(完整版)高数常用公式手册

1、高等数学复习公式第12页共9页常用高数公式1、乘法与因式分解公式2、三角不等式Ti3、一元二次方程UH-珀+巴=0 的解4、某些数列的前n项和5、二项式展开公式6、基本求导公式7、基本积分公式8些初等函数两个重要极限9、三角函数公式正余弦定理10、莱布尼兹公式11、中值定理12、空间解析几何和向量代数13、多元函数微分法及应用14、多元函数的极值15、级数16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式 1.1 a3护=（口一卜）（& + b）1.2八土护干必十們(a-b)(an(口十&)(厂十络十a 皆abn2十矿+ ft Q & t1 + + fit Q J伉为正整数）g为偶数）n 3 2n

2、 2 n 1、a b L ab b )( n 为奇数)n n / 、/ n 1 n 2.g a b (a b)(a a b2、三角不等式2.1 匕. J-2.2 r - L2.3 二；- * 门2.4 - r - 2.6 |训 b 旨一3、一元二次方程 。十+斑十的解3.2（韦达定理）根与系数的关系:r 0万程口恂定一黄恨，3-3利别朮 沪-伽彳=0方程有相尊二买抿”I U方程有决辄肆琅.4、某些数列的前 n项和4.1T r -亦 + 1）1十2十3十十沖=4.21 十3 + B+ 十（2一1） = &4.32+4 + 5+ + （2 外）=n（n 十 1）44十沪十护十十卅=巾+ 1）帥+

3、1）64.5f十护十扌十十（亦章=吧-1）a4.61彳+尸+*+异+44.7 P+孑十用+十（加一一 1）4.81卄也十L）=*十挈+可J5、二项式展开公式5.1 （一时+严时答2-沪十捫一一宀+7 !U p+止土色土右 忖十十屮Jd!6、基本求导公式:(C)0 (C为常数)(cot x)csc 2 xsin2x(sec x)(csc x)sec x tan xesc x cot x(arcsinx)(log a x)11(ln x)xx ln a(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec2 x1cos2 x(x ) x 1 (为实数)(ax) axlna (ex)

4、ex(arccos(arctan7、基本积分公式：0dxx)x)(arc cot x)1 x211 x7x dx1)Idxxxe dxlnxsec xdxln secxtan xCcsc xdxln cscxcot xCdxarctan xC1x2dxarcsinx C疋 12 x2ex CaxdxxC In adx2 cos x2 secxdxtancosxdx sin x Csin xdx cosx C8、一些初等函数：两个重要极限:双曲正弦:shx双曲余弦:chxxxe e2xxe e2双曲正切:thxshxx echxx earshx ln (xx2 1)archxln (x.x21)

5、xeedx2sin x2 cscxdxcot x Csec x tan xdxcscx cot xdxlimx 0lim(1丄厂x xsecxcscx Ce 2.718281828459045arthx Iln 1_-21 x9、三角函数公式:sin()sin coscossincos()cos cossinsintan() tantan1 tan tan、 cot cot1cot()cotcot和差化积公式:和差角公式:sinsin2si n-cos22sinsin2 cos-sin22coscos2 cos-cos-22coscos2 sin -sin -22倍角公式:si n2cos2c

6、ot2tan22sin cos22 cos 1cot212cot2ta n1 tan21 2si n22cos.2 sinsi n33sin4s in3cos34co3 costan33ta ntan321 3ta n半角公式:1 cos1 cossin21cos1cossin1 cossin2tan 2cos21 cosV2cot 21cos1 cossin1cossin1 cos正弦定理:asin Absin B2R 余弦定理：c2sin C2 2a b 2abcosC反三角函数性质：arcs in xarccosxarcta n xarc cot x2(uv)(n)nC：u(nk 0kJ

7、)u(n)v(n 1) nu vn(n 1)u(n 2)vn(n 1) (n k 1) (n k)v(k)10、高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz )公式：2!k!11、中值定理与导数应用:UV(n)拉格朗日中值定理:f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理： 当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理12、空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：d M1M2 向量在轴上的投影：Pr ju AB(X2 X1)2 Q2 yJ2 (Z2 Z1)2AB cos ,是AB与u轴的夹角。Prju1 a?) Pr ja1 Prja?a b cosaxbxazbz,是一个数量,两

8、向量之间的夹角:cosaxb：x2 2 一 ax ayay byT2az .bxazbz2 2bybzcabaxbxaybyk az，c bza b sin例：线速度:向量的混合积:abc (ab) caxbxaybyCyazbzCzc cos ,为锐角时,代表平行六面体的体积平面的方程:1、点法式：A(xXo)B(yyo)C(zzo)0,其中 n代 B,C, Mo(xo,yo,zo)2、一般方程：AxByCz Do3、截距世方程：yz-1abc平面外任意一点到该平面的距离:|Axo Byod Czo D、A2B2 c2xXomt空间直线的方程：xXoy yoz z t,其中sm,n, p;参

