(完整版)专题八立体几何第二十三讲空间中点、直线、平面之间的位置关系

1、空间中点、直线、平面之间的位置关系3. （2017新课标I）如图，在下列四个正方体中,A , B为正方体的两个顶点,M , N , Q为所在棱、选择题1. （2018全国卷n ）在正方体ABCDA1B1C1D1 中，E为棱CG的中点，则异面直线 AE与CD所成角的正切值为A . B .CD .丄22222. （2018浙江）已知平面，直线m，n满足m，n，则“ m/ n ”是“ m / ”的A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件11的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是4. （2017新课标川）在正方体 ABCDABQQ!中，E为棱

2、CD的中点，则5.A . A1E DC1B. A,E BD（2016年全国I卷）平面a过正方体C. AE BC-iD. A|E ACABCD- A1B1C1D1 的顶点A,a / 平面 CB1D1,oil 平面 ABCD = m,oil平面ABBi Ai=n，则m, n所成角的正弦值为3 A .2 B.43 C .D1223.若直线m，36. （2016年浙江）已知互相垂直的平面，交于直线1n满足m / a， n丄B,则A . m / 1B . m / nC .n丄1D . m n7. （2015新课标1）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高

3、五尺，问 ”积及为米几何？ ”其意思为：在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ 已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为 3,估算出堆放的米约有A . 14 斛B. 22 斛C. 36 斛D. 66斛&（ 2015新课标2）已知A、B是球0的球面上两点,AOB 90 , C为该球面上的动点若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为C. 144D. 2569. （2015广东）若直线h和12是异面直线，li在平面内，l2在平面 内，I是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是A . l与1

4、1 , 12都不相交B . l与l1 , |2都相交C. l至多与l1, l2中的一条相交D . l至少与l1 , l2中的一条相交10. （2015 浙江）如图，已知 ABC ,D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成 ACD，所成二面B的平面角为角A CD11. （ 2014广东）若空间中四条两两不同的直线hthh，满足h l22 l33 4，则下面结论一定正确的是A . h l4 B . h/l4 C . hh既不垂直也不平行D . h,l4的位置关系不确定12 . （ 2014浙江）设m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面A .若 mn , n ，贝U mB.若 m，则mC.若 m,

5、n ,n 则mD.若 m n ,n ,，则 m13 . （2014辽宁）已知 m , n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A .若 m/ , n / ,则 m/nB .若m，则m nC.若 m , m n,则 n/D.若 m/ , m n,则 n14. （2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点 A处进行射击训练，已知点 A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线 CM移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A观察点P的仰角 的大小（仰角为直线AP与平面ABC所成角）。若AB 15m , AC 25m ,BCM 30则tan 的最大值A .卫5B.卫10C

6、.4.353915. （2014四川）如图，在正方体 ABCDABQDi中，点O为线段BD的中点。设点P在线段CG上,直线OP与平面ABD所成的角为，则sin的取值范围是B. 36jC1CD .孚 1316.（2013新课标2）已知m, n为异面直线，m丄平面,n丄平面.直线I满足丨 m,丨n , l,lA ./且1 /C .与相交，且交线垂直于I17. (2013广东）设m,n是两条不同的直线A.若,m,n，则 m nB.若/ m5,n，则 m n则B. 丄且I丄D. 与相交，且交线平行于I是两个不同的平面，下列命题中正确的是C.若 m n,m ,n，则D .若 m , mil n, nil

7、 ，则18. （ 2012浙江）设I是直线，,是两个不同的平面A .存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B .存在某个位置，使得直线 AB与直线C .存在某个位置，使得直线 AD与直线D 对任意位置，三对直线“ AC与BD20. （ 2011浙江）下列命题中错误 的是CD垂直BC垂直AB与CD ”, “ AD与BC ”均不垂直A .若 1 /,I / ，贝 U /B .若1 /,I丄，贝U 丄C .若丄,I丄，则1丄D.若丄，I / ，则1丄19. （ 2012 浙江）已知矩形 ABCD , AB1 , BC.2 . 将ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中,A 如果平

