形的斜边和直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似 补充： 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形原三角形相似。 平行于于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。 (A型和X型) 相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等.(

9、2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方 9、 三角形的中位线定理 定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形中位线。 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半。1.如图，等腰三角形ABC的顶角为120，腰长为10，则底边上的高AD。2.在三角形纸片ABC中，C90，A30，AC3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图2），折痕DE的长为3.如图所示，BC6，E、F分别是线段AB和线段AC的中点，那么线段EF的长是

10、_4. 如果，那么的周长和的周长之比是_5. 已知，若的各边长分别3、4、5， 的最大角的度数是_6.如果两个相似三角形的对应角平分线的比是23，其中较大的一个三角形的面积是36cm2，那么另一个三角形的面积是_cm27.如图所示，AOB是一钢架，且AOB=10，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_根8如图，ABC的两条高线AD，BE交于点F，BAD=450，C=600，则BFD的度数为_1.已知，如图，ABCD，AE平分BAC，CE平分ACD，求E的度数2.如图，在ABC中，B, C的平分线交于点O，(1)若A=50

11、0,求BOC的度数；ABCO (2)设A=n0（n为已知数），求BOC的度数.3. 如图,在ABC中,ADBC,CE是ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当BAC=80,B=40时, 求ACB、AEC、AFE的度数. ADEBFC 4.在ABC中，已知 A=60，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求ABE、ACF和BHC的度数.5.如图：ABCD，直线 交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）（1）当点N在射线FC上运动时， ，说明理由？（2）当点N在射线FD上运动时， 与 有什么关系？并说明理由.6.已知：如图，在ABC中

12、，ACB90，CD为高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由 7.如图，已知在ABC中，AD是高，AE是角平分线，B=42，C=84，试求AEC，DAE 8如图所示，在ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是ABC，ACB的外角平分线分别交于D，P （1）若A=30，求BDC，BPC（2）不论A为多少时，探索D+P的值是变化还是不变化？为什么？ 9.如图, ABC中, 的平分线与的平分线相交于点D (1) 若, 求和度数. (2) 由第(1)小题的计算, 发现和有什么关系?它们是不是一定有这种关系?请作出说明. 10如图，AB=AD，DC=BC，试说明ABCADC。11如图，已知AB=CD，AE=BF，CE=DF，求证：AECBFD E FABCD12.如图，在ABC中，DEBC，且DE=BC=2cm，ADE的周长为10cm，求:13.如图，ABC被DE、FG分成面积相等的三部分，且DEFGBC。求DE：FG：BC。 14.如图，D、E分别是AB、AC上的点，ABC的角平分线AH交DE于点F，过点F 作BC的平行线，分别交AB、AC于点G、K。已知BC=20cm，求GK。 1