黎卡提方程与最优控制

1、riccati 最优控制 变分法 控制系统的状态可由观测决定，而观测值 总是近似的，若要求近似值能任意逼近准 确值，需要在状态之间定出距离量度，以 便确切规定“任意逼近”。 泛函 函数的函数j=jx(t)， 最优控制问题中的性 能指标，取决于 u(t),x(t),必定也是个泛 函，所以上式称为性 能泛函。x(t)是宗量 n rtxtxtxtxx)(),(),()( 00 ),(),()()()(xxrxxlxjxxjxj 泛函的变分 泛函极值 设j(x)是线性赋泛空间 r上的连续泛函，在x0 处可微，其变分为 若 则 10 , ),( ),( 0 0 0 xxj xxj dtx x l x x

2、 l dttxxxxlj dttxxlj f f f t t t t t t 0 0 0 ),( ),( 欧拉方程 无约束及有约束泛函 极值的必要条件 欧拉方程。使泛函取 极值的必要条件是： 0 x l dt d x l 0 0 f t t t x x l 横截条件： 用变分法解最优控制问题 对于时变非线性系统，状态方程及初始条件如下： 性能泛函取为： ),(),()(ttuyxftx )0()( 0 xtx f t t ff dttuxlttxj 0 ),(),( 用变分法解最优控制问题 u(t)不受约束，设要求的，目标集为 需求一个最优的控制和状态使得目标集达到极值。上 式问题可表述为：

3、0),( ff ttx 0)( )0()(,0)(),(. ),(),(min 0 )( 0 f t t ff tu tx xtxtxtuxtfs dttuxlttxj f 构造广义泛函 f t t t f t fa dttxtuxfttuxltxttxj 0 )(),()(),()()()( dttxttuxhtxttxtxj dttxttxtdttxt tuxfttuxltuxh f f f f f t t t t t f t fa t t t t t t t t )()(),()()()()( )()()()()()(- ),()(),(),( 0 0 0 0 0 t tt 则广义泛函可

4、表示为： 分项因为上式中最后一个积 引入哈密顿函数： 泛函极值条件 f t t tt ff f t f f t a dtu u h x x h tt txtx txj 0 )()( )()( )( 0 )( u h x h t 欧拉方程 横截条件 )( )()( )( f ff f t txtx t 引入哈密顿函数后，似的极值必要条件的两个正则 方程 最优控制问题 1.满足正则方程 2.边界条件 3.极值条件 0)( )( )()( )( )( 00 f f f t f f tx t txtx t xtx x h t h tx )( )( 0 u h 状态调节问题 状态方程 x(k+1)=ax

5、(k)+bu(k),x(t0)=x0 要求确定最优控制u(t),使得下列性能指标极小： dttutrtutxtqtxtfxtxj f t t tt ff t 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )()()()()()()()()( 2 1 )()()( 2 1 tutbttxtattutrtutxtqtxh tttt 证明： 由于u(t)不受约束，所以极小值条件是哈密顿函数对 u(t)取条件极小，根据驻值条件 )()()()( 0)()()()( 1 ttbtrtu ttbtutr u h t t )(),(ttr 由于 是伴随变量，实际系统中不存在，自然也检测不到，工程中

6、 很难实现，所以我们把u(t)表示成x(t)的函数 因为下式满足极值条件 0)( 2 2 tr u h )()()()()( )()()()()()()( 1 ttatxtq x h t ttbtrtbtxta h tx t )()()( 2 1 )( )( fff f f tfxtfxtx tx t )()()()()( )()()( txtptxtpt txtpt 求导 )()()()()()( 1 txtptbrtbtatx t (5-18) (5-19) (5-20) (5-21) (5-22) (5-23) 正则方程 横截条件 协态方程（5- 19）的解 5-21带 入5-18 把（5-23）代入（5-22），协态方程为 )()()()()()()(a) t (p) t (p)( 1 txtptbtrtbtptt t 把（5-21）代入（5-19），协态方程又可以表示为 )()()()()(txtptatqt t 两式对应相等，使得p(t)满足黎卡提方程 )()()()()()()()()()()( 1 tqtptbtrtbtptptatatptp tt 由（5-21），令t=tf，可得 )()()( fff txtpt 则黎卡提方程应满足的边界条件 ftp f )( 解得p后代入控制u(t) )()(