第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换

1、1 第四章第四章 三角函数及三角恒等变换三角函数及三角恒等变换 第二节第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换三角函数的图象和性质及三角恒等变换 第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 2009 年高考题年高考题 一、选择题 1.(2009 年广东卷文)函数1) 4 (cos2 2 xy是 a最小正周期为的奇函数 b. 最小正周期为的偶函数 c. 最小正周期为 2 的奇函数 d. 最小正周期为 2 的偶函数 解析 因为 2 2cos () 1cos 2sin2 42 yxxx 为奇函数, 2 2 t ,所以选 a. 答案 a 2.（2009 全国卷理）如果函数cos 2yx3的图像关于点

2、 4 3 ，0中心对称，那 么|的最小值为（ ） a . 6 b. 4 c. 3 d. 2 解析: 函数cos 2yx3的图像关于点 4 3 ，0中心对称 4 2 3 k 4 2() 3 kkz 由此易得 min | 3 .故选 c 答案 c 3.（2009 全国卷理）若 42 x ，则函数 3 tan2 tanyxx的最大值为 。 解析:令tan,xt1 42 xt , 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 答案 4.（2009 浙江理）已知a是实数，则函数( )1sinf xaax 的图象不可能

3、是 ( ) 2 解析 对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为 2 ,1,2tat a ，而 d 不符合要 求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 答案：d 5.（2009 浙江文）已知a是实数，则函数( )1sinf xaax 的图象不可能是（ ） 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富， 结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度 【解析】对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为 2 ,1,2tat a ，而 d 不符合 要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 答案答案 d d 6.(2009 山东卷理)将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,

4、 再向上平移 1 个单位,所 得图象的函数解析式是( ). 3 a.cos2yx b. 2 2cosyx c.) 4 2sin(1 xy d. 2 2sinyx 解析 将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,得到函数sin2() 4 yx 即 sin(2)cos2 2 yxx 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2 1 cos22cosyxx ,故选 b. 答案:b 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009 山东卷文)将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位, 再向上

5、平移 1 个单位,所 得图象的函数解析式是( ). a. 2 2cosyx b. 2 2sinyx c.) 4 2sin(1 xy d. cos2yx 解析 将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,得到函数sin2() 4 yx 即 sin(2)cos2 2 yxx 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2 1 cos22cosyxx ,故选 a. 答案:a 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 8（2009 安徽卷理）已知函数( )3sincos(0)f xxx，( )yf x的图像

6、与直线 2y 的两个相邻交点的距离等于，则( )f x的单调递增区间是 a. 5 , 1212 kkkz b. 511 , 1212 kkkz c. , 36 kkkz d. 2 , 63 kkkz 解析 ( )2sin() 6 f xx ，由题设( )f x的周期为t，2， 由222 262 kxk 得，, 36 kxkkz ，故选 c 答案 c 4 9.（2009 安徽卷文）设函数，其中， 则导数的取值范围是 a. b. c. d. 解析 2 1 (1)sin3cos x fxx sin3cos2sin() 3 52 0,sin(),1(1)2,2 1232 f ，选 d 10.（2009

7、 江西卷文）函数( )(13tan )cosf xxx的最小正周期为 a2 b 3 2 c d 2 答案：a 解析 由( )(13tan )coscos3sin2sin() 6 f xxxxxx 可得最小正周期为 2,故选 a. 11.（2009 江西卷理）若函数( )(13tan )cosf xxx，0 2 x ，则( )f x的最大值 为 a1 b2 c31 d32 答案：b 解析 因为( )(13tan )cosf xxx=cos3sinxx=2cos() 3 x 当 3 x 是，函数取得最大值为 2. 故选 b 12.(2009 湖北卷理)函数cos(2)2 6 yx 的图象f按向量a

8、平移到 f, f的函数解析 式为( ),yf x当( )yf x为奇函数时，向量a可以等于 .(, 2) 6 a .(,2) 6 b .(, 2) 6 c .(,2) 6 d 答案 b 解析 直接用代入法检验比较简单.或者设( ,)ax y v ，根据定义 cos2()2 6 yyxx ，根据 y 是奇函数，对应求出 x ， y 13.（2009 全国卷理）若将函数 5 tan0 4 yx 的图像向右平移 6 个单位长度后，与函数tan 6 yx 的 图像重合，则的最小值为 a 1 6 b. 1 4 c. 1 3 d. 1 2 解析： 6 tantan (ta) 6446 nyxyxx 向右平

