与三角形有关的线段与三角形有关的角多边形及其内角和

1、【本讲教育信息】一.教学内容：与三角形有关的线段、与三角形有关的角、多边形及其内角和二.教学要求（一）研究三角形及有关概念，理解三角形的边、顶点、内角、外角等基本概念，学习这些概念的文字表述、符号语言表述、图形表述；（二）理解三角形的三边关系，会根据三条线段的长判断能否构成三角形，知道三角形具有稳定性；（三）会按角和边的关系对三角形进行分类；（四）理解三角形的角平分线、中线和高等基本概念，并能正确地画出一个三角形的角平分线、中线和高，从而逐步提高观察能力、语言表达能力以及基本作图能力；（五）掌握三角形的内角和定理及其推论；（六）会用公式求多边形的内角和，知道多边形的外角和等于。三.重点及难点（

2、一）重点1、掌握三角形的基本概念，分类方法；2、理解并掌握三角形三边的内在关系；3、掌握三角形中的主要线段三角形的角平分线、中线和高；4、三角形的内角和定理及其推论；多边形的内角和及多边形的外角和。（二）难点1、三角形三边关系的应用；2、三角形中的主要线段三角形的角平分线、中线和高；3、三角形的内角和定理及其推论【知识要点】（一）三角形的有关概念1、三角形及三角形的边、顶点、内角、外角。由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形的一边与另一边的延长线

3、组成的角，叫做三角形的外角。“三角形”用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”。2、三角形的分类（1）三角形按角分类（2）三角形按边分类几种特殊三角形的有关概念：不等边三角形：三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。3、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）三角形

4、的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。注意：三角形的角平分线、中线和高都是线段。要区别角的平分线和三角形的角平分线。一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高。三条角平分线，三条中线都在三角形的内部，而三条高的位置与三角形的形状有关：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边就是它的两条高，另一条高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形的外部，另一条高在三角形内部。三角形的三条角平分线，三条中线，三条高（或其延长线）都相交于一点。利用这个特性

5、，可检验所画的三条角平分线，三条中线，三条高是不是准确。（二）三角形三边关系的定理及推论定理：三角形两边之和大于第三边。推论：三角形两边之差小于第三边。注意：这里说的两边指的是“任意”两边。（三）三角形角之间的关系1、三角形三个内角的和等于。（证明要用以前学过的涉及的知识去证，可从三个方向考虑：平角；邻补角；两直线平行同旁内角互补）2、三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。在三角形的每一个顶点处，有两个外角，这两个角是相等的角，任取其中的一个，那么在三个顶点处得到三个外角，这三个外角的和叫做三角形的外角和。三角形外角和等于。3、三角形内角和定理的推论（1）直角三角

6、形的两个锐角互余；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（四）多边形及其内角和1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2、多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。3、连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。4、多边形的内角和：边形内角和等于。5、多边形的外角和等于。【典型例题】例1.如图，已知，（）（A）（B）（C）（D）分析：添加恰当的辅助线，把所求的角的和转化为三角形的内角和或多边形的内角和，即可得出解答。解答：连结，选。说明：解

7、决这类问题只要善于运用三角形和多边形的内角和定理，就不困难了。例2.如图，在ABC的边BC上取两点D、E，使BD=CE，请你运用三角形三边的关系和平移的知识，观察AB+AC与AD+AE之间的长度关系，提出一个设想，并加以证明.分析：通过观察、测量等方法可以猜想：.要比较它们的大小，就需将这四条线段相对集中，为此可将AEC沿EB方向平移到FBD的位置.于是由三角形的三边关系知，从而易解决问题.解答：如图，将AEC沿EB方向平移到FBD的位置.由平移的特征知：经过平移，对应线段平行且相等，.设FD与AB的交点为O，在AOD中，在FOB中，例3.如图（1）所示，中，的平分线交于点，求证：.（1）（2

8、） （3）变式1：如图（2）所示，中，内角和外角的平分线交于点，求证：.变式2：如图（3）所示，中，外角的平分线交于点，求证：.分析：本题已知的内角平分线和外角平分线，从而想到可利用三角形角平分线的性质，三角形的内角和定理以及外角与内角的关系证题。解答：如图（1），在中，又的平分线交于点，变式1：是的一个外角，平分，平分，且是的外角，即变式2：在中， 在中，平分，且三点共线，同理可证例4.如图，已知等腰三角形的周长为21cm，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为3cm的两个三角形，求等腰三角形各边的长。分析：本题考查了三角形中线的概念，从题意中，中线分成的两个三角形周长差为3cm，根据分析，

9、差值是由于腰和底边的长不同而产生的，但不能确定腰和底边谁长谁短，所以要分情况讨论。解答：设腰长为cm，底边长为y cm，（1）若腰比底边长，由题意，得，解得（2）若底边比腰长，由题意，得，解得这个三角形的三边长为8，8，5或6，6，9。例5.已知：如图，在中，分别是边上的高，相交于，求的度数。分析：由已知可求，在中，故先求和。解答：设，则，解得为边上的高，在中，同理在中，例6.多边形的内角和与某一个外角的度数总和为，求多边形的边数。分析：利用多边形的内角和公式来求，另外此题隐含边数为正整数这个条件。解答：设边数为，这个外角为，则，依题意有：为正整数，（）必为180的倍数。又，同学们还可以想想其

10、它方法来解决这个问题。【小结】1、掌握三角形的基本概念及分类；2、三角形中的主要线段三角形的角平分线，中线，高线；3、三角形的三边关系；4、掌握三角形的内角和定理及其推论；5、会用公式求多边形的内角和，知道多边形的外角和等于。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一.选择题1.三角形的角平分线是一条（）（A）射线（B）直线（C）线段或射线（D）线段2.三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）无法确定3.下面三条线段中，能组成三角形的是（）（A）3，6，7（B）2，4，6（C）3，4，9（D）5，5，104.一个三角形的三个内角中，最

11、多有（）（A）两个锐角（B）一个钝角（C）两个直角（D）不能确定5.在中，点是平分线的交点，则的度数是（）（A）（B）（C）（D）6.等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别是（）（A），（B），（C），（D），或，7.下面各角能成为某多边形的内角的和的是（）（A）（B）（C）（D）二、填空题8.的三边为，且，若，则的取值范围是9.在等腰中，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长和底边长分别是10.如图所示，（1）在中，边上的高是；（2）在中，边上的高是；（3）在中，边上的高是；（4）若，则=，。11.如图，则=度。11题 12题 13题12.如图，已知，求13.如图，中，平分，于，则=14.一个多边形的每一个外角都等于，这个多边形的边数是，它的内角和是三.解答题15.中，三边长为5，12，周长为奇数，求整数的值及周长的最大值