无穷级数知识点

1、无穷级数 1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即: Sn lim Uk存在，称级数收敛。 n k 1 2.若任意项级数 Un收敛, n 1 Un发散，则称 Un条件收敛，若 n 1 Un n 1 收敛，则称级数 Un n 1 绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。 2.任何级数收敛的必要条件是 lim un 0 n 3.若有两个级数 Un 和 Vn n 1 Un 1 s,Vn n 1 则 (Un n 1 Vn) Un 1 VnS 。 n 1 Un收敛, n 1 Vn发散，则 （Un Vn）发散。 1发散，而 1 1 k 1 0收敛 若二者都发散，则（Un Vn）不确定，如 1, n 1

2、k 1 k 1 4三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数: a ,收敛， arn1 r n 0发散，|r 1 r 1 1收敛，p 1 n 1 np发散，p 1 1收敛，p 1 n 2 nlnp n发散，p 1 a）等比级数: b）P级数： c）对数级数: 5三个重要结论（an an 1）收敛 lim an存在正项（不变号）级数 an收a； 收, n 1n a；和 b；都收敛 an bn 收，- an 或 6收 反之不成立, n n 6常用收敛快慢 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 达朗贝尔比值法 .Un 1 lim - n U n l 1收 l l 1,发（实际上导致了 li

3、m n 0） n l 1,单独讨论（当n为连乘时） l 2.柯西根值法lim u7 l l l 1,发（当n为某n次方时） 1,单独讨论 3. |比阶法|代数式UnVnVn收敛 n 1 un收敛，un发散vn发散 n 1n 1n 1 极限式 lim Un A，其中：Un和 Vn都是正项级数 n Vnn 1n 1 ?A 0 un是vn的咼阶无穷小 Un Vn Vn收敛 n 1 un收敛, n 1 un发散 n 1 Vn发冃攵。 n 1 ?A 0 Un是 Vn 的同阶无穷小 UnkVn Un和 n 1n Vn敛散性相同。 1 ?A Vn是 Un 的高阶无穷小 Vn Un un收敛 n 1 Vn收敛

4、， n 1 Vn发散 n 1 un发冃攵。 n 1 Un 1nm n-2dx n 10 1 x Un 2dx x 1 n rxdx 0 1 ，也可选用基准级数 n2 1 3 n 12 n2 就可知原级 8任意项级数的敛散性的判据与常用技巧 莱布尼茨判交错级数丨（任意项级数的特例） lim un 0Un Un 1（ 1）nun收敛 nn 0 这是一个必要条件，如果不满足，则（1）nun必发散，若只有不满足，则不一定收敛还 n 0 是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散 任意项级数判敛的两个重要技巧： a微分积分法。换成连续变

5、量，再利用微积分相关定理与性质。 b k阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法, 9.幂级数an(x Xo)n n 0 1阿贝尔（Abel）定理 如果级数 anxn当x x0 x0 0,因为x0=0anx2 0显然收敛 点收敛，则级数在圆 n 0n 1 域x x|内绝对收敛；如果级数anXn当x X1点发散，贝U级数在圆域x 凶外发散。由阿 n 0 贝尔（Abel）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幕级 数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除x x0 x0 0夕卜，该定理并没 有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理

6、是学好幕级数的关键。如 推论：如果 anxn不是仅在x 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确 n 0 定的正数R存在，使得： 当|x R时，幕级数绝对收敛； 当|x R时，幕级数发散； 当x R与x R时，幕级数可能收敛，也可能发散，我们称 R为 anxn的收敛半径。 n 1 lim n 10幕级数收敛半径、收敛区间和收敛区域 收敛半径R : 全平面收敛， 只有一个收敛点 =0 0, 收敛区间x0 R, x0 :级数在 xx0 x0 R, x0 R收敛；幕级数的收敛区 间是非空点集, an（x x）n至少在x X0处收敛, anXn至少在x 0处收敛。由阿贝尔 an(x ，若 l

7、im an 1 或 lim y 应；则根据比值判敛法有 n I an 1 n an 1 x x x x 1收敛 x x R= lim an 收敛。 an n an+1 1 lim n 已知 n 0 an an 1 定理可以推出：幕级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。 收敛域：由于级数在收敛区间的端点上(收敛半径R上)收敛性待定，故收敛域是 XoR,XoR、xoR,XoR、XoR,XoR 或XoR,XoR 四种情况之一。 3.在收敛区域内的性质 (1) anXn的和函数f X连续并有任意阶导数; n o (2)可逐项微分 n o f (X) (anXn)nanXn 1 (3)可逐项积分 n o

8、 X o f(x)dx X (o anxndx) n o xn o n 1 non 1 (4)anxn绝对收敛 n o 11.利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幕级数-泰勒级数 展开的充要条件是泰勒公式中余项(包括拉氏余项，佩亚若余项)为零。以下是几个常 用的麦克劳林展开结论。 1 un u ( 1,1) 1 u n o 1 ；一(1)nunU ( 1,1) 1 U n o n eu匕 u (,) n o n! si nu( 1)n u u (, ) n o (2n 1)! 2n 1 cosu( 1)n u u (,) n 0 (2n)! ln(1 u) ( n 1)n1 (1)n ln2 1

9、 u ( 1,1 n 1 n n 1n (1 u) ( 1)( n 1) n u n Cn u u ( 1,1) n onn o tan u 2n 1 u n 0 2n 1 n 2n 1 (1) u1 3 arcta nuu u n o 2n 13 f(x) ag 2 (an cos x bn sinn n 111 X), 其中 bn 1 l 1 l 1n i f(x)cos xdx 1n f (x)s in xdx 1 1 n nx n 1 x 2 1 x x 1 n 1n(1 n 1 n x) 1 1 e 1 . n e1 1 n 11 1 non! n 1 n 1 ! n 0 n! n

10、1 n 1 ! u 1,1 5.幕级数求和方法 函数项级数求和方法 一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 数项级数求和方法 构造辅助幕级数法。 付立叶级数 1 周期函数展开成付里叶级数 ? f(x)为在1,1上周期为21的周期函数，则 1 ?特别地，当1 f(x) ao an f (x)cos n xdx (an cosnx bnsin nx) n 1 其中 bn f (x)sin nxdx ?当f (x)是偶函数 1 f(x) a。 n x an cos 1 an f(x) an cosnx n 1 an 2 1 ?o 2 n x f (x)cos dx 0 f (x)cos nxdx ?当f(x)是奇函数 f(x)bn si门平 n 11 bn f (x)bn sin nx n 1 bn 2 1n x f (x)s indx 1 01 2 0 f (x)sin nxdx 2 非周期函数展开成付里叶级数方法 如果非周期函数f x只是定义在区间 0, 1或0，两种区间可以令t Tx相互转换, 为了利用付里叶级数展开, 必须将f x 拓展，其方式有两种，即: (1)偶拓展令F(x) f(x)x)0 : o，使 F(x)成为h 1上的周期偶函数，展开后取 0 x l上的函数值即为f x的付里叶展开。 (2)奇拓展令F(x) ff：)x)0 ：。