2011届高考数学解析几何专题复习：椭圆、双曲线、 抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、 曲线与方程、 轨迹问题 等五大专题精选试题汇编及详解答案

1、2011届高考数学圆,椭圆,双曲线 ,抛物线, 直线与圆 ,直线与圆锥曲线等共五大部分专项突破精选习题集汇编及详解答案第一部分椭圆题号12345答案一、选择题1(2009年全国卷)已知椭圆c：y21的右焦点为f，右准线l，点al，线段af交c于点b.若3，则|()a.b2c.d32直线l：ykx1(k0)，椭圆e：1.若直线l被椭圆e所截弦长为d，则下列直线中被椭圆e所截弦长不是d的直线是()akxy10 bkxy10ckxy10 dkxy03在椭圆上一点a看两焦点f1、f2的视角为直角，设af1的延长线交椭圆于点b，又|ab|af2|，则椭圆的离心率e可能为()a22 b.c.1 d.4b1

2、、b2是椭圆短轴的两个端点，o为椭圆的中心，过左焦点f1作长轴的垂线交椭圆于p，若|f1b2|是|of1|和|b1b2|的等比中项，则的值是()a. b. c. d.5.(2009年湖北卷)如右图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点p变轨进入以月球球心f为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在p点第二次变轨进入仍以f为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在p点第三次变轨进入以f为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1c1a2c2a1c1a2c2 c1a2a1c2.其中正确式子

3、的序号是()a b c d二、填空题6(2009年上海卷)已知f1、f2是椭圆c：1(ab0)的两个焦点，p为椭圆c上一点，且.若pf1f2的面积为9，则b_.7如果方程x2ky22表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_8如果椭圆1上的弦被点a(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是_三、解答题9(2009年广东卷)已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为f1和f2，椭圆g上一点到f1和f2的距离之和为12.圆ck：x2y22kx4y210(kr)的圆心为点ak.(1)求椭圆g的方程；(2)求akf1f2的面积；(3)问是否存在圆ck包围椭圆g？请说明理由1

4、0(2009年江西卷)如右图所示，已知圆g：(x2)2y2r2是椭圆y21的内接abc的内切圆，其中a为椭圆的左顶点(1)求圆g的半径r；(2)过点m(0,1)作圆g的两条切线交椭圆于e、f两点，证明：直线ef与圆g相切参考答案1解析：过点b作bml于m，设右准线l交x轴于点n，易知fn1，由题意3，故|bm|.又由椭圆的第二定义，得|bf|，|af|.答案：a2解析：因为a、b、c三个选项分别是直线l关于x轴、原点、y轴的对称直线，又椭圆e关于x轴、原点、y轴都对称，所以a、b、c三个选项所表示的直线被椭圆e所截弦长都是d.故选d.答案：d3解析：由题意知|af1|af2|.2(|af1|2

5、|af2|2)(|af1|af2|)2.24c24a2.e0.707.对照备选答案，只有b可能答案：b4解析：依题意2bca2b2c2，bca，设p(x0，y0)，则x0c，|y0|pf1|.1，1，.答案：b5解析：由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选b.答案：b6解析：依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3.答案：37解析：椭圆方程化为1.焦点在y轴上，则2，即k1.又k0，0k1.答案：0k18x2y809解析：(1)设椭圆g的方程为：1(ab0)半焦距为c，则，解得，b2a2c236279，所求椭圆g的方程为：1.(2)点ak的坐标为(k,2)sa

6、kf1f2f1f22626.(3)若k0，由620212k0211512k0可知点(6,0)在圆ck外，若k0，由(6)20212k0211512k0可知点(6,0)在圆ck外；不论k为何值圆ck都不能包围椭圆g.10解析：(1)设b(2r，y0)，过圆心g作gdab于d，bc交长轴于h由得，即y0而点b(2r，y0)在椭圆上，y1由式得15r28r120，解得r或r(舍去)(2)设过点m(0,1)与圆(x2)2y2相切的直线方程为：y1kx则，即32k236k50解得k1，k2将代入y21得(16k21)x232kx0，则异于零的解为x，设f(x1，k1x11)，e(x2，k2x21)，则x

