(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版)

1、空间向量的夹角、距离计算同步练习题、选择题1. 已知 AA2 , -5,1) , B(2 , -2,4) , C(1 , -4,1)，则直线 AC与 AB的夹角为(C )A.300B.450C.600D.9002. 已知向量a= (0 , 2, 1) , b= ( 1, 1, 2)，贝U a与b的夹角为()A. 0 B . 45 C. 90 D. 180解析：选C.已知a= (0 , 2, 1), b= ( 1, 1， 2)，贝U cos a, b= 0，从而得出a与b的夹角为90 .3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a= (0,2,1 ), b=(,:,:),那么

2、这条直线与平面的夹角为(D )A. 90 0B. 600C.450D. 3004. 边长为a的正六边形 ABCDE所在平面为 a , PA! a且PA= a,则PC与a所成的角为(A )A. 30 B. 60 C. 45 D.90 5在棱长为a的正方体 ABC ABCD中，M是AA的中点，则点 A到平面 MBD勺距离是()入吕 B.寻C.-?a0寻6643一 1解析： 以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a,则A(a, 0, a) , A(a, 0,0) , Ma, 0,护,B(a, a, 0),D(0,0,0)，设 n= (x,y,z)为平面 BMD勺法向量，贝Un BM= 0,且 n

3、 6lM= 0，而BM=0, a,*a,6m=a, 0,*a.1 1y+ 2z = 0,y = 2z,所以所以令z= 2,则n= ( 1,1,2) , DA= (a, 0, a)，则A到平面1 1x+ 子=0,x = z,BDM勺距离是d= DA n| = -a.答案：A| n|66. 已知向量n= (1,0 , -1 )与平面a垂直，且a经过点A (2,3,1 ),则点P (4,3,2 )到a的距离为(B )A. 1 B.牛 C. 殊 D. 27. 正方体ABCABCD的棱长为1, O是AC的中点，贝U 0到平面 ABGD的距离为(A )A. - B. C.- D.-43238. 若直线l的

4、方向向量与平面a的法向量的夹角等于 120,则直线l与平面a所成的角等于()A. 120B . 60C . 30D . 60 或 30解析：选C.由题意得直线l与平面a的法向量所在直线的夹角为60,二直线l与平面a所成的角为90 60= 30.9 .设ABCD ABEF都是边长为1的正方形，FA!面ABCD则异面直线 AC与BF所成的角等于()A. 45B. 30C . 90D . 60解析：选D.以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(1,0,0),Q0,1,0),F(1,0,1), AC=( 1,1,0) , BF= (1,0

5、,1). a cos ACE3F= *. /1=120 . AC与 BF所成的角为 60.10.在长方体A. 0 B.ABC ABCD中，AB= 2, BC= 2, DD= 3，则AC与BD所成角的余弦值为(3 70103 . 7070解析:AIBt7选A.建立如图坐标系，则 BD = ( - 2,- 2,3),D(0,0 ,3),02,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),BD Xc=0. I BDII ACC11.在正方体 ABC ABCD中，E是CC的中点，则直线 BE与平面BBD所成的角的正弦值为 A-迈5解析：选B.AC= ( 2,2,0) . cos BD,AC E3D,

6、AO = 90,其余弦值为0.B.建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2,0) , BB= (0,0,2), BE= ( 2,0,1).,B(2,2,2),曰0,2,1)设平面BiBD的法向量为n= (x, y,z) .T n丄丽 n丄BB,.-2x 2y = 0, 2z= 0.x = - y,z = 0.令 y= 1，贝U n = ( 1,1,0) . cosn, E =J=I 叫| E5设直线BE与平面BBD所成角为0，贝U sin|cosn, BE | =甲512.在正方体 ABCA1B1CD中，M1代9B.uuurN分别为棱AA和BB的中点，贝U sin CM ,2 5 D. I

