第十六章薄板稳定问题

1、 第十六章薄板稳定问题 第十六章第十六章 薄板的稳薄板的稳 定问题定问题 第十六章薄板稳定问题 主要问题主要问题 1.纵横荷载共同作用的微分方程？ 2.纵向荷载作用下板的压曲方程？ 3.由压曲方程求薄板的临界荷载？ 4.如何提高薄板的抗失稳能力？ 第十六章薄板稳定问题 16-1 16-1 薄板受纵横荷薄板受纵横荷 载的共同作用载的共同作用 第十六章薄板稳定问题 一一. .纵向荷载产生的板中面内力纵向荷载产生的板中面内力 x P x P y P y P x y yx P yx P xy P xy P x N x N x y y N y N yx N yx N xy N xy N xxyy NtN

2、t 第十六章薄板稳定问题 xxx yyy xyxyxy yxyxyx NtP NtP NtP NtP 第十六章薄板稳定问题 二二.纵横荷载共同作用薄板微分方纵横荷载共同作用薄板微分方 程程 前提： 达到界值，其对横向弯 曲贡献必须计入微分方程 1.横向荷载作用： 2.纵向荷载作用：对方程(13-10)的贡献？ x P y P xy P yx P 4 Dwq 第十六章薄板稳定问题 两者叠加之后得到纵横荷载共同作用微分 方程 1. 在z向投影 2. 在z向投影 3. 在z向投影 4. 在z向投影xx PN yy PN xyxy PN yxyx PN 第十六章薄板稳定问题 以以 为例为例 x N o

3、x y x N x x N Ndx x w x 2 2 sinsin x xx x x Nww NdyNdx dywdx xxxx Nww Ndxdy xxx 第十六章薄板稳定问题 同理 的投影 的投影 的投影 2 2 y y N ww Ndxdy yyy 2 xy xy N ww Ndxdy x yxy 2 yx yx N ww Ndxdy y xyx y N xy N yx N 第十六章薄板稳定问题 1+2+3+4 注意到 所以得到z向力投影之和 （16-2） 0 0 yx x yxy t tw xxy tt w yyx 222 22 2 xxyy www NNNdxdy xx yy 22

4、2 4 22 2 xxyy www DwqNNN xx yy 第十六章薄板稳定问题 16-2 16-2 薄板的压曲薄板的压曲 第十六章薄板稳定问题 一一.薄板稳定问题的几种平衡状薄板稳定问题的几种平衡状 态态 1.稳定平衡 2.不稳定平衡 3.随遇平衡（临界平衡状态） 以后只讨论 3 xxc PP xxc PP xxc PP 第十六章薄板稳定问题 二二.临界状态的定义临界状态的定义 1.薄板的临界状态：在纵向荷载作用下， 薄板以特殊弯曲变形维持平衡的状态。 2.薄板的压曲：在纵向荷载作用下，薄板 处于临界状态,这种现象为薄板的压曲（ 或纵弯曲、或屈曲）。 3.临界荷载：使薄板处于压曲的一系列纵

5、 向荷载的最小值。 第十六章薄板稳定问题 三三.薄板的压曲方程薄板的压曲方程 在(16-2)的基础上，令 ，得到 压曲方程(16-3) ,0q x y 222 4 22 20 xxyy www DwNNN xx yy 第十六章薄板稳定问题 关于关于(16-3)(16-3)的说明：的说明： 1.(16-3)是薄板稳定问题讨论的微分方程 ，其实质是稳定问题的静力法方程 2.方程(16-3)中， 是纵向荷载引 起的中面内力，纵向荷载已知分布规律 而未知大小，但方程(16-3)只有一个方 程。未知的纵向荷载有三个，每次求解 只能得到 中的一个，除非它们之间给出线性关系 ，如 为已知值 x N y N

6、xy N yx N xc P yc P xyc P yx PP xyx PP 第十六章薄板稳定问题 3.求临界荷载是求满足边界条件和方程 (16-3)且使 的一系列纵向荷载的 最小值 4.(16-3)不描述薄板超临界荷载的状态， 当 (或 )时，随着 的 稍许增加，变形将陡增 0w xxc PP yyc PP xyxyc PP x P 第十六章薄板稳定问题 5.薄板稳定与否于以下因素相关连： 5.1 材料性质 5.2 约束条件 压杆：两端简支 (Euler) 两端固支 一端固支，一端自由 5.3 几何尺寸 5.4 荷载条件：均压、点压、线压 2 2 4 c E I P l 2 2 c E I