7、1，x2则直线fe的斜率为：kef于是直线fe的方程为：y1，即yx，则圆心(2,0)到直线fe的距离d，故结论成立第二部分 双曲线题号12345答案一、选择题1(2009年全国卷)双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r()a.b2c3d62(2009年江西卷)设f1和f2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若f1、f2、p(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()a. b2 c. d33(2009年福建卷)若双曲线1(a0)的离心率为2，则a等于()a2 b. c. d14(2008年重庆卷)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为ykx(k0)，离心率ek，

8、则双曲线方程为()a.1 b.1c.1 d.15“ab0”是“曲线ax2by21为双曲线”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分又不必要条件二、填空题6(2008年上海春招)已知p是双曲线1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3xy0.设f1、f2分别为双曲线的左、右焦点若3，则_.7(2008年海南宁夏卷)双曲线1的右顶点为a，右焦点为f.过点f平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点b，则afb的面积为_8已知f1、f2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过f1且垂直于x轴的直线与双曲线交于a、b两点，若abf2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范

9、围是_三、解答题9已知双曲线的中心在原点，焦点f1、f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点m(3，m)在双曲线上，求证：mf1mf2；(3)求f1mf2的面积10(2009年上海卷)双曲线c：y21，设过a(3，0)的直线l的方向向量e(1，k)(1)当直线l与双曲线c的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；(2)证明：当k时，在双曲线c的右支上不存在点q，使之到达直线l的距离为.参考答案1解析：由圆心到渐近线的距离等于r，可求r.答案：a2解析：由tan有3c24b24(c2a2)，则e2，故选b.答案：b3解析：由1可知虚半轴b，而离心率e2，解

10、得a1或a1(舍去)，选d.答案：d4解析：ek , 所以a24b2.答案：c5解析：由ab0，得a0，b0或a0，b0.由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然答案：c6解析：由题知a1，故|pf2|2，|pf1|pf2|2325.答案：57解析：双曲线的右顶点坐标a(3,0)，右焦点坐标f(5,0)，设一条渐近线方程为yx，建立方程组 ，得交点纵坐标y，从而safb2.答案：8解析：abf2是等腰三角形，顶角为af2b.abf2是锐角三角形af2b45tan 45.由1c2a22ace22e100e1，又e1，e的取值范围是：(1,1)答案：(1,1)9解析：(1)由ec22a2

11、a2b2.设双曲线方程为x2y2，将点(4，)代入得：6，故所求双曲线方程为x2y26.(2)c212，焦点坐标为(2，0)将m(3，m)代入x2y24得：m23.当m时，(23，)，(23，)(3)2(2)2()20，mf1mf2，当m时，同理可证mf1mf2.(3)sf1mf2|2c|m|46.10解析：(1)双曲线c的渐近线m：y0.直线l的方程xy30直线l与m的距离d.(2)证明：法一：设过原点且平行与l的直线b：kxy0，则直线l与b的距离d当k时，d.又双曲线c的渐近线为xy0，双曲线c的右支在直线b的右下方，双曲线c右支上的任意点到直线l的距离大于.故在双曲线c的右支上不存在点

12、q，使之到直线l的距离为.法二：双曲线c的右支上存在点q(x0，y0)到直线l的距离为，则由得y0kx03k，设t3k.当k，t3k0.将y0kx0t代入得(12k2)x4ktx02(t21)0(*)k，t0，12k20，4kt0，2(t21)0方程(*)不存在正根，即假设不成立故在双曲线c的右支上不存在q，使之到直线l的距离为.第三部分抛物线题号12345答案一、选择题1(2010年韶关一模)若抛物线y22px(p0)的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为() a2b4c8 d .42(2010年辽宁卷)已知点p是抛物线y22x上的一个动点，则点p到点(0,2)的距离与p到该抛物线准线的距

13、离之和的最小值为()a. b3c. d.3(2010年梧州模拟)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()a. b.c. d34设抛物线y28x的准线与x轴交于点q，若过点q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()a. b2,2c1,1 d4,45(2010年全国卷)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线c：y28x相交于a、b两点，f为c的焦点，若|fa|2|fb|，则k()a. b.c. d.二、填空题6(2010年宁夏海南卷)设已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为f(1,0)，直线l与抛物线c相交于a、b两点若ab的中点为(2,2)，则直线l的方程为_7(201

