(文科)简单的线性规划

1、考点4 （文科）简单的线性规划 1.已知函数y =aex （其中a 0）经过不等式组x “所表示的平面区域，贝y实数a x_y+10 的取值范围是. 【答案】（0,1） 【分析】不等式组x 所表示的平面区域如图， 、x_y+10 由图得，当过点（0,1）时a最大，此时a=1;当过点（0,0）时a最小，此时a=0. 由平面区域不包括边界，所以 ZII88 3x-y - 2W0 2.设x, y满足约束条件：2x-y0 ，若目标函数z=ax+by （a0, b0）的最大值为 x0, y 0 a b 2,贝V的最小值为. ab 【考点】简单线性规划. 【答案】3+2 a z 【分析】由z=ax+by

2、（a 0, b 0）得y x b b a / a 0, b 0, 直线的斜率0, b 作出不等式对应的平面区域如图： azazaz 平移直线得y x，由图像可知当直线 y x 经过点A时，直线y x - bbbbbb 的截距最大，此时 z最大. 由 32 0, b0）的最大值为2, 即 2a+4b=2, a+2b=1, a b1111112ba = + = (+-)X1=( +) x (a+2b) =1+2+ ababa ba bab =3+2、2 , 2b a 当且仅当=，即a= 2 b时取等号. a b 故最小值为3+2 .2. 第2题图 ZI200 2x 3(x, 0) 3函数y =彳x

3、 +3(0 x , 1)的最大值是 -X 5(x1) 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关于函数的基本知识 【考点】 分段函数的解析式求法及其图像的做法. 【答案】4 【分析】x0 时，y=2x+33, 0 v x1 时，y=x+3 1 时，y= - x+5 v4. 综上所述，y的最大值为4.故答案为4. x y 2 4.已知实数x、y满足x-y, 2，则z=2x y的取值范围是 0 剟 y 3 【考点】二元一次不等式( 组)与平面区域. 【答案】5, 7 【分析】画出可行域，如图所示 解得 B ( 1, 3)、C (5, 3), 把z=2x- y变形为y=2x z,则

4、直线经过点 B时z取得最小值；经过点 C时z取得最大值. 所以 zmin=2 X ( 1) 3= 5, zmax=2 X5 3=7 . 即z的取值范围是5, 7.故答案为5, 7. zac002 第4题图 【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值. 5已知满足条件x2y2 1的点（x, y）构成的平面区域面积为 3 ,满足条件x2 y2 S2D. S + S2= n+3 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域. 【答案】A 【分析】满足条件x2 y2 1的点（x, y）构成的平面区域为一个圆， 其面积为n. 2 2 当 0 xv 1, 0yv 1 时，满足条件xy 1； 当 0 xv 1, 1

5、yv 2 时，满足条件x2y2 1 ； 2 2 当 0 xv 1, 1yv0 时，满足条件xy 1; 当1xv 0, 0yv 1 时，满足条件x2 y2 1; 2 2 当 0yv 1, 1xv 2 时，满足条件xy 1； 22 满足条件Xy 1的点（x, y）构成的平面区域是五个边长为 1的正方形，其面积为5. 综上得S1与S2的关系是S V S2，故选A. 考点4 (文科)简单的线性规划 【点评】本题类似线性规划，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大x2 y2 1的 平面区域不易理解. 2x 沪4 6设 x、y 满足 x-y1,则 z=x+ y（） x -2yW2 A.有最小值2，最大值3

6、B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，又无最大值 【答案】B 【分析】由z=x+ y,得y= x+乙令z=0，画出y= x的图像，当它的平行线 经过点（2,0）时，z取最小值2,无最大值. 7.已知一1 x+ yv 4且2v x yv 3,则z=2x 3y的取值范围是 .（答案用区间表示） 2 v x y c 3 【答案】（3,8）【分析】画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线 1 c x + y 3 3 =3 ; x+ y= 1与x y=3的交点(1, 2)时，目标函数有最大值 z=2 1- 3 (-2)=8. X0 x 3y4 ,所表示的平面区域的面积等于

7、（） 3x 产4 3 A. 2 2 B.- 3 4 C.- 3 3 D.- 4 【答案】 【分析】 由x 3y 4一可得交点坐标为（1,1）.即所表示平面区域面积为 3x y -4 = 0 (4 一4) - 1 323 y -2x 0 I 9满足条件 x 2y 3 0的可行域中共有整点的个数为() 5x 3y -5 ： 0 A.3B.4C.5D.6 【答案】B【分析】有4个整点，分别是(0,0), (0, 1), (1, 1), (2, 2). 10某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产 每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万

8、元，每吨乙产品 可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨. 那么该企业可获得最大利润是()万元. A.12B.20C.25D.27 x 0, y 0 【答案】D【分析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有 3x yW13 .目标函数 2x 3y0,解得a 4. z=OM OA 的 x _ y 50 12. 已知点M(x,y)满足约束条件8=38，经过 点(3, 3)时目标函数取得最小值z=2 + 4 3)= 6. 13. 能表示如图阴影部分的二元一次不等式组是 . 考点4 （文科）简单的线性规划 if / / 2x-y+2=0 1 Z-1O 1X 7