7、P l 2 2 4 c E I P l 第十六章薄板稳定问题 16-3 16-3 逆法逆法四边简支四边简支 矩形板单向、双向均压的临矩形板单向、双向均压的临 界荷载界荷载 第十六章薄板稳定问题 一一.单向均压（单向均压（x向）向） 1.平面应力（只有 ） 2.中面内力（ ） 3.单向均压压曲方程 由(16-3) P139(a) 4.选取挠度函数（满足边界条件） 双正弦级数（同强度、振动问题） x x P t xx NP 第十六章薄板稳定问题 5.将选取的w代入单向均压的压曲方程 P139(a) 令其满足 得 1. 不符合 2. 单向均压压曲条件（特征方程） sinsin0 mn A 00 mn

8、 Aw 0 第十六章薄板稳定问题 6.从单向均压压曲条件得到 (16-5) （k曲线见图16-4） , , , xx PP m n a b 2 2 x c D Pk b 2 mba k amb 第十六章薄板稳定问题 二二.双向均压（双向均压（x向，向，y向）向） 1.平面应力（只有 ） 2.中向内力（ ） 3.单向均压压曲方程（由16-3转化而成） P142(e) 4.同单向 , xx xy PP tt xx NP 第十六章薄板稳定问题 5.基本同前 但双向均压=0 6.双向均压 有 参与 168, , , , xx PP m n a b 第十六章薄板稳定问题 关于四边简支板单向、双向均关于四

9、边简支板单向、双向均 压临界荷载及失稳波形的讨论压临界荷载及失稳波形的讨论 1.四边简支矩形板，x向均压 a=2m，b=1m，t,D为常数 试确定 定k=?;试画出失稳波形图； 试分析失稳波形得到的启示 在失稳问题中，有时无对称性可言 x P ? x c P 2 2 4 x c D P b 4;2km 第十六章薄板稳定问题 板的几何条件同题1，只是y向单向均压 y P 2 2 22 6.25 2 y c D PkD b 0.5 a b 第十六章薄板稳定问题 3.四边简支矩形板，x向均压 压杆 x P ab a b 2 x c D P a 2 2 c EI P l 第十六章薄板稳定问题 4.长条

10、板，x向单向均压， t,D常数 ab 2 2 x c D Pk b 4k 第十六章薄板稳定问题 5.四边简支板，x向非均压，如图示 解析解、变分解均不行 可用有限元解 x c P 第十六章薄板稳定问题 6.薄壁方柱受到轴向均压，试分析失稳状 态 6.1 方柱整体失稳 6.2 局部失稳 2 2 c EI P l 2 2 x c D Pk b 第十六章薄板稳定问题 16-4 16-4 半逆法半逆法对边对边 简支矩形板单向均压之临简支矩形板单向均压之临 界载荷界载荷 第十六章薄板稳定问题 1.压曲方程 P139(a) 2.选取挠度函数（满足 边条） 为单正弦级数 3.挠度函数带入压曲方程令其满足 得

11、 的方程 0 xx m Yy 第十六章薄板稳定问题 4.利用（余下的边条） 的边条可得关 于 一组四个方程，薄板处于临界状态， 不同时为零的充要条件是方程组的系 数行列式 ，由此得特征方程（超 越方程） 0 yy i c0w i c 0 x c P 第十六章薄板稳定问题 序号123456 图示 k1.01.441.704.007.69 出处Euler Timo 例1 T法 例2 Bryan 结果 T法 例3 跌加 法 第十六章薄板稳定问题 16-16-补充补充 矩形板的临界矩形板的临界 应力应力 加劲肋的设置加劲肋的设置 第十六章薄板稳定问题 一一.临界应力临界应力 稳定设计控制 2 22 2