8、面 平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B .如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C .如果平面平面，平面 平面，=1，那么I 平面D .如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面21 . （ 2010山东）在空间，下列命题正确的是A 平行直线的平行投影重合B 平行于同一直线的两个平面平行C .垂直于同一平面的两个平面平行D .垂直于同一平面的两条直线平行二、填空题22. （2018全国卷H ）已知圆锥的顶点为 S，母线SA, SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为 30，若 SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为.三、解答题23. （ 2018全国卷H）如图，在三棱锥P

9、ABC中，AB BC 2 - 2 ,PA PB PC AC 4, O 为 AC 的中点.证明：PO 平面ABC ；24. （2018全国卷川）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 Cd所在平面垂直,m是Cd上异于c，d若点M在棱BC上，且MC 2MB，求点C到平面POM的距离.的点.证明：平面AMD丄平面BMC ；在线段AM上是否存在点25. （2018北京）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD丄平面ABCD , PA丄PD , PA= PD , E , F分别为AD , PB的中点.求证：PE丄BC ；求证：平面PAB丄平面PCD ；求证：EF /平面PCD .26.（

10、2018天津）如图，在四面体 ABCD中,ABC是等边三角形，平面 ABC丄平面ABD，点M为棱 AB 的中点，AB 2, AD 2 .3, BAD 90.求证：AD丄BC ;(2) 求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3) 求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.27. （2018 江苏）在平行六面体 ABCD AiBGDi 中，AA AB , AB1.i求证：(1) AB/平面ABC ；平面ABBA 平面ABC .28. (2018浙江)如图，已知多面体 ABCAQG , AA ,CQ均垂直于平面ABC ,ABC 120o,A,A 4 , C1C 1 , AB BC B1B 2 .C1C(

11、1)证明：AB平面 ABG ；求直线ACi与平面ABBi所成的角的正弦值.29. (2017新课标n)如图，四棱锥 P ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1 o AB BC -AD， BAD ABC 90 -2AB(1) 证明：直线BC /平面PAD ；(2) 若PCD的面积为2.7，求四棱锥P ABCD的体积。30. ( 2017新课标川)如图，四面体 ABCD中， ABC是正三角形， AD CD .(1) 证明：AC BD ;(2) 已知 ACD是直角三角形， AB BD .若E为棱BD上与D不重合的点，且AE EC ,求四面 体ABCE与四面体ACDE的体积比.3

12、1. (2017 天津)如图，在四棱锥 P ABCD 中，AD 平面 PDC , AD / BC , PD PB , AD 1,BC 3, CD 4, PD 2.(I)求异面直线 AP与BC所成角的余弦值；(n)求证：PD 平面PBC ;(川)求直线 AB与平面PBC所成角的正弦值.32. ( 2017山东)由四棱柱 ABCD AiBiGDi截去三棱锥 G BiCDi后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，AiE 平面ABCD ,(I)证明： AO /平面 BiCDi ；(n)设M是OD的中点，证明：平面 AiEM 平面B1CDi .i33. (2

13、0i7 北京)如图，在三棱锥 P ABC 中，PA AB , PA BC , AB BC , PA AB BC 2, D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(I )求证：PA BD ;(n )求证：平面BDE 平面PAC ；(川)当PA /平面BDE时，求三棱锥 E BCD的体积.34. (20i7浙江)如图，已知四棱锥P ABCD , PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC / AD ,CD AD , PC AD 2DC 2CB , E 为 PD 的中点.（I）证明：CE /平面PAB;（n）求直线 CE与平面PBC所成角的正弦值.35. （ 2017江苏）如图，在三棱锥 A BCD中

14、，AB丄AD , BC丄BD，平面 ABD丄平面 BCD，点E、F （ E与A、D不重合）分别在棱 AD , BD上，且EF丄AD .求证：（1） EF /平面ABC;(2) AD丄 AC .36. （ 2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器n的高均为32cm，容器I的底面对角线 AC的长为1.7 cm,容器n的两底面对角线EG , E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器I和容器n中注入水,器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）水深均为12cm.现有一根玻璃棒I ,其长度为40cm.（容（1 ）将I放在容器I中,I的一端置于点 A处，另一端置于侧棱 CC1上，

