2013考研数三真题及解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当x 0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）(A) x o(x2) =O(X3)23(B) O(x) O(x ) =O(X )(C) o(x2) o(x2) =o(x2)(D) O(x) O(X2) =O(X2)（2）函数f (x)=x(x 1)ln |x|的可去间断点的个数为（A）0（B）1（C）2（D）3（3）设 Dk是圆域 D =（x,y）|x2 y1位于第 k 象限的部分，记 I

2、 （x）dxdy k=1,2,3,4 ，Dk则（）（A ） I10(B)I20(C)I30(D)I40（4）设an为正项数列，下列选项正确的是（）oO（A ）若 an an 1,则二（T）nan 收敛n =1QO（B）若7 （-1）心务收敛，则an an1n (C)若a an收敛，则存在常数n 4P 1,使 lim nPan 存在(D)若存在常数P 1，使lim nPan存在，则an收敛Yn 二(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 AB二C,则B可逆，则*1 a 2 0(6)矩阵aba与0 bJ a b 0(A) 矩阵C的行向量组与矩阵(B) 矩阵C的列向量组与矩阵(C) 矩阵C的行向量组与

3、矩阵(D) 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价A的列向量组等价B的行向量组等价B的列向量组等价0、0相似的充分必要条件为(A) a=O,b =2(B) a =0, b为任意常数(C) a=2,b=0(D) a =2,b为任意常数 N(5,32),(7)设 Xi, X2, X3是随机变量，且 XiN(0,1), X2N(0,22)，Pj 二 P-2 沐)空2(j =1,2,3),则()(a) PP2F3(B) P2 ar aF3(C) /P F2(D) P ar F2(8)设随机变量 X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为,X0123YTi1P121418q8P131313则 PX Y =

4、2=()(A)(B)(C)(D)112181612二、 填空题：9_14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸.指定位置上.、2、 n（9）设曲线y=f（x）和v=x x在点（0,1）处有公共的切线，则lim nf i =。Y in十2丿（10）设函数 z = z（x, y）由方程（z+ y）x = xy确定，则 （12） =。cXIn x（11） 求x 2dx。1（1+x）21（12）微分方程y -y y = 0通解为y二。4（13）设A二厲）是三阶非零矩阵，| A |为A的行列式，Aj为aj的代数余子式，若aj Aj =0（i,j =1,2,3）,则 A 二（14） 设随机变量X服

5、从标准正态分布 XN（0,1），则E（Xe2X） =。三、 解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.（15）（本题满分10分）当X 0时，1 -cosx cos2x cos3x与axn为等价无穷小，求 n与a的值。（16）（本题满分10分）1设D是由曲线y=x3，直线x=a（a 0）及x轴所围成的平面图形，VV分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy = 10Vx，求a的值。（17）（本题满分10分）设平面内区域 D由直线x = 3y, y=3x及x y =8围成计算i i x2dxdy。D（18）（本题满分10

6、分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P =60 ,（ p是单价，单位：1000元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。(2) 当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。(3) 使得利润最大的定价 P。(19) (本题满分10分)设函数f(x)在0, ：上可导，f(0) =0且lim f(x)=2，证明(1)存在 a . 0 ,使得 f (a) =11(2)对(1)中的 a，存在：；：=(0, a),使得 f( J .a(20) (本题满分11分)f1a)(0 1设A=,B=，当a,b为何值时，存在矩阵 C使得AC-CA=B，并求所

7、有矩阵C 。J 0丿J b丿(21) (本题满分11分)(II )若:正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型 2yf y。(22) (本题满分11分)设X,丫是二维随机变量，X的边缘概率密度为3x2, O x： 1,fx0,其他.，在给定x0*1 的条件下，丫的条件概率密度fYX yx = x3I 0,0 ： y ： x,其他.(1) 求X,Y的概率密度f x,y ；(2)丫的边缘概率密度fY y .(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为exf (x )才 X30,X 0,其中二为未知参数且大于零, 其它.X1,X2/ Xn为来自总体2 2设二次型f (捲兀兀)=

8、2佝捲+a?X2 +a3X3)十人+dx2 3X3 )，记a =a2,P =b2(I)证明二次型f对应的矩阵为2：二i ；X的简单随机样本.(1) 求二的矩估计量；(2) 求二的最大似然估计量2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案、选择题:18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当Xr 0时，用O(X)表示比X高阶的无穷小，则下列式子中错误的是(A) x O(X2) =O(X3)23(B) O(X)O(X ) =O(X )(C) o(x2) o(x2) =O(X2)(D) O(X) O(X2) =O