9、数方程：yyontmnPPtzzo二次曲面：2221、椭球面：y_刍1ab2c222、抛物面：丄y_z,(p, q 同号)2p2q3、双曲面：222单叶双曲面：务y_刍1ab2c222双叶双曲面：qy 2刍1（马鞍面）abc13、多元函数微分法及应用全微分：dz dx dyxyduu .u .u .dxdydzxyz全微分的近似计算：Zdzfx(x,y)X fy(x,y) y多元复合函数的求导法:dzzu zvz fu(t),v(t)dtut vtZ fu(x, y),v(x, y)zzu z vXux v X当 u u(x, y), v v(x, y)时，du dx dydvdxdyxyXy

10、隐函数的求导公式：隐函数F(x, y) 0,dyFx,茫(=)+ (F)dydxFydxFyyFydx隐函数 F(x,y,z) 0,zFx,XFzy Fz隐函数方程组：F(x,y,u,v) 0G(x,y,u,v) 0j JFG)uFuFv(u,v)GGGuGvuvF Fu1(F,G)v1Xj(x,v)Xju1(F,G)v1yj(y,v)yj(F,G) (u,x) (F,G) (u,y)微分法在几何上的应用:x空间曲线yz(t)(t)在点M (x0,y0,z0)处的切线方程:(t)X xo(U)y y zzo(to)-(t在点M处的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z

11、 zo) o若空间曲线方程为:F(x,y,z) 则切向量tG(x,y, z) oGy Gz,Gz Gx,GxGy G z Gz G x GxFyGy曲面 F(x, y, z) 0上一点 M (xo, yo, zo),则：1、过此点的法向量：n Fx(Xo, y,zo), Fy(xo,y,Zo), Fz(Xo, y,Zo)Fz(xo,yo, zo)(z Zo)2 过此点的切平面方程：Fx(xo,y,Zo)(x Xo) Fy(xo,yo,zo)(y yo)3、过此点的法线方程:x xoy yoz ZoFx(Xo,y,Zo) Fy(Xo,y,Zo)Fz(x,yo,Zo)14、多元函数的极值及其求法:

12、设fx(xo, yo)fy(Xo, yo)0,令：fxx(Xo,yo)A,fxy (Xo, yo) B,fyy (Xo, yo) CAC2B0时，AAo,(xo, yo)为极大值 o,(Xo,yo)为极小值则：ACB20时，无极值AC2B0时,不确定15、级数常数项级数:等比数列：1 q q2等差数列:1 2 31 1调和级数：1-23qn 11 qn1 q(n 1)n2级数审敛法:1、正项级数的审敛法-根植审敛法（柯西判1时，级数收敛别法）设：limn;U；，则nn1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limUn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：SnU1

13、 U2Un；limnSn存在，则收敛；否则发散。0）的审敛法莱布尼兹定理:交错级数 S u2 u3 u4(或 5 u2 u3 ,un如果交错级数满足Un Un 1lim Un0那么级数收敛且其和其余项rn的绝对值rnUn 1绝对收敛与条件收敛:（1）u1 u2un ，其中un为任意实数；（2）u*|比|出|Un如果收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。1 X X2 X3对于级数（3）a0a1xa2 x21时,1时,a xnn收敛于 -1 X发散，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛,则必存在R,使求收敛半径的方法：设li

14、mnan 1an|XlX|XR时收敛R寸发散，其中R称为收敛半径。R寸不定其中an，an1是（3）的系数，则0时，R -0时，R时，R 0调和级数：丄发散，而n(F收敛;n级数：t收敛；nP级数:1pnPP1时发散1时收敛幂级数:函数展开成幂级数:f(x0)(x xo)nn!函数展开成泰勒级数：f(x)f (X。)2f(X)(X X)_ (x x0)2f ()() 余项：Rn j(n 1)(x X0)1, f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：im Rn 0Xo0时即为麦克劳林公式:f(x) f (0)f(0)x 学23nn!一些函数展开成幂级数:m(1 x)1 mxm(m2!Hx2m(

15、m 1) (mn!1 X 1)sin x3!5!1)n欧拉公式:cosxixe cosxisin xsin x2n 1X(2n1)!ixixee2ixixee116、微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f (x, y) 或 P(x,y)dx Q(x, y)dy 00,1)可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g (y )dyf (x)dx的形式，解法:g(y)dyf (x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。齐次方程:一阶微分方程可以写成dyf(x, y)(x,y),即写成丄的函数，解法：dxX设U y,则巴Udu X 一,du u(u),dxdu 分离变量，积分后将 y代替u ,XdxdxdxX(u) uX即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程： 吐 P(x) ydxQ(x)当 Q(x)0时,为齐次方程，y CeP(x)dx当 Q(x)0时，为非齐次方程，yP(x)dxP(x) dx(Q(x)edx C)e2贝努力方程:dyn匚 P(x)y Q(x)y，(n二阶微分方程:dxP(x)dXQ(x)yf(x), f(X)f(x)0寸为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：1、写岀特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的