(完整版)高考概率大题专项训练

1、第3页(共 24页)2017年01月23日概率大题一解答题(共18小题)1 某年级星期一至星期五每天下午排 3节课，每天下午随机选择1节作为综合 实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践 课程.(1) 求这两个班 在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2) 设这两个班 在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布表 与数学期望E (X).2 甲、乙两人组成 星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则星队”得3分；如果只有一个人猜对，则星 队”得1分；如果两人都没猜对，则 星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是一，4乙

2、每轮猜对的概率是二；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响假设 星队”参加两轮活动，求：(I) 星队”至少猜对3个成语的概率；(II) 星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX3. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1) 设A为事件 选出的2人参加义工活动次数之和为 4”，求事件A发生的概 率；(2) 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X的分布 列和数学期望.4. 某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载

3、有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(I)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(n)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.5. 集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能 若三个电子元件中至少有 2 个正常工作， 则 E 能正常工作， 否则就需要维修， 且 维修集成电路E所需费用为100元.正常工作的概率分别降为寺，寺，寻，且每个电子元件能否正常工作相互独立,(I )求集成电路E需要维修的概率；(U)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成 电路所需的费用，求X的分布列和期望.6某商场举行

4、优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满 200 元减 50元：方案二：每满 200 元可抽奖一次具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的 甲箱，装有 2个红球、2个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、 3个白球的丙箱中 各随机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表： (注：所有小球仅颜色有区 别)红球个数 3210实际付款 半价 7 折 8折 原价(I)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概 率；(U)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 7为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两

5、所中 学举办一次中学生围棋擂台赛 比赛规则如下， 双方各出 3名队员并预先排定好 出场顺序， 双方的第一号选手首先对垒， 双方的胜者留下进行下一局比赛， 负者 被淘汰出局， 由第二号选手挑战上一局获胜的选手， 依此类推， 直到一方的队员 全部被淘汰， 另一方算获胜 假若双方队员的实力旗鼓相当 (即取胜对手的概率 彼此相等)(I )在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率.(U)记双方结束比赛的局数为 g求E的分布列并求其数学期望EE8M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14名男生和 6名女生， 这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分) ，公司规定：成绩在 180

6、分以上者到 “甲部门”工作； 180分以下者到“乙部门”工作另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任 “助理工作 ”(I )如果用分层抽样的方法从 甲部分”人选和乙部分”人选中选取8人，再从 这8人中选3人，那么至少有一人是 甲部门”人选的概率是多少？(U )若从所有 甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任 助理 工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.男女8 8 6168 240,第二种方案比较划算.(12分)7. （2016?商丘校级模拟）为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与 学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛. 比赛规则如下，双方各出 3名队

7、员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下 进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手， 依此 类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜.假若双方队员的实力旗鼓相 当（即取胜对手的概率彼此相等）（I ）在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率.（U）记双方结束比赛的局数为 g求E的分布列并求其数学期望EE【解答】解：（I ）在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有 3名选手， 而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜 3场，或者比赛四场要胜三场， 且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是! + - 一（U ）记双方结束比赛的局数为 g贝U g

8、 =3 4，卯（g二3）二（+）今P（E 二4XC婿P（E二5XC；晡&卢令所以g的分布列为g345P1334SS数学期望二二-二+三.-三十.8. （2016?武昌区模拟）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14 名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司 规定：成绩在180分以上者到 甲部门”工作；180分以下者到 乙部门”工作.另 外只有成绩高于180分的男生才能担任 助理工作”.(I)如果用分层抽样的方法从 甲部分”人选和乙部分”人选中选取8人，再从 这8人中选3人，那么至少有一人是 甲部门”人选的概率是多少？(U )若从所有 甲部门”人选中随

