九年级数学全册知识点

1、第二十一章 一元二次方程及其解法21.1 一元二次方程 一元二次方程：(1)只有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程 （4）所有一元二次方程都可化为一般形式：ax2+bx+c=0（a0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。21.2 降次解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方

2、程，其解为. 1、配方法配方的依据是完全平方公式。（1）转化： 将此一元二次方程化为ax2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式） （2）系数化1： 将二次项系数化为1 （3）移项： 将常数项移到等号右侧 （4）配方： 等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 （5）变形： 将等号左边的代数式写成完全平方形式 （6）开方： 左右同时开平方 （7）求解： 整理即可得到原方程的根三、公式法公式法：先化成一般式ax2+bx+c=0。1、 当判别式b2-4ac0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。 ；2、 当判别式b2-4ac=0时，；3、 当判别式b2-4ac0时，

3、开口方向向上，a0即开口向上时，图像上的顶点是最低点，此时函数值有最小值即当时，；当a0即开口向上时，对称轴左侧（即时）递减，右侧（即时）递增；当a0时交于y轴正半轴，c0时交于y轴负半轴，c=0时交于原点。与x轴交点： 当y=0即ax2+bx+c=0时，方程有几个实数根，便意味着抛物线与x轴有几个交点。因此，当= b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，抛物线与x轴有2个交点；当= b2-4ac=0时，方程有两个相等实根，抛物线与x轴有1个交点；= b2-4ac0时，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点。2、 顶点式y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，其图像的主

4、要性质如下（1）开口：开口情形类似于一般式（2）对称轴：x=h。（3）顶点坐标：（h，k）（4）最值：当x=h时，函数有最大值h或最小值h。（5）增减性：增减性情形类似于一般式（6）与x轴交点：当y=0即当a(x-h)2+k=0时，解方程，根据方程根的情况判断抛物线与x轴交点情况。3、 交点式（两点式）y=a(x-x1)(x-x2) ，a，b，c为常数，a0该形式仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线。在已知抛物线与坐标轴交点坐标的情况下，要求二次函数的解析式，设交点式较为方便。已知顶点坐标时，设顶点式较为方便。已知三个点的坐标时，设一般式较为方便。第二十三章 旋转23.1

5、 图形的旋转几点说明：1、图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。2、旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。3、旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。23.2 中心对称 1、中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180，假如它能够与另一个图形重合，那么这个图形关于这个点对称或2、中心对称。 中心对称是一种特殊的旋转。3、中心对称的性质：关于中心对称的图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。4、中心对称图形：把

6、一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。5、对称点的坐标规律：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。第二十四章 圆24.1 圆的有关性质 1、垂径定理及其推论：垂直于弦的直接平分弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。2、弧、弦、圆心角：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所

7、对的弦心距也相等。 （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 3、圆周角：（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；同弦或等弦所对的圆周角相等或互补。（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，圆周角所对的弦是直径。4、圆内接多边形：如果一个多变形的所有顶点都在同一个圆上，这个多变性叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。特别的，圆内接四边形的对角互补。24.2 点、直线、圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 设的半径为r，圆心o到某点P的距离为d，则：（1）点P在圆内dr （4）过三点的圆

8、不在同一直线上的三个点确定一个圆（详见九上课本P93、94）。由于三角形的三个顶点不在同一直线上，因此，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。因为圆心到三角形三个顶点的距离相等，而只有线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，所以，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。2. 直线和圆的位置关系如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么（1） 直线和O相交；（2）直线和O相切，重点研究相切；（3）直线和O相离。圆和圆（4）切线的判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。因此，在证明某直线是圆的切线时，有两种情况：有点连圆心，证垂直；无点

9、做垂线，证相等。（5）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。（6）切线长定理：从圆外一点可以向圆引两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（7）与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。由于圆心与各边切点的连线垂直于各边且长度相等，而只有角平分线上的点到两边距离相等，所以，三角形内切圆的圆心是三个内角角平分线的交点，叫做三角形的内心。要注意区别三角形的内心与外心。24.3 正多边形和圆 1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形2、正多边形的有关概念：(1)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心。(2)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径。(3)正多边

10、形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离。(4)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角，计算方式为。4、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆。(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。(4)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。 24.4 弧长和扇形面积 （1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长弧长圆面积扇形面积公式（2）弓形面积

11、的计算图示面积（3）圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积第二十五章 概率初步25.1 随机事件与概率 1随机事件 在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件) 2频率与概率的定义 (1) 频率的定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了次，则比值n称为随机事件A发生的频率，记作，即 . (2) 概率的定义 在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率在一个稳定的值(01)附近摆

12、动，规定事件A发生的频率的稳定值为概率，即.其中A为必然事件时，P(A)=1，A为不可能事件时，P(A)=0. 25.2 用列举法求概率 1、 用列举法的条件：一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等。 2、列举法：列表法和树状图法3、利用列表法或树状图法求概率的关键是：注意各种情况出现的可能性务必相同；其中某一事件发生的概率；在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏；25.3 用频率估计概率 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。在实际应用中，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次

13、数越多，得到的估计结果就越可靠。第二十六章 反比例函数26.1反比例函数的定义一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，反比例函数有三种表达式：（），（），（定值）（）；26.2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。26.3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，1、 当时，位于第一、三象限，2、 当时，位于第二、四象限， 它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。26.4反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的

14、图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数（）的符号图像性质的取值范围是，y的取值范围是当时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。的取值范围是，y的取值范围是当时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。26.5反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，则 反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越

15、靠近坐标原点。 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=x。第二十七章相似 271 图形的相似 1、相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。 2、性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。272 相似三角形 一、判定1.两个三角形的两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例 4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 二、性质1、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 2、相似三

16、角形周长的比等于相似比。 3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。273 位似 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。一、性质1、位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 2、位似多边形的对应边平行或共线。 3、位似可以将一个图形放大或缩小。 4、位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的变化而变化。 5、根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 注意 ：1

17、、两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。第二十八章锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数。 直角三角形ABC中, 正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边，正切（tan）等于对边比邻边； ABCD282 解直角三角形 一、直角三角形的特征直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直

18、角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在RtABC中，若C90，则a2+b2=c2；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在ABC中，若a2+b2=c2，则C90；二、锐角三角函数的定义ABCacb如图，在RtABC中，C90，A，B，C所对的边分别为a,b,c,则sinA=,cosA=tanA=特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随的变化情况）304560sincostan11 三、解直角三角形 定义：直角三角形除直角外，还有五个元素，知道其中的两个（至少有一边），求其余的三个。仰角俯角解直角三角形中常见类型：已知一边一锐角已知两边解直角三角形的应用应用举例：仰角和俯角：是和水平线所成的角。第二十九章投影与视图291投影 1、平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).2、中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。3、正投影： 投影线垂直于投影面产生的投影叫做