9、(X2)【答案】D【解析】O(x) O(X2) =O(X)，故D错误。(2)函数f (x)二x(x 1)ln |x|的可去间断点的个数为(A) 0(B) 1(C) 2(D)3【答案】C【解析】由题意可知f (x)的间断点为0, -1。又lim f (x)xj 二 limx-0Xx -1x(x 1)ln x 一呵:xln xe -1x(x 1)ln Xxl nx二 lim x-0 x(x 1)ln x=1(x) -1lim f (x)二 limx 0一 x 0 x(x 1)ln( -x)xln( -x)e -1=limx-Q x(x 1)ln( -x)lim Xln( x)x0 x(x 1)ln

10、( -x)=1xX 1 lim f (x) = lim 一limx1 x(x 1)ln xx-1xln xe -1limx(x 1)ln x x 1xln xx(x 1)ln x9imx Q x(x 1)ln(-x)(_x)x _1eXZ!im1f(X)=呵1 x(x 1)ln(-x)=艸1 x(x 1)ln(-x)故f(X)的可去间断点有2个。(3)设 Dk是圆域 D -(x,y)|x2 y 0.故正确答案选B。(4) 设an为正项数列，下列选项正确的是()0(A) 若 an an 1,则二(-1)nan 收敛n (B) 若7 (-1)nan 收敛，则 an - an 1n -1QOP 1,

11、使 lim nPan存在n-C(C)若7 an收敛，则存在常数(D)若存在常数n生P 1，使lim nPan存在，则an收敛Yn#【答案】D【解析】根据正项级数的比较判别法，当qQP 1时，V丄收敛n# nP: :1，且/存在，则j与池同(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 AB二C，且C可逆，则()(A )矩阵C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价(C) 矩阵C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价(D) 矩阵C的行向量组与矩阵 B的列向量组等价 【答案】(B)，从而【解析】由C =AB可知C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又 B可逆，故有

12、A=CBB )。A的列向量组也可以由 C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为(B)= 0,b为任意常数(C)=2,b =0(D)= 2,b为任意常数【答案】(B)1 a Pn a Paba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而aba与J a 1丿J a 1丿0【解析】由于0b0011a的特征值为2,b,0。相似的充分必要条件为na1、200(6)矩阵aba与0b0Jab相似的充分必要条件为(A)= 0,b =2a -1-a-a -1 -b-a 二( -b)( -2)-2a2，从而 a=0,b为任意常数。-a 1(7)设 X1, X2, X3是随机变量，且 X1N(0,1)

13、, X2N(0,22)，X3N(5,32),P 二 P-2 乞 Xj 乞 2(j =1,2,3),则()(a)rp2aPj(B) /PP(C) /p 举【答案】(A )【解析】由 Xi ： N 0,1 ,X2 ： N 0,22 ,X3 : N 5,32 知，Pi =P一2 空 Xi 乞 2”.； = Pf Xi 空 2”.；=2门 2 -1 ,(A)12P2 =P-2 兰 X?兰 2=P|X2 兰 2 = 26 (11，故 p1 0-1-1 1 0 -1a01-a0 b,31_a00 -1-11 、0 1a01 + aT0 0 001 + ai0000 b 1 a由于方程组2 ，则由AC _C

14、A = B可得线性方程组:1 广10-1-11 、1T01_a01+a00-1a00b丿01_a0b丿X4 /f0-1a0050-1-11、X1=& + k2 +1-a10a1T01100，故有x1,其中心k2任意.10-1-1100000X3 = k101-a0b丿2+(2a+ b x (4a at 2b b) x (41 as b b3) xi X3 ( 4 a2 a3 2 b2 ba 屜 xa 2 a：也22a1ab1b22a1anb1t3 / 2a1aa2a1a3db2b则f的矩阵为2aa2 +db22af +b22a2aHb2b3=2aa22a2+b；b2b32a2a +b2b32af + bg ,a1a3a2a32a3丿b2b3H丿=2 T T(2)令A=ol T + 郎T ,则 A =2aa Ta + 00Ta = 2ot, AB = 2aa TB + 郎 T0 = P，则 1,2 均为 A 的特征值，又由于r（A） =r（2、mT 川丁）乞r（wT） r（皿T） =2，故o为a的特征值，则三阶矩阵 A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2yf y2（22）（本题满分11分）设X,丫是二维随机变量，X的边缘概率密度为13x2, 0 ： x ： 1,fx（x）=o其他，在