12、 2 12 1 x c x c P DkRt k ttbb xyxy cc or 第十六章薄板稳定问题 若 说明该板具有较好的抗失稳能 力 若 说明该板抗失稳能力差，需要 提高稳定性 如要提高 有两种方法 1.增加t，可能不满足使用要求 2.加劲肋设置 xy c xy c x c 第十六章薄板稳定问题 设置加劲肋，是加劲肋为沿肋骨轴线所 不值得简支支撑 计算时假设：1.忽略加劲肋的轴向变形 2.肋限制转动的能力及小 加劲肋设置两种方式： 横肋：垂直于纵向载荷 纵肋：平行于纵向载荷 第十六章薄板稳定问题 例1（无肋）a=2m;b=1m;t=0.01m 四边简支，x向均压 k=4.0;E= ; 由

13、公式 4 2 2.1 10 KN cm 0.25 73.7 x c MPa 第十六章薄板稳定问题 例2 （横肋） 在 处加一条横肋 则 2 a x 2am 1bm 1 1 2 aa 1 bb 4k 73.7 x c MPa 第十六章薄板稳定问题 例3 在 处加三条横肋 x y 3 , 4 24 a aa x 2 0.5 4 a am 2 1bbm 2 2 0.5 a b 2 6.25k 2 1.56 k k 73.7 1.56 x c MPa 第十六章薄板稳定问题 例4 （纵肋）在 处加纵肋 y x 3 2am 3 2 b b 2 b y 3 3 4 a b 3 4k 22 22 3 416

14、x c DD P bb 4 73.7 x c MPa 第十六章薄板稳定问题 结论：结论： 1.横肋加在反弯线上，并不能提高板的稳 定性 2.横肋加得密，并不能有效的提高板的稳 定性 3.纵肋可有效的提高板的稳定性，是经济 而有效的措施 第十六章薄板稳定问题 三三.双向均压板的加劲肋设置双向均压板的加劲肋设置 2 1 0.01 am bm tm x P yx PP y x a b 第十六章薄板稳定问题 16-5 16-5 圆板的临界应力圆板的临界应力 第十六章薄板稳定问题 定性分析稳定性及加劲肋设置定性分析稳定性及加劲肋设置 肋的设置 第十六章薄板稳定问题 16-7 16-7 能量法求解临界载荷

15、能量法求解临界载荷 第十六章薄板稳定问题 一一.用能量观点判断平衡状态用能量观点判断平衡状态 达到平衡状态时，系统的总的势能的变分 （ 为总势能） 0 2 2 2 0 0 0 第十六章薄板稳定问题 为什么总势能不变？为什么总势能不变？ 荷载势能的减少=形变势能的增加U 荷载所作的功 求形变势能U，利用(14-22)(14-23) 挠度的变化从0开始，所以(14-22)(14-23) 可用 第十六章薄板稳定问题 二二.求求 y N W y N x N x N xy N xy N yx N yx N 22 1 11 22 xx ww dWN dydxdy N xx 2 2 1 2 y w dWNd

16、xdy y 第十六章薄板稳定问题 x xy N xy N yx N yx N y 1 x 1 y 2 2 1 2 1 2 x y xy uw xx vw yy dudv dydx 第十六章薄板稳定问题 或用转轴公式方法 1 1 cossin sincos xxy yxy 1 1 1 2 1 2 xxy yxy 11 11 1 2 1 2 xxy yyx 第十六章薄板稳定问题 111 111 1 2 1 2 wwxwyww xxxyxxy wwxwyww yxyyyxy 1 1 22 2 1 22 2 1 11 2 24 11 2 24 x y wwwww e xxxyy wwwww e yxx

17、yy 1111 3 111111xyxxyyxyxy dWNe dx dyNe dx dyNeedx dy 11 dx dydxdy xy ww Ndxdy xy 第十六章薄板稳定问题 三三.求解步骤求解步骤 1.设定w要求满足位移边界条件 2.求中面内力 3.利用(14-22),(14-23)求U 4.利用(16-10)计算 5.U-W=0，得出压曲条件 , xyxy NNN W 第十六章薄板稳定问题 四四.最小势能原理的利用最小势能原理的利用 的条件不够用 0 0 mm m WC W UW UW UW C 第十六章薄板稳定问题 16-8 16-8 利用能量法求临利用能量法求临 界荷载算例界荷载算例 第十六章薄板稳定问题 例例 1. 2. xx NP mn WA 0157(*) m