9、机选3人，用X表示所选人员中能担任 助理 工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.161718 19【解答】解：(I)用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为一，20 5根据茎叶图，有 甲部门”人选10人，乙部门”人选10人，所以选中的 甲部门”人选有10 X=4人，乙部门”人选有10 X二=4人，55用事件A表示 至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件口表示 没有一名甲 | |部门人被选中”贝U P (A) =1 - P (2) =1-弓=1-旦里.C3 56 14因此，至少有一人是 甲部门”人选的概率是；14(U)依据题意，所选毕业生中能担任 助理工作”的人数X的取值分别为0,

10、 1, 2, 3,c?c1D / Vi 2clc3 id贡,P( X=1)-10=10P( X=0) 1，P(X=2)=c?0i_3 0 嚎- ，P(X=3)=；30+3XCio因此，X的分布列如下:X0123p1311301026所以X的数学期望EX=0X丄+1+2X3030 (2016?洛阳二模)生产 A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大 于或等于82为正品，小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标70，76)76, 82)82，88)88， 94)94，100元件A81240328元件B71840296(I)试分别估计元件A，兀件B为正

11、品的概率；(n)生产件兀件A，若是正品可盈利40兀，若是:次品则亏损5元；生产一件兀件B,若是正品可盈利50兀，若是次品则亏损10兀.在(I)的前提下，(i)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量 X的分 布列和数学期望；(ii )求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.【解答】解：(I)元件A为正品的概率约为曲；鶯世 冷.元件B为正品的概率约为1004(n) ( i ) V生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次.随机变量X的所有取值为90，45，30，- 15.v p( x=90)-=：544;P( X=30) =；

12、P( X=45)=丄54 20P (X=- 15) =| 丄.5420随机变量X的分布列为:(ii)设生产的5件元件B中正品有n件，贝U次品有5 - n 件.依题意得50n- 10 (5-n)140，解得6所以 n=4或n=5.设生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A,128则 P (A)=二10. (2016?蚌埠一模)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球， 从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为5,第13页(共24页)即 E (X) =0X最罔件磊心需=1（如15 , （15, 25 , （25, 35 , （35, 45，由此得到

13、样本的重量频率分布直方图 图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）.瞬至第#页（共24页）解得 a=0.03;又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为 20，而50个样本小球重量的平均值为：X=0.2X 10+0.32X 20+0.3 X 30+0.18 X 40=24.6 （克）故估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6克.（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在5，15内的 0.2;(3,），X=0, 1,2, 3;

14、(X=0)=叫X3= (x=1)(X=2)(X=3)=坊X2X 1=485125X(和2=3_ L125 712125 7125-)-)(一)(丄)014S1252 X的分布列为:3112511. （2016?新余三模）某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男 一女的概率为；15（1）求该小组中女生的人数；（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为 一，4每个男生通过的概率均为一；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙 3个人

15、进行3_ 8测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量 E求E的分布列和数学期望.【解答】解：（1）设该小组中有n个女生，根据题意, 解得n=6，n=4 （舍去）， 该小组中有6个女生；（2）由题意，E的取值为0，1, 2, 3； E的分布列为:0123丄11236363636 EE =X12. （2016?可北区一模）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会， 拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:（I ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646第19

16、页(共24页)属于同一学院的概率;（n）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为求随机变量E的概率分布列和数学期望.【解答】解：（I）从20名学生随机选出3名的方法数为悶口,选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为:所以1 4C1 4C1 6C+11 6C819-(n ) E可能的取值为0, 1, 2, 3,321 八 c165X7X1628“匕一八丿佰J 8X15X43P角二二歹二豁2QI9二丽 巩 冷)-卬二 4 二20P(E _2)_C 來才 -16 X 63-、二3二巴 33X20X19-%v20所以E的分布列为285718953285所以 t- -Tx13.