9、移个单位 1 6 4 () 662 kkkz ， 又 min 1 0 2 .故选 d 答案 d d 14.（2009 福建卷理）函数( )sin cosf xxx最小值是 ( ) a-1 b. 1 2 c. 1 2 d.1 答案 b 解析 1 ( )sin2 2 f xx min 1 ( ) 2 f x .故选 b 15.（2009 辽宁卷理）已知函数( )f x=acos(x)的图象如图所示， 2 () 23 f ，则 (0)f=( ) a. 2 3 b. 2 3 c. 1 2 d. 1 2 解析 由图象可得最小正周期为 2 3 于是 f(0)f(),注意到与关于对称 2 3 2 3 2 7

10、 12 所以 f()f() 2 3 2 3 2 答案 b 6 16.（2009 全国卷文）如果函数3cos(2)yx的图像关于点 4 (,0) 3 中心对称，那么 的最小值为 a. 6 b. 4 c. 3 d. 2 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。 解: 函数cos 2yx3的图像关于点 4 3 ，0中心对称 4 2 32 k 13 () 6 kkz 由此易得 min | 6 .故选 a 17.（2009 湖北卷文）函数2) 6 2cos( xy的图像 f 按向量 a 平移到 f/，f/的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时，向量 a 可以等于 a.)2, 6 ( b

11、.)2 , 6 ( c.)2, 6 ( d.)2 , 6 ( 答案 d 解析 由平面向量平行规律可知，仅当(,2) 6 a 时， f ：( )cos2()2 66 f xx =sin2x 为奇函数，故选 d. 18.(2009 湖南卷理)将函数 y=sinx 的图象向左平移(0 2)的单位后，得到函数 y=sin() 6 x 的图象，则等于 （d） a 6 b 5 6 c. 7 6 d. 11 6 答案 d 解析 由函数sinyx向左平移的单位得到sin()yx的图象，由条件知函数 sin()yx可化为函数sin() 6 yx ，易知比较各答案，只有 11 sin() 6 yx sin() 6

12、 x ，所以选 d 项 19.（2009 天津卷理）已知函数( )sin()(,0) 4 f xxxr 的最小正周期为，为 了得到函数( )cosg xx的图象，只要将( )yf x的图象 7 a 向左平移 8 个单位长度 b 向右平移 8 个单位长度 c 向左平移 4 个单位长度 d 向右平移 4 个单位长度 【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。 解析：由题知2 ，所以 ) 8 (2cos) 4 2cos() 4 2( 2 cos) 4 2sin()( xxxxxf，故选择 a 答案 a 二、填空题 20.（2009 江苏卷）函数sin()yax（, ,a 为常数，0,0

13、a）在闭区间 ,0上的图象如图所示，则= . 答案 3 解析 考查三角函数的周期知识 3 2 t， 2 3 t，所以3， 21（2009 宁夏海南卷理）已知函数 y=sin（x+） （0, -0，且 0b， sinb= 2 4 1 cos b 5 . 2 分 由正弦定理得 ab sinasinb ， 4 分 4 2 asinb2 5 sina b45 . 6 分 (2) sabc= 1 2 acsinb=4， 8 分 14 2 c4 25 ， c=5. 10 分 由余弦定理得 b2=a2+c22accosb， 2222 3 ba +c2accosb2 +52 2 517 5 .14 分 2.（

14、2009 聊城一模）设函数axxxxf 2 coscossin3)(。 （1）写出函数)(xf的最小正周期及单调递减区间； （2）当 3 , 6 x时，函数)(xf的最大值与最小值的和为 2 3 ，求)(xf的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。 解（1）, 2 1 ) 6 2sin( 2 2cos1 2sin 2 3 )( axa x xxf （2 分） .t （4 分） 42 . 3 2 6 ,2 2 3 6 22 2 kxkxkxk得由 故函数)(xf的单调递减区间是)( 3 2 , 6 z kkk 。 （6 分） （2） （理） . 1 ) 6 2sin( 2 1

