电动力学-静电场答案

1、编号:班级:学号:1 / 18姓名：成绩:第1章静电场1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度,，总等于自由电荷体密度Q/的 一（1一至）倍。 D = Q/Pp=-P P=-P （无屁 E） = -P （-6）EPp=T（=）D = -（-%）Pf 2. 有一内外半径分别为斤和卩的空心介质球，介质的介电常数为使介质内均匀带静止自由电荷P/,求(1) 空间各点的电场：(2) 极化体电荷和极化而电荷分布。解1)由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故：r rx时vlV=O 或 E(r) = O69/18人rr2的球形外:E(r) = -(r-r；)式中S = 8)r写在一起E=卸

2、谆(rrx)(rrr2)2)遵f Pp=-V-P = 一三勺 （与第一题相符内表面：bp=F（P2_|r =f g_=学71一弹力=0（） 斤外表面：6, = -（P2-Pl ）|r=r, = -n 0-（-（）E=（ -）P（ 1 _十沟3. 证明：当两种绝缘介质的分界而上不带而自由电荷时，电场线的偏折 满足：疇=冬tan q 斫式中和匂分别为两介质的介电常数，q和$分别为界而两侧电场线与法 线的夹角。证明：绝缘介质分界而上自由电荷密度=0,故边值关系为：E2i =Elf,D2n =% (.nx(E2-Ei) = 0,n (D2-Dl) = fff )若两种介质都是线性均匀的，即D=E, D

3、2 = s2 E2 :上边两式为:E2 sin q = E sin q , 2E2 cos 02 = Et cos于是得：气=空tan q 4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界而上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。静电情况下：=0.0=0由边值关系：nx(E2-E) = 0.n(D2-D) =(rf 可得：E2t = Eu 9 D2n - Dhr =即,E2, =0, D”=bf对于各向同性线性介质D = sE 所以，E = Ni即导体外的电场线垂直于导体表而5.如图1,有一厚度为2d,电荷密度为的均匀带电无限大平板,离变量法求空

4、间电势的分布。解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性,电势分布仅*J X 关，即一维问题。容易写出立解问题:试用分o(卜|5(xa)x = a 时(pt = (pedx dxx = 0时 % x) = 0 直接求解得5 =段=_#La(2|x|_a)2匂6.内半径d,外半径为b的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量Q,试用分离变量法求空间电势分布。解根据球对称性，空间电势分布0仅与r有关，左结问题为:P(P= 0V2 = 0(a r b)r=b 时叭=（p2“旬労一旬诗=0求解得7. 均匀外电场中宜入半径为心的导体球。求以下两种情况的电势分 布。（1）导体球上接有电池，使球保持电势

5、为: （2）导体球上带有总电荷解建立球坐标系极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性， 即电势仅与r有关1）0的定解问题为= 0（rRJ = 0 胡*耳（待定）J 务r类似解为厂c Q eRcosO % Ebreos 0 + 4 亦（/r8. 介电常数为的无限均匀介质中，挖一个半径为a的空球，球心处置一电矩为P/的自由偶极子，试求空间电势分布。解如图建立球坐标系，P/的方向为极轴s方向,0的定解问题为运=p(r a)o 1)r=a 时，（p =（pe: %dr4昭/注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，0可写为:n=0第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故乩=0解的

6、电势分布(0ra)PL(一勺丿 P/F(P、 r4/%广2庇 J 2s + 0 )a_ 3p/V4-( 2s + 旬)“9. 半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子厂,球外充满另一种介质, 求空间冬点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为刍，球外为勺）OW：求解与上题类似，只需刍疋T02,得0严等+4囂;?）；;(rR)f：?2；）少沙）极化电荷分布，在介质球内pz,=-（ pf 因此在球心处有一极化电偶极矩P= 1辛”/,在r = R的界面上,由勺=一畀（卩2-p =（-（p可得严（勺一勻）雯主F等T讐-等）-JrAndr/心3%（刍 一 ）和 cos 02亦（习+2习）&：10. 两个接地

7、的无限大导电平面，其夹角为60。，点电荷。位于这个两而角的平面上，并与棱边（两而角之交线）相距为a。试用电像法求貞空中的电 势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双而角的平分线 上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：（1）首先考虑半而ON ,为了满足ON平而的电势为零，应在0关于ON对称的位程B处有一像电荷（2）考虑半而ON，同样为了满足电 势为零的要求，对于A、B处两个点电 荷+Q和，应在A、B关于ON对称 的位置C、D处有两个-0、+0,（3）再考虑0半平面，对于C、D12 / 18处的-0和+Q，应在E、F处有两个像电荷+0和-Q才能使导体ON的电势为 零。可以证明

8、E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于ON平而对称，因而可满足ON 平面的电势为零，这样找出了 5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使 角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P处的电势可表为 )=_Lfe_e+e_e+e_eY4 冋A r2 rA rs rh)其中SB，山分别为给泄电荷Q及其像电荷到P点的距离。在英余空间的电势为0 = 0。11. 接地空心导体球，内外半径为&和尺2,球内离球心0处()置 一点电荷Q,试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还 是外表而？貝量为多少？若导体球壳不接地而是带电量Q),则电势分布又如 何？若导体球壳具有确定的电势),电势分布如何

9、？解：根据题意设球内区域电势为卩，球外区域电势为池，:矿輕=0 R耐=02|也妁=设像电荷位宜如图所示，=丄1纟+4亦 I r re2（/?r + b2 - IR.bcos 6） = Q2（R; + a2 -2Rxacosd Q2（&2 +，）_Q2（尽2 +闻=2Rib-Q2a）cos0 要使上式对任意&成立，必有2尿+沪）一02尿+闻=0（*）2尺伽-0%）=0.-./?2-（2+/?12）+/?12 =0ar2解得b严亠b（舍去）a代入（*）,得Q= -色0 Q= Qaa.“ =止,0=-垃0aa其中广=依，+a2 -IRacos硏 yr = （/?2 + b2 一2Rbcos硏13/1

10、8由上可知,1QQRJa亠 I Q+Qo4 矶（疋+/-2处0如-”2+（呂2/d）2_2R（&2/a）co&F 4 R若使有确立0叮 且两种情况有相同解 =Q + Q（）-2Racos3QRJa由边界条件勺所以，外表而感应电荷面密度=()籍|*0,内表而感应电荷而密度d（p_ QR-a2dRR& 4龙K尿+/-2心 cos9）%_总感应电荷Q辭p=Joyh = -Q,(可见全部在内表而上)12. 四个点电荷，两个+q,两个q,分别处于边长为d的正方形的四个 顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位宜为q(OQO),q(aQ0),q(0a0)

11、, q(OQa)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布z R： 2R；R 斤+ 一 cosO cr a14/ 18+q13.求而电荷密度按b = bcos&分布，半径为a的球的电矩。问该系统是否存在电四极矩？解：p = p(xxdvo;在y对称，/. px = fdv =| ads =0 ,py = I bydv = I b、ds = 018/184 q所以，P=-加b（）q电荷系统对于Z轴对称电四极矩非对角分量为0,且只有一个独立对角分量=f a)(/ v a)式中/是离坐标原点的距离，a和q是常数，求相应的电荷分布。解：vV=- p=w(p/ v a 时，p = -V2 (- qr2 / 2cr + 3q / 2a)-勺)=3qs) / a30 (r a):.p = $3qs0/a (r a)15.在一点电荷g的电场中，距离它为的地方有一偶极子，其电矩p=ql ,求在下列两种情况下，此电矩所受的力F和力矩L：（