(完整版)阿波罗尼斯圆问题

1、阿波罗尼斯圆问题6一【问题背景】苏教版数学必修 2P.112第12题：1已知点M (x,y)与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足2什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.二、【阿波罗尼斯圆】书中，曾研公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius )在平面轨迹究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A, B为两定点，动点 P满足PA PB ,则 1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证：设AB 2m ( m 0),PA PB 以AB中点为原点，直线 AB

2、为x轴建立平面(X m)2直角坐标系，则 A (m,0), B (m,0) 又设 C (x, y),则由 PA PB得.(x m)2 y2两边平方并化简整理得 (21)x2 2m ( 21) x21) y2m2(12),1时,0，轨迹为线段AB的垂直平分线;1时,(x2 1m)2y214 2m26 ,轨迹为以点(丁m,0)为圆心,1长为半径的圆.上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.三、【范例】例1满足条件AB 2, AC.2BC的三角形ABC的面积的最大值是解：以AB中点为原点，直线B (1,0)，设 C (x, y),由 ACAB为x轴建立平面直角坐标系，则 A ( 1,0),、2B

3、C 得.(x 1)2 y22 .(x 1)2平方化简整理得寸 x2 6x 1(x3)288 , y 2 2，则S ABC1 一 一 2y 2y/2 , S abc 的最大值是 2J2 .2变式 在 ABC中，边BC的中点为D，若AB 2,BC2 AD ,贝U ABC的面积的最大值是.解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系， 则A ( 1,0), B (1,0), 由BD CD,BC .、2AD知，AD 2BD , D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为 (x 3)2 y2 8，设C(x,y) , BC的中点为D得D(号，舟)，所以点C的轨迹方程为 (宁 32 (y)2 8，即(x 5)

4、2 y2 32 ,1 Sabc 2 2y y v；322，故Sabc的最大值是.例2在平面直角坐标系 xOy中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0,a2)，若存在点P，使得PA 2PB, PC PD，则实数a的取值范围是 .解：设 P(x,y)，则,(x 1)2 y22 , (x 3)2 y2 ,整理得(x 5)2 y2 8，即动点P在以(5,0)为圆心，2,2为半径的圆上运动.另一方面，由PC PD知动点P在线段CD的垂直平分线y a 1上运动，因而问题就转化为直线 y a 1与圆(x 5)2 y28有交点，所以a 1 22，故实数a的取值范围是22 1,242 1

5、.例3在平面直角坐标系 xOy中，点A 0,3，直线I: y 2x 4.设圆的半径为1 , 圆心在丨上.若圆C上存在点M，使MA 2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解：设C a,2a4 ，则圆方程为2y 2a 4又设 M(x,y),QMA 2MOy。3 2 4x024y2,2 2x0y。14这说明M既在圆2小x a y 2a1上，又在圆x224上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切,2 22 1. a 0 2a 4 ( 1)2 1 ,12 12解得0 a -，即a的取值范围是,R(1)(2)(3)例4已知O O : x2 y21和点过点M向O O引切线I，求直线求以点M为圆心，且被直线

6、y设P为（2）M(4,2).I的方程;2x 1截得的弦长为4的O M的方程;中O M上任一点，过点 P向O O引切线，切点为 Q.试探究：平面内是否存在一定点R ,PQ使得 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，PR请说明理由解：（1）设切线I方程为y 2 k(x4)，易得|4k2|1，解得Vk218帀15，切线I方程为y 28 (x15（2）圆心到直线y2x 1的距离为.5, 设圆的半径为r，则r222(5)29O M的方程为（x4)2 (y 2)29（3）假设存在这样的点R（a,b），点P的坐标为（x, y），相应的定值为根据题意可得PQ(x a)2 (y b)2即x2y

7、2 12(x2 y2222 ax 2 by a b )(*),又点P在圆上 (x 4)2 (y2 2 22)9，即 x y 8x 4y 11，代入(*)式得:8x4y 122 (8 2a)x(4 2b)y (a2 b211)若系数对应相等，则等式恒成立,2 (82 (42 (a22a)2b)b211) 12解得a 2,b1,i 2或a可以找到这样的定点R，使得更为定值.如点R的坐标为(2,1)时，比值为、2 ；PR点R的坐标为(?，丄)时，比值为 二5 53四、【练习】1如图，在等腰 ABC中，已知AB AC , B( 1,0),AC边的中点为D(2,0)，点C的轨迹所包围的图形的面积等于解：

8、/ AB2AD ,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x 3)2y2 4,设 C(x,y),由AC边的中点为D(2,0)知 A(4x,y)，所以C的轨迹方程为(4x 3)2(y)224，即(x 1)4，面积为4平面CB2.如图，已知平面的交线上的两个定点,AD 4, BC平面DA,A、B是平面,CB ，且 DA8, AB 6，在平面上有使得 APD BPC，求PAB的面积的最大值.个动解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点P所满足的几何条件.DADA PA,在 Rt PAD 中，tan APDADAP同理tan BPCBC 8BP BP 在平面APD BPC BP 2AP，

9、这样就转化为题3的题型.A( 3,0), B(3,0)，设 P(x, y)则有(x 3)22,(x 3)2y2(y 0)化简得:(x 5)2 y216 ,y216 (x5)216,|y|PAB的面积为S PAB扣|AB| 3|y|12 ,当且仅当x5,y4等号取得，则PAB的面积的最大值是12.上，以线段 AB的中点为原点，AB所在的直线为 x轴,建立平面直角坐标系，则3 圆Oi与圆。2的半径都是1 ,。1。2 4，过动点P分别作圆Oi、圆。2的切线PM ,PN （ M ,N分别为切点），使得PM 2PN 试建立适当的坐标系， 并求动点P的 轨迹方程.解：以Oi，O2的中点O为原点，Oi，O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系,则 Oi( 2,0)，因为两圆的半径都为 i,所以有：POi2i 2（PO； i），设 P（ x,y），则(x 2)2y2 i 2(x2)2 y2 i，22即（x 6） y 33，此即P的轨迹方程.294已知定点O（O,O），点M是圆（x i） y4上任意一点，请问是否存在不同于o的定点a使都为M9常数？若存在，试求出所有满足条件的点A的坐标,若不存在，请