(完整word版)高数计算题答案

1、二.计算题（每小题7分，共70分）1。设u X y z的全微分du解：两边取对数In u y In x zln y xIn z （ 1），再对（1）两边取全微分：1yzxduJdx In xdydyIn ydzIn zdxdzuxyzyIn z dxIn x dyIn yxd乙xyz所以，duyuIn zdx In xzdyIn yxd乙xyz2计算由方程|叽;确定的函数z zx,y的全微分解：原方程化为2xzInz zIny- (1)（1）式两边全微分，得:2dx 1In z dzzdy In ydz , y整理，得:1 In zIny dz2dx dy dz y21 In zdx In y

2、dy1 In z In ydz(1)-1z22xdx2zz 2x2z2xy yzxz 0确定，且F为可微函数，求dz。x3设zz x,y，由方程F -y解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有:xFrF；d_yzF；d0. 即:dyy/F2dyz-dzz/F3三dx - dz 0，整理，得:x x2解:yFdz4设函数2z2 .y（一）（二2xf x二）z2yx2z2解:/12x25。求曲线1xF1yF3 dz 丄 F； ydx2x f 2x y, y sin x/f1-2/f 2sin x方程组两边关于2x 2dxdzdxi史 dx将点1,/11x求导,2z生dx0.2,1代

3、入（1）2 4些 dx %1些dx|x 12些1dx lx1dx|x 11zF2,x/f 2y cosx，所以/F3dxx-FXF3二f； dy，故:y其中f具有二阶连续偏导数，求/2x3/sin x sinx122z 6,.在点1,0.得:0,.，-（1）0.得:0,.解之,有:/21/sin x222,1的切线。或|0,生|1.dx lx 1dx lx 1所以，切线向量为：s1,0, 1故曲线在点1, 2,1的切线为:6.计算I4 x2D2yd,其中D是x2y 2x。解:2cosi.24 r rdr833297 .计算I1ody1 yedx解：交换积分次序，1x2丄1 odXoxexdy1

4、 xe甲e |odx1dx1Xoxedx1xdx0x1e x 1|三.试证明:占八、3,2是函数x,y6x4y的极值点。（10分）解:x,y2x 4yx,y6x2y分数评卷人因为/fx3,2/f 3,21 yo,所以点3,2是函数2 2f x,y 6x x 4y y驻点。/2 / 2f x,y1 XX2 4yy ,fxy,x,y62x 4 2y ,f x, y 6x2。yy记/2A f1 XX3,28o, B f3,2xyo,f 3,2yy18,B AC144 o的所以，点3,2是函数f x,y2 26x x 4y y 的极大值点四.设是由曲面z出If x,y,zdv在直角坐标；柱坐标；球面坐

5、标系下的分数评卷人三次积分（14分）y和z；y2所围成的区域，试分别写解:2 2向xoy平面上的投影区域为， D : x y 2（一）在直角坐标系下2f x, y, z dv_ dx: 2 22 x . dy2 x2 2x y f.2 2 f x,y,zdz.4 x y（二）在柱坐标下22rf x, y, z dv o drdro4一2 f r cos r,r sin , z dz.（三）在球坐标下222f x, y, z dv o d3 sin4df sin0cos , sin sin ,cosd五。选作题（每题10分，共40 分）1.在曲面2 2 2:x 2y 3z 2xy 2xz 4yz

6、8上求点的坐标使此点处的切平面平行于yoz坐标面。解：设所求之点为 m xo，yo，Zo、 2 2 2t记 F x, y, z x 2 y 3 z 2xy2xz4yz8，则曲面在 Moxo,yo,zo 处的切平面的法向量为k/n FxMo,FyMo,FzMo2Xo2yo2zo,4 y。2 xo 4 zo ,6 zo 2Xo 4因为n/1,0,0，所以，有:4y 2xo 4zo ，6zo 2xo 4yo 0.，2 2 2xo 2y。3zo 2xoy。2xozo 4yoz。8 o. M。解之，xo4, yo2, zo o因此，所求之点m o 4, 2,0。 2 2 2 22.设I f x, y,z

7、dv，其中f为连续函数， 是由曲面x y z 4R和 x2 y z 2R 4r2R o所围成的区域，将I化为柱坐标及球坐标下的三次积分解：联立2x2x2y2y24R,22R消去Z,得 向xoy平面上的投影区域24R.为，D：x23R-（一）在柱坐标下f x, y, z dv 03Rrdr01 2 24R r2R 4Rr cos , r sin ,zdz.3.（二）在球坐标下x, y, z dv3 sin02Rd0sincos , sinsin , cos4Rcos2 2sin3sin cos ,sinsin , cos1dx0 0； 22 x2 2x y解：如图所示宜采用球坐标计算之I 0?d

8、 202 2cos2、. 2 1754.已知某一物体由2y 2z, z2,及z8所围成且每一点处的面密度函数为解:2y，试求该物体的质量。2 2x y 2z 2 z 8 .由三重积分的物理意义，知：dxdydz。宜才采用直角坐标系下的“切片法”设 Dz:x2z为过点0,0, z的截面。8dxdydz 2 dzDz2y dxdy2z0 r rdrzdz336 .38xy5 试证明fx, y2 2x y0, x, y 0,0 .0,0,在原点处连续且偏导数存在，但在原点处不可微。 证明：（一）因为x,y|x|x2所以,limx 0y 0x,y1 2IyI |y| 0x (y0 f 0,0，故函数f0,yx, y因为limf 0x,0 f 0,0所以,/f 0,01 X0；类似地,在原点处连续。lim0/f 0,0y0.故函数f x, y在原点处可偏导。（二F面考察lim0