15、求I没入水中部分的长度;（2）将I放在容器n中,I的一端置于点E处，另一端置于侧棱 GG1上，求I没入水中部分的长度.D是AC的中点，EF / DB.37. ( 2016年山东)在如图所示的几何体中,(I) 已知 AB=BC, AE=EC.求证：AC丄 FB;(II) 已知 G, H分别是EC和FB的中点 求证：GH /平面 ABC.38. (2016年天津)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED 平面ABCD ,EF / AB,AB=2, BC=EF=1,AE= ,6 , DE=3，/ BAD=60o, G 为 BC 的中点.(I )求证：FG /平面BED ;(H )求证：平面 BE

16、D 平面 AED ;(川)求直线EF与平面BED所成角的正弦值E39. (2016年全国I 卷)如图，已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形，PA 6 ,顶点P在平面ABC 内的正投影为点 D, D在平面PAB内的正投影为点 E，连结PE并延长交AB于点G .(I)证明：G是AB的中点；(II)在图中作出点 E在平面PAC内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体 PDEF的体积.12CD40. ( 2016年全国II卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD ,上，AE CF , EF交BD于点H，将ADEF沿EF折到AD EF的位置(I )证明：AC HD；(

17、n )若 AB 5, AC 6, AE 5,OD 2.2,求五棱锥 D ABCFE 体积. 441.( 2016年全国III卷)如图，四棱锥P ABCD中，PA丄底面ABCD , AD P BC , AB=AD ACPA BC 4 , M为线段AD上一点，AM 2MD , N为PC的中点.(I)证明MNP平面PAB ;(n)求四面体 N BCM的体积.C42. (2015新课标1)如图四边形 ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE 平面ABCD .(I)证明：平面 AEC(H)若 ABC 120o, AE EC，三棱锥E ACD的体积为6，求该三棱锥的侧面积.343.(2015新课标2)如图

18、，长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB16, BC 10, AA8，点 E , F别在AB1 , D1C1 上, AE D1F 4 过点E , F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个15正方形.Ajf(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)(n)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.44.（2014山东）如图，四棱锥 P ABCD中，AP 平面PCD , AD/ BC ,45.ABBC求证:求证:（2014AD,E,F分别为线段 AD,PC的中点.2AP / 平面 BEF ；BE 平面PAC .江苏)如图，在三棱锥 P ABC中，D , E, F分别为棱PC, AC, AB的

19、中点.已知PA ACPA 6, BC 8, DF 5.C求证：(I)直线PA /平面DEF ;(n)平面 BDE 平面ABC .46. (2014新课标2)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD , E为PD的中占I 八、(I)证明：PB /平面AEC ;(n)设二面角 D AE C为60, AP=1 , AD = 3，求三棱锥E ACD的体积.47 . ( 2014天津)如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA BD . 2 ,AD 2, PA PD .5 ,E,F分别是棱AD , PC的中点.(I)证明：EF /平面PAB;(n)若二面角 P A

20、D B为60,(i) 证明：平面 PBC丄平面ABCD ;(ii) 求直线 EF与平面PBC所成角的正弦值.48.（ 2013浙江）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA丄面 ABCD ,AB=BC=2 ,AD = CD= . 7, FA= . 3，/ ABC=120 ,G为线段PC上的点.(I)证明：BD丄面A PC ;(H) 若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；PG(川)若G满足PC丄面BGD，求GC的值.49. ( 2013辽宁)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(I) 求证：BC 平面PAC ；(H)设Q为PA的中点,50. (2012江苏)如图，在直三棱柱ABC ABQi中，AR ACi , D ,E分别是棱BC , CG上的点(点D不同于点C),且AD DE , F为BG的中点.求证：(I)平面 ADE 平面BCC1B1 ；(H)直线AF平面ADE .51. (2012广东)如图所示，在四棱锥 P