7、uuuurD1N的值为 (C.D.2, 以D为坐标原点,DA x轴，DC为y轴,DD为z轴建立空间直角坐标系，可知uuur CM=(2 ,-2,1),D1NuuuruuuurcosCM ,D1N答案：B=(2,2解析：设正方体棱长为uuuur二、填空题-1),uuir sin CMuuuur4 5UN=13.已知a,b是直线，a ,卩是平面,a丄a, b丄卩，向量a1在a上，向量 d在b上，a= (1,0,1),3a,则点D到直线PB的距离是_#abi= ( 1,2,1)，则a,卩所成二面角的大小为 90 14.正三角形PAB与正方形ABCD所在平面互相垂直，正方形的边长为解析：11n2 n设

8、 u = (1,0 ,1) , v= (0 ,1,1)，贝U cos B= |cos u, v| =| = o.。一 或 .寸 2233答案：n 2 n或3315 .平面a的法向量为(1,0 , 1)，平面卩的法向量为(0， 1,1)，则平面a与平面3所成二面角的大小为16已知在棱长为 a的正方体 ABCDA B C D中，E是BC的中点则直线 A C与DE所成角的余弦值为解析:如图所示建立空间直角坐标系，则A (0,0 , a) , q a, a,0) , D(0 , a, 0),attE a, 2, 0 , A C= (a, a, a) , DEa, a 0 , cos AC,t一以V答案

9、V三、解答题17.正方体 ABC ABCD中，E、F分别是AD、AG的中点.求：异面直线 解：AE与CF所成角的余弦值.7设正方体棱长为 2，分别取DA DC DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2),则 Afe= ( 1,0,2), cF= (1, 1,2) , |AE =V5, |SF =6.10，Xe- TF= 1 + 0+4= 3.又Xe-Cf= | AE|CFfcos Afe,TF= .：30cos Afe,Cf, cosAfe,所求角的余弦值为 彳00.a,18已知正方体 ABC ABCD

10、,棱长为a , E、F、G分别是CC、AD、AB的中点，求点 A到平面EFG勺距离.解析：如图建立空间直角坐标系,a aa aa则 A a, 0,0) , E0, a,空,F 2,0，a , Ga, 2，0 ，- EF= 2，a， 2，EG= a,- J,Ga= 0,-2, 0，设 n= (x, y, z)是平面 EFG的法向量，贝U “ = n EG = 0x 2y+ z= 02x y z= 0 x = y= z,可取 n = (1,1,1), d=aI &A n|2 击RT = 3=6a即点A到平面EF距离为fa19.正三棱柱 ABC-ABC的所有棱长都为 2, D为CC中点.(1)求证：

11、AB丄平面ABD (2)求二面角 A-A1D-B的余弦值.解析：(1)取BC中点Q BC中点O,以O为原点，Sb OO、OA勺方向分别为x, y, z轴的正方向建立空间直 角坐标系.则巳1,0,0) , D( 1,1,0) , A(0,2 , W), A(0,0，和,B(1,2,0), AB= (1,2，-&) , BD= ( 2,1,0) , BA= ( 1,2，护).AB Bd= 2 + 2+ 0= 0,AB BA1 + 4 3= 0, AB丄SD AB丄 BA. - AB丄平面 ABD 设平面AAD的法向量为n= (x , y , z),AD= ( 1,1 ,.3) , AA= (0,2

12、,0)n丄ADn At= 0 , n AA= 0.x + y 3z= 0 ,2y= 0.y = 0 ,x =3z.令z= 1,得n=(乖,0,1)为平面 AAD的一个法向量由(1)知AB丄平面 ABDAB为平面 ABD的法向量.cosn, ABn ABI n| |AB|2 2 2.面角A-AD-B的余弦值为.620.如图，P ABCDI正四棱锥， ABC A1B1C D是正方体，其中 AB= 2 , PA= 6.(1)求证：PAL BD; (2)求平面PAD与平面BDDB所成锐二面角的余弦值.解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则 D(

13、0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0), Q0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),Q0,2,2),uuuruuuirP(1,1,4). (1)证明： AP = ( 1,1,2) , d1 B1 = (2,2,0),uuu uuuur二 AP D1B1 =- 2 + 2+ 0 = 0, PAIBD.uuur 平面BDEBi的法向量为 AC = ( 2,2,0).uuuuuuDA = (2,0,0) , OP = (1,1,2).uuu uuur 设平面PAD的法向量为n= (x, y, z)，则n丄DA , n丄DP .2x = 0,x= 0,x+ y+

