三角形的四心和特殊三角形

1、三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图2图1如图1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE/AB，且，且相似比为

2、1：2，.设AD、CF交于点，同理可得，则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，同理，BD=BF，CD=CE.即.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 O为三角形ABC的重心和内心.求证 三角形ABC为等边三角形.证明 如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分，（角平分线性质定理

3、）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图）例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，AD与BE交于H点.求证 .证明 以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.，又与有公共角，即.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习1求证：

4、若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2 （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_;（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由.（二十四）几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例5 在中，求（1）的面积及边上的高；（2）的内切圆的半径；（3）的外接圆的半径.解 （1）如图，作于.为的中点，又解得.（2）如图，为内心，则到三边的距离均为，连， ，即，解得.（3）是等腰三角形，外心在上，连，则中，解

5、得在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：.例6 如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：.证明：过A作于D.在中，.在中，.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.图3.2-15例7 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，三角形ABC的高为，“若点P在一边BC上，此时，可得结论：.”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P在内（如

6、图b），（2）点在外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解 （1）当点P在内时，法一 如图，过P作分别交于，由题设知，而，故，即.法二 如图，连结，又，即.（2）当点P在外如图位置时，不成立，猜想：.注意：当点P在外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，（如图3.2-18，想一想为什么？）等.在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.练习：1 直角三角形的三边长为3，4，,则_.2 等腰三角形有两个内角的和是100，则它的顶角的大小是_.3 已知直角三角形的周

7、长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.4 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题A组1 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为 。2 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_.3 已知：是的三条边，那么的取值范围是_。4 若三角形的三边长分别为，且是整数，则的值是_。5.如图，等边的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则的周长为（）A B C D6.如图，在中，BD是边AC上的高，求的度数。7如图，是AB的中点，AM=AN，MN/AC，求证：MN=AC。B组1 如图，在中，AD平分，AB+BD=AC.求的值。2 如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，求证：.3.如图，把纸片沿DE折叠，