17、（2016?可南校级二模）甲、乙两名同学参加 汉字听写大赛”选拔测试，在相 同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595(I )请画出甲、乙两人成绩的茎叶图你认为选派谁参赛更好？说明理由(不用计算)；(n)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析， 设抽到的两 个成绩中，90分以上的个数为X,求随机变量X的分布列和期望EX【解答】解：(I )茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成 绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好.(n)随机变量X的所有可能取值为0，1, 2卩Cx二0匸吾

18、尹二茹，p仗二D二頁尹=茹，尹近,随机变量X的分布列是：X0116252种情况发生的概率分别为丄,T I；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，甲,乙5 S565678g175295也可能损失20%,这两种情况发生的概率分别为a和B( a+B =1.(1)如果把10万元投资甲项目，用E表示投资收益(收益=回收资金-投资资 金),求E的概率分布及Eg(2)若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.【解答】解：(1)依题意，E的可能取值为1, 0,- 1,P (E =),P (E =0,4P ( E- 1)丄,4 E的分布列为：(2)设n表示10万元投资乙项目的收益

19、,则n的可能取值为2,- 2,P (n =2 = aP ( n=- 2) = B,n的分布列为n2paEn =2 2 B =4 2,把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益, 4 a- 24解得：(12分)15. (2016?兴庆区校级二模)袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为 丄.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸， 乙后取，然后甲再取，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每枚棋 子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的 次数.(1) 求随机变量X的概率分布列和数学期望 E (X);(2) 求甲取到白球

20、的概率.【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知:2笨，即忖专,即 x2-x-6=0,解之得 x=3, (x=- 2 舍去).( 1 分)(x=3)(1)袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1, 2, 3, 4, 5.(x=4)(x=5)A沁肩A沁,(5分)=M.3A77(x=1)27(x=2)A沁 有(注：此段(4分)的分配是每错1个扣(1分)，错到4个即不得分.)随机变量X的概率分布列为：所以E (X)2=1X 二+2X 丄 +3X7735+4X+5X43_35135=2. (6 分)(2)记事件A=甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件:Ai=甲第1次取球时取出白球A

21、2=甲第2次取球时取出白球甲第3次取球时取出白球依题意知：P( A1)=-A3=寸，P( A2)=,P(A3)A； (9 分)(注：此段(3分)的分配是每错1个扣(1分)，错到3个即不得分.)所以，甲取到白球的概率为 P (A) =P (A1) +P (A2) +P (A3)=(10分) 3516. （2016?湖南一模）小王为了锻炼身体，每天坚持 健步走”并用计步器进行 统计小王最近8天 健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量 数据表（如表）.健步走步数（千卡）16 17 18 19消耗能量（卡路里）400 440 480 520（I ）求小王这8天 健步走”步数的平均数;（U

22、）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的 能量和”为X,求X的分布列.【解答】（本小题满分13 分）第21页（共24页）解：（I）小王这8天 健步走”步数的平均数为:- （千步）（II） X的各种取值可能为 800，840，880，920.3 1C上bP（X二 840）clc!+c? 4P（X二炎 0） 7u6_2_15X的分布列为:800I8408809202.A_2.引15157.（13分）17. （2016?雅安模拟）某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查 36名学生, 统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为 120分），成绩的频率直方图

23、如图所示，其中成绩分组间是：80, 90），90，100），100，110），110，120（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有 且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是80, 100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在90，100）内的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望EX【解答】解：（1）由频率分布直方图，得;10a=1（士X 10=，解得a-;成绩在80, 90）分的学生有36X需X 10=3人,成绩在90, 100）分的学生有36X亠X 10=6人，60成绩在100, 110）分

24、的学生有36XX 10=18人,成绩在110, 120）分的学生有36X X 10=9人；40记事件A为 抽取3名学生中同时满足条件的事件 包括事件A1= 抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在90, 100）分之 间” 事件A2二抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在90, 100）分之间” 且A1、A是互斥事件；no85=1=34Cc P (A) =P (A1+A2) =P (Ai) +P (A2)=I比(2)随机变量X的可能取值为0, 1, 2, 3; P (X=0) 一sic3 x的分布列为(X=3)一！.721314数学期望为EX=（X3旦21x2+2乂些 +3 X141528521=2.=曲=