14、0年福建卷)过抛物线y22px(p0)的焦点f作倾角为45的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的长为8，则p_.8对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上焦点在x轴上抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6抛物线的通径的长为5由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)能使这个抛物线方程为y210x的条件是_(要求填写合适条件的序号)三、解答题9(2010年揭阳联考)已知m(0，2)，点a在x轴上，点b在y轴的正半轴，点p在直线ab上，且满足，0.(1)当点a在x轴上移动时，求动点p的轨迹c的方程；(2)过(2,0)的直线l与轨迹c交于e、f两点，又过e、f作轨迹c的切线l

15、1、l2，当l1l2，求直线l的方程10.(2010年山东卷)如右图所示，设抛物线方程为x22py(p0)，m为直线y2p上任意一点，过m引抛物线的切线，切点分别为a、b.(1)求证：a、m、b三点的横坐标成等差数列；(2)已知当m点的坐标为(2，2p)时，4，求此时抛物线的方程；参考答案1c2解析：依题设p在抛物线准线的投影为p，抛物线的焦点为f，则f，依抛物线的定义知p到该抛物线准线的距离为|pp|pf|，则点p到点a(0,2)的距离与p到该抛物线准线的距离之和d|pf|pa|af|.答案：a3解析：设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为，当m时，取得最小值为，

16、故选a.答案：a4解析：y28x，q(2,0)(q为准线与x轴的交点)，设过q点的直线l方程为y k(x2)l与抛物线有公共点，方程组有解，即k2x2(16k28)x64k20有解(16k28)24k264k20，即k2.k.答案：a5解析：设抛物线c：y28x的准线为l：x2直线yk(k2)(k0)恒过定点p(2,0)，如图所示过a、b分别作aml于m，bnl于n，由|fa|2|fb|，则|am|2|bn|，点b为ap的中点，连结ob.|ob|af|，|ob|bf|点b的横坐标为1，故点b的坐标为(1,2)，k，选d.答案：d6解析：抛物线的方程为y24x，a(x1，y2)，b(x2，y2)

17、，则有x1x2，.两式相减得，yy4(x1x2)，1.直线l的方程为y2x2，即yx.答案：yx7解析：由题意可知过焦点的直线方程为yx，联立有x23px0，又|ab|8p2.答案：28解析：由抛物线方程y210x可知满足条件答案：9解析：(1)设p(x，y)，a(xa,0)，b(0，yb)(yb0)则(xxa，y)，(x，yby)，由得xa2x，yb2y，又(xa,2)，(xxa，y)，即(2x,2)，(x，y)，由0得x2y(y0)(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：yk(x2)，设e(x1，y1)，f(x2，y2)，因为y2x，故两切线的斜率分别为2x1,2x2.由方程组得x2

18、kx2k0，所以x1x2k，x1x22k，当l1l2时，2x12x21，所以k.所以，直线l的方程是y(x2)10解析：(1)证明：由题意设a，b，x1x2，m(x0，2p)由x22py得y，得y，所以kma，kmb.因此直线ma的方程为y2p(xx0)，直线mb的方程为y2p(xx0)所以2p(x1x0)，2p(x2x0)由、得x1x2x0，因此x0，即2x0x1x2.所以a、m、b三点的横坐标成等差数列(2)由(1)知，当x02时，将其代入、并整理得：x4x14p20，x4x24p20，所以x1，x2是方程x24x4p20的两根，因此x1x24，x1x24p2，又kab，所以kab.由弦长

19、公式得.又4，所以p1或p2，因此所求抛物线方程为x22y或x24y.第四部分直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有()a1条b2条c3条d4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况答案：b2已知双曲线c：x21，过点p(1,1)作直线l，使l与c有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()a1条 b2条 c3条 d4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切答案：d3与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()a2xy30 b2xy30c2xy10 d2xy10答案：d4过抛物线y24x的焦点的弦的中点的轨迹方程是()

20、ay22(x1) by2x1cy2x dy22x1答案：a5已知对kr，直线ykx10与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是()a(0,1) b(0,5)c1,5)(5，) d1,5)解析：直线ykx10恒过点(0,1)，仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点所以，1且m0，得m1且m5.答案：c二、填空题6(2008年全国卷)已知f是抛物线c：y24x的焦点，过f且斜率为1的直线交c于a、b两点设，则与的比值等于_解析：设a(x1，y1)、b(x2，y2)，由 x26x10x132，x232，(x1x2)；则由抛物线的定义知32.答案：327已知(4,2)是直线l被椭