15、 . 6 5 6 2 6 , 36 xxx 当 3 , 6 x时，原函数的最大值与最小值的和) 2 1 2 1 () 2 1 1 (aa . 2 1 ) 6 2sin()(, 0, 2 3 xxfa （8 分） )(xf的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为)0 , 2 ( （10 分） 所以)(xf的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积 . 4 32 | 2 ) 6 2cos( 2 1 2 1 ) 6 2sin( 2 0 2 0 x xdxxs （12 分） 3、 （2009 茂名一模）设函数( )2cos (sincos ) 1,f xxxx将函数( )f x的图象向左平

16、移 个单位，得到函数( )yg x的图象。 （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）若0, 2 且( )g x是偶函数，求的值。 解：解： 2 (1)( )2sin cos2cos1 sin2cos2 .2 2sin(2). 4 f xxxx xx x 分 .4分 2 ( ).6 2 f xt 的最小正周期分 43 (2) ( )()2sin2() 4 2sin(22).8 4 ( )(0)22sin(2) 4 2,. 42 g xf xx x g xg kkz 分 是偶函数，则 .10 k =() 28 0,.12 28 kz 分 分 4.（2009 日照一模）已知 abc 中，角a

17、bc、 的对边分别为a bc、 ，且满足 (2)coscosacbbc 。 （i）求角b的大小； （）设 (sin,1),( 1,1)man ，求m n 的最小值。 解：（i）由于弦定理 2 sinsinsin acb r acb ， 有 2 sin,2 sin,2 sinara brb crc 代入(2 )coscos,acbbc 得(2sin sin)cossincosacbbc 。 4 分 即2sin cossincossincossin()abbccbbc 。 ,2sincossinabcaba 6 分 0,sin0aa 1 cos 2 b 7 分 0, 3 bb 8 分 （） sin

18、1m na ， 10 分 由 3 b ，得 2 (0,) 3 a 。 11 分 44 所以，当 2 a 时，m n 取得最小值为 0， 12 分 5、 （2009 汕头一模）己知函数 f（x） 3 4 sin x 一 1 4 cos x。 （1)若 cosx 5 13 ，x, 2 ，求函数 f (x)的值； (2)将函数 f(x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称， 若 0m，试求 m 的值。 解：（1）因为 cos 5 13 ，x, 2 ，所以，sinx 12 13 所以， （2）， 所以，把 f（x）的图象向右平移 5 6 个单位，得到，y 1 2sinx 的图象，其图

19、象关于原点 对称。 故 m 5 6 6.（2009 枣庄一模）已知函数)0)( 2 sin(sin3sin)( 2 xxxxf 的最小正周期为 （1）求);(xf （2）当)(, 2 , 12 xfx求函数时 的值域。 解：（1）xx x xf cossin3 2 2cos1 )( 2 分 . 2 1 ) 6 2sin( 2 1 2cos 2 1 2sin 2 3 xxx 4 分 , 0,)(且的最小正周期为函数xf . 1 , 2 2 解得 45 . 2 1 ) 6 2sin()( xxf 6 分 （2）. 6 5 , 3 6 2, 2 , 12 xx 根据正弦函数的图象可得： 当 3 ,

20、26 2 xx即时， ) 6 2sin()( xxg取最大值 1 8 分 当 12 , 36 2 xx即时 . 2 3 ) 6 2sin()(取最小值 xxg 10 分 , 2 3 2 1 ) 6 2sin( 2 3 2 1 x 即. 2 3 , 2 31 )( 的值域为xf 12 分 7、 （2009 深圳一模）已知函数xxxxxfcossin2)cos(sin3)( 22 （）求( )f x的最小正周期； （）设, 33 x ，求( )f x的值域和单调递增区间 解：（）xxxxxfcossin2)sin(cos3)( 22 xx2sin2cos3 ) 3 2sin(2 x. 3 分 )(

21、xf的最小正周期为 5 分 （）, 33 x ， 2 33 x ， 1) 3 2sin( 2 3 x )(xf的值域为3, 2 10 分 当) 3 2sin( xy递减时，( )f x递增 3 2 2 x，即 312 x 故( )f x的递增区间为 3 , 12 12 分 46 2007200720082008 年联考题年联考题 一、选择题 1.(2008 江苏省启东中学高三综合测试四)已知)3sin(3)3cos()(xxxf为 偶函数，则可以取的一个值为（ ） a b c d 6 3 6 3 答案：d 2.(2008 四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)已知函数f(x) a