14、 2z= 0,- y= 2z,取 *(，刊，设所求锐二面角为0 ，贝U cos 0 =|0 4+ 0|1025 521.如图，四边形(I )证明：平面1 ABCD正方形，PDL平面 ABCD PD/ QA QA=AB=PD2PQ丄平面DCQ (II )求二面角 Q BP-C的余弦值.解析：如图，以D为坐标原点，线段 DA的长为单位长，射线 DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz.(I )依题意有Q (1,1, 0),uuiruiuruuurC (0, 0, 1), P (0, 2, 0).则 DQ (1,1,0),DC(0,0,1), PQ (1, 1,0).所以uuur uuur u

15、urPQ DQ 0,PQuuurDC0.即 PQL DQPQL DC故 PC丄平面 DCC又(II )依题意有B (1,uuu0 , 1) , CBuuu(1,0,0), BP(1,2,1).设n (x, y,z)是平面PBC的法向量,uuuCBuuuBP，即0,0,x 2y zPQ0.DCQ(1,1,1)所以 cos m,n因此可取n (0,1, 2).设m是平面PBQ的法向量，贝U mmuuu BP uuurPQ 0.0,可取.155故二面角 Q- BP- C的余弦值为5 .22.如图，四棱锥 P-ABCD ,底面 ABCD矩形，PA!底面ABCD PA= AB= ：6 , E是棱PB的中

16、点.(1)求直线AD与平面PBC的距离;(2)若AD= ：3 ,求二面角 A-EGD的平面角的余弦值.解析：设 D(0 , a,0)，则 B( ：6 0,0) , C .6, a,0) , P(0,0 ,E#, 0,所以 XE= -2, 0, , BC (0 , a,0),Pc ( ,：6, 0,- ，则XE-归 0 , XE- PG 0.所以 AE丄平面 PBC又由 AE丄 AD, 故直线AD与平面PBC的距离为|XE = ；3 因为 | AD = .3 ,则Q0,3 , 0) ,C(.6 ,3 ,0) 设平面 AEC的法向量 ni = (xi ,yi ,zi),，6xi + 3yi = 0

17、 ,则 n1-AC= 0 ,n1 -AE=0.又AC=( ；6 ,3,0) ,AE=-2,0 ,-6,故 (：62 Xl+ 2 Zl = 0，所以 y1 = -.-2x1 , Z1=- X1.可取 Z1=-：2 ,则 n= ( :2, 2 ,: 2).n2 - DC= 0 , n2 - DE= 0.设平面DEC的法向量n2 = (X2 , y2 , Z2),则又DC= ( ：6 , 0,0) , 3e=严,-.3 ,今X2= 0 ,承-冋2+昙=0.所以= 0，Z2= %可取 y2= 1,贝U n2= (0,1 , ；2).故 cos m , n2I匚节盘歸所以二面角AEGD的平面角的余弦值为

18、嶋23.女口图，在四面体 ABO（中 , OCLOA OCLOB/ AO= 120 且 OA= OB= OC= 1.（1）设P为AC的中点,Q在AB上 ,且AB= 3AQO-AGB的平面角的余弦值.解析：（1）取O为坐标原点，以OA OC所在的直线为x轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz.1则 A(1,0,0) , C(0,0,1), B - ,/ AB= -3中，0 -:AQ= tAB=AC= Oaf Ac= 2, ，0， AC= Sq 尿 0 , -t3 ,2 6 6PQ- 6a= 0 ,今,-1(1,0,0) = 0.二PC丄 OA 设平面ABC的法向量n= (ni,压，氐)，则由n丄CA n丄AB且CA= (1,0 , 1)，得ni0,取ni= 1,则n= (1，3,1).又 平面OAC勺法向量为e= (0,1,0),如 ne1，-0,1, 0辰1155.故二面角O- AC B的平面角的余弦值为.15524.在三棱锥 S- ABC中, ABC是边长为4的正三角形，平面 SA(丄平面 ABC