21、圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_解析：设直线l与椭圆交于p1(x1，y1)、p2(x2，y2)，将p1、p2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k.由点斜式可得l的方程为x2y80.答案：x2y808. ab为抛物线y22px(p0)的焦点弦，若|ab|1，则ab中点的横坐标为_；若ab的倾斜角为，则|ab|_.解析：设过f的直线为yk，k0，代入抛物线方程，由条件可得结果答案：三、解答题9已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，a是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，a到抛物线准线的距离等于5，过a作ab垂直于y轴，垂足为b，ob的中点为m.(1)求抛物线方程；(2)过m作mnfa，

22、垂足为n，求点n的坐标解析：(1)抛物线y22px的准线x，于是，45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点a的坐标是(4,4)，由题意得b(0,4)，m(0,2)又f(1,0)，kfa.又mnfa，kmn，则fa的方程为y(x1)，mn的方程为y2x，解方程组得 n.10已知椭圆e：1(ab0)，以f1(c,0)为圆心，以ac为半径作圆f1，过点b2(0，b)作圆f1的两条切线，设切点为m、n.(1)若过两个切点m、n的直线恰好经过点b1(0，b)时，求此椭圆的离心率；(2)若直线mn的斜率为1，且原点到直线mn的距离为4(1)，求此时的椭圆方程；(3)是否存在椭圆e，使得直线mn的斜率k在

23、区内取值？若存在，求出椭圆e的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)圆f1的方程(xc)2y2(ac)2，因为b2m、b2n与该圆切于m、n点，所以b2、m、f1、n四点共圆，且b2f1为直径，则过此四点的圆的方程是22，从而两个圆的公共弦mn的方程为cxbyc2(ac)2，又点b1在mn上，a2b22ac0，b2a2c2，2a22acc20，即e22e20，e1.(负值已舍去)(2)由(1)知，mn的方程为cxbyc2(ac)2，由已知1，bc，而原点到mn的距离为d|2ca|(1)a，a4，b2c28，所求椭圆方程是1；(3)假设这样的椭圆存在，由(2)则有，故得23，34，

24、求得e，即当离心率取值范围是时，直线mn的斜率可以在区间内取值第五部分曲线与方程及轨迹问题一、选择题1(2008年北京卷)若点p到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点p的轨迹为()a圆b椭圆c双曲线d抛物线解析：把p到直线x1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义答案：d2一条线段ab的长为2，两个端点a和b分别在x轴和y轴上滑动，则线段ab的中点的轨迹是()a双曲线 b双曲线的一分支c圆 d椭圆答案：c3已知|3，a、b分别在y轴和x轴上运动，o为原点，则动点p的轨迹方程是()a.y21 bx21c.y21 dx21答案：a4已知两定点f1(1,0)、f2(1,0

25、)，且|f1f2|是|pf1|与|pf2|的等差中项，则动点p的轨迹是() a椭圆 b双曲线 c抛物线 d线段答案：d 5.设过点p的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a、b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点，若2，且1，则p点的轨迹方程是()a3x2y21b3x2y21c.x23y21d.x23y21解析：由2及a，b分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，a(x,0)，b(0,3y)，(x,3y)，由点q与点p关于y轴对称知，q(x，y)，(x，y)，则(x，y)x23y21(x0，y0)答案：d二、填空题6已知两定点a(2,0)、b(1,0)，如果动点p满足|pa|2|pb|

26、，则点p的轨迹方程为：_.解析：设动点p的坐标为p(x，y)，由|pa|2|pb|2平方整理得：x2y24x0，故点p的轨迹方程是x2y24x0.答案：x2y24x07一动圆与两圆m：x2y21和n：x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹为_答案：双曲线4(x2)2y21的左支8过抛物线x24y的焦点f作直线l交抛物线于a、b两点，则弦ab的中点m的轨迹方程是_答案：x22y2三、解答题9.(2009年福建卷)已知直线x2y20经过椭圆c：1(ab0)的左顶点a和上顶点d，椭圆c的右顶点为b，点s是椭圆c上位于x轴上方的动点，直线as、bs与直线l：x分别交于m、n两点(1)求椭圆c的方程；(2)求线段mn的长度的最小值；(3)当线段mn的长度最小时，在椭圆c上是否存在这样的点t，使得tsb的面积为？若存在，确定点t的个数，若不存在，说明理由解析：(1)由已知得，椭圆c的左顶点为a(2,0)，上顶点为d(0,1)，a2，b1，故椭圆c的方程为