9、 第13题图 YGZW2 x0 【答案】 OW y0 OWyWI, x0.又原点在直线2x y + 2=0的右边，则2x y+ 20,故阴影部分可用不等式组 x 0 15.在平面直角坐标系中，若不等式组 0的可行域，而ax- y +仁0的直线恒过（0,1）,故看作直线绕点（0,1）旋转当a=- 1时，可行域不是一个封闭区域; 当a=1时，面积是 2. 16.已知约束条件 x - 3y 40 x 2y -10 ,若目标函数z=x + ay（a0）恰好在点（2,2）处取得最大值，则 3x y -80 a的取值范围为（ 1 A.0 v a v 3 1 C.a 一 3 1 D. 0 v av 2 【答

10、案】C【分析】 画出已知约束条件的可行域为 ABC内部（包括边界），如图，易知当 a=0时，不符合题意; 1 z 当a 0时，由目标函数z=x+ ay得y=x+，则由题意得一3= kBC a a 11 v v 0,故 a. a3 第16题图 YGZW5 考点4 (文科)简单的线性规划 17当 x、 x0 I y满足约束条件yW x（k为常数）时，能使z=x+ 3y的最大值为 2x y kW 0 12的k的 值为( A. 12 B. - 9 C.12 D.9 【答案】 k 【分析】当z=x+ 3y经过直线y=x与直线2x+ y+ k=0的交点（ 3 k亠 -3）时，Z 取得最大值 kk 12.所

11、以由一一+ 3 X )=12,求得 k= 9. 一3 18.在如图所示的坐标平面的可行域 （阴影部分包括边界）内，目标函数z=2x- ay取得最大值 的最优解有无穷多个, A. 2B.2 则 a为( C. 6 ) D.6 64,2) X 【答案】A【分析】 第18题图 YGZW6 1 在厶 ABC 中，kAB =0, kAC = , kBC = 1.而令目标函数 z=2x ay=0, 3 得所在直线的斜率为 k=-.因为目标函数取得的最大值的最优解有无穷多个，所以必有目 a 标函数所在的直线与三角形的某一边所在的直线重合: （1）因为k=不可能等于0,所以 a 目标函数所在直线不可能与直线AB

12、所在直线重合; （2）当目标函数所在直线与边 AC重合 z=2 X1 6 X1 = 4的解有无穷多个；（3） 时，即k=- = -时，得a=6，则目标函数的最小值为 a 3 当目标函数所在直线与边BC重合时，即k= 2 = 1时，得a= 2.则目标函数的最大值 z=2X5- a （-2） X1=12的最优解有无穷多个. x 3y -30 19.若实数x、y满足不等式组0 面区域内的点是( ) A.(1,1 )B.( 1,1)C.( 1, 1)D.(1, 1) 【答案】C【分析】把(1,1)代入x+ y 1得1 +1 1=1 0,排除A ;把(1,1)代入xy1 3 L 得1 1 +仁1V0,排

13、除B；而(1, 1)到直线X - y 1 =0的距离为2 ,排除D;故选 2 C. X0 21.设定点A(0,1),动点P(x,y)的坐标满足条件，贝V PA的最小值是 . 产x 【答案】 【分析】PA最小值即为点A到直线y=x的距离 2 22若线性目标函数 z=x+ y在线性约束条件 个，则实数a的取值范围是. 1 x y - 3W 0 2x - yW 0 yW a F取得最大值时的最优解只有 【答案】a2【分析】作出可行域如图，由图可知直线y= x与y= x+ 3平行，若最大 值只有一个，则直线 y=a必须在直线y=2x与y= x + 3的交点(1,2)的下方，故a2. 第22题图 YGZ

14、W7 x y5 23.由约束条件2x+y6确定的平面区域的面积 S=.周长C= x0, y0 【答案】 I ；小厂2、5【分析】如图，其四个顶点为 0(0,0)、B(3,0)、A(0,5)、P(1,4). 过点P做y轴的垂线，垂足为 C.贝U AC= 5一4 =1 , PC= 1-0 =1 , OC=4 , OB=3 , 1 Q ,S梯形 COBP = 2(CP + AP= G ,PB= J(4 _0 $ +(1 _3$ = 2代,得 Saacp = AC PC=- OB) OC=8.所以, S= Sa acp + S弟形 cobp =,C=OA + AP + PB + OB=8 + + 2、

15、5 . O shwll 第23题图 24.求不等式x -2 + y -2 2所表示的平面区域的面积. 【解】原不等式等价于 + y 6, X2, y2 x y 2,x2, y 2 如图，它是边长为2的正 ，作出以上不等式组表示的平面区域, x -y-2, x 2, y 2 x y2, x 2, y0时，显然直线在点(0,5)处，上取得最大值；当 av 0时，依题意，1, 22 易得2 2时，函数t=ax 2y在点(0,5)取得最小值. X0 I一 26.若 a0, b0,且当 y0 时，恒有ax+ byw 1，求以a、b为坐标的点 P(a,b)所形 x yW 1 成的平面区域的面积. x0 I一 【解】作出线性约束条件 丿y0 对应的可行域，在此条件下，要使ax + by w 1恒成立, x + y w 1 a z 只要ax by的最大值不超过1即可.令z= ax by，贝U y x . b b aaz .a0,b0/,若1v - W 0 (如图1),此时直线y = x + 经过A(0