22、sinxbcosx（a、b为常数，a0，xr r）在x处取得最小值，则函数 4 yf(x)是（ 3 4 a偶函数且它的图象关于点(,0)对称 b偶函数且它的图象关于点(,0)对称 3 2 c奇函数且它的图象关于点(,0)对称d奇函数且它的图象关于点(,0)对称 3 2 答案：d 3.(2008 四川省成都市一诊)把函数y=sin2x的图象按向量(, 3) 6 a 平移后，得到函 数sin(0,0,) 2 yaxb a 的图象，则和b的值依次为 a, 3 12 b,3 3 c, 3 3 d,3 12 答案：c 4.(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知函数), 6 cos() 6 si

23、n()( xxxf则下列 判断正确的是（ ） a)(xf的最小正周期为 2，其图象的一条对称轴为 12 x b)(xf的最小正周期为 2，其图象的一条对称轴为 6 x c)(xf的最小正周期为 ，其图象的一条对称轴为 12 x d)(xf的最小正周期为 ，其图象的一条对称轴为 6 x 47 答案：c 5.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)若 2 ( )2cos3sin2f xxxa（a为实 常数）在区间0, 2 上的最小值为-4，则a的值为 a.4 b. -3 c. -4 d. -6 答案：c 6、(山东省博兴二中 2008 高三第三次月考)我们知道，函数sin2yx的图象经

24、过适当变换 可以得到cos2yx的图象，则这种变换可以是 ( ) a沿x轴向右平移 4 个单位 b沿x轴向左平移 4 个单位 c沿x轴向左平移 2 个单位 d沿x轴向右平移 2 个单位 答案：b 7. (东北师大附中高 2008 届第四次摸试) 2 00 arxxsinaxf的图象（部分）如图所 xf的解析 式是 （ ） a rxxsinxf 6 2 rxxsinxf 6 22 rxxsinxf 3 2 rxxsinxf 3 22 答案 a 二、填空题 8.(四川省成都市新都一中高 2008 级一诊适应性测试)函数 x 2 y o 2 3 1 6 5 48 )0, 0)(sin()(axaxf

25、的图象如图所示，则 )2007()3()2() 1 (ffff的值等于 答案：0 9.(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)函数( )sin()3sin() 44 f xaxx 是 偶函数，则a =_. 答案：-3 10.(福建省南靖一中 2008 年第四次月考)下面有五个命题： 函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是. 终边在y轴上的角的集合是a|a=zk k , 2 . 在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. 把函数.2sin3 6 ) 3 2sin(3xyxy 函数.0) 2 sin( xy 所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的

26、序号都填上） 答案： 三、解答题 12.(2008 江苏省启东中学高三综合测试四)已知函数 xxxxxf 22 sinsincos2cos3)( （）求)(xf的最大值，并求出此时x的值； （）写出)(xf的单调递增区间 解：（）xxxxxf 22 sinsincos2cos3)( 2 2cos1 2sin 2 2cos1 3 x x x xx2cos2sin22) 4 2sin(2 x 当 kx2 24 2，即 8 kx)(zk 时， )(xf取得最大值22. （）当 kxk2 24 22 2 ，即 88 3 kxk)(zk 时， 49 所以函数)(xf的单调递增区间是 8 , 8 3 kk

27、)(zk 3 222() 262 kxkkz 得 2 63 kxk ， 所以，减区间为 2 ,() 63 kkkz 13. (2008 广东省四校联合体第一次联考)设函数( )f xa b ，其中向量 (2cos ,1),(cos , 3sin2 ),axbxx xr (1)若函数( )13,; 3 3 f xxx 且求 (2)若函数2sin2yx的图象按向量( , )() 3 cm nm 平移后得到函数( )yf x的图象， 求实数 m 及 n 的值。 解：（1）) 6 2sin(212sin32cos12sin3cos2 2 xxxxxba 436 2 6 5 , 3 6 2 3 , 3 3) 6 2sin(31) 6 2sin(21 xx xx xx （2）2sin2yx的图象按向量),(nmc 平移后得到nmxy)22sin(2的图象 1 12 nm 14. (河南省上蔡一中 2008 届高三月考)已知 2(cos,cos),(cos, 3sin)axx bxx （其中01） ，函数 f xa b ，若 直线 3 x 是函数 f（x）图象的一条对称轴， （1）试求的值； （2）先列表再作出函数( )f x在区间, 上的图象 -1 x y 3 2 3 2 3 o 3 1 2 3 50 解：解： 2 ( )2 cos,coscos, 3sin2cos2