初中数学全等三角形辅助线技巧范文

1、初中数学全等三角形辅助线技巧范文集团标准化工作小组Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN例1：如图，ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90o , BD平分ZABC交AC于点D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CEo思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD二2CE,可用加倍法，延长短边，乂因为有BD平分ZABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA, CE交于点F,在ABEF和ABEe中，VZI=Z2, BE二BE, ZBEF=ZBEC=90 ,. Abefsabec, e

2、f=ec,从而 CF二2CE。又Zl+ZF二Z3+ZF二90 ,故Zl二Z3。在 ABD 和 AACF 中，VZI=Z3, AB二AC, ZBAD=ZCAF=90 , AABDADo 求证：ZBZADC=180o。思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为AC是ZBAD的平分线，所以可过点C作ZBAD的两边的垂线， 构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作CE丄AB于E, CF丄AD于F。AC平分ZBAD,ACE=CFo在 RtCBE 和 Rt ACDF 中，VCE=CF, CB二CD,RtCBERtCDF,AZB=ZCDF,VZCDF+ZAD

3、C=180o ,.ZB+ZADC二 180 o解题后的思考： 关于角平行线的问题，常用两种辅助线； 见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等 变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ABC中，AB=AC, E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC 于 D,若 EB=CFo求证：DE=DFo思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ADEB与ADFC不可能全等，乂知 EB二CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF,构造中心 对称型全等

4、三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G,则 ZEGB 二 ZACB,又 AB二AC, AZB=ZACB, ZB=ZEGB, ZEGD二ZDCF,/.EB=EG=CF,. ZEDB=Z CDF, DGE DCF,ADE=DFo解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下儿种作法：例 5： ABC 中，ZBAC=60o , ZC二40 , AP 平分ZBAe 交 BC 于 P, BQ 平分ZABC 交 AC 于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQo思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP

5、二BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化 的思想把左式和右式分别转化为儿条相等线段的和即可得证。可过0作BC的平行 线。得厶ADOAQOo得到OD二0Q, AD二AQ,只要再证出BD二OD就可以了。解答过程：证明：如图(1),过O作OD/7BC交AB于D,A ZADO=ZABC=I80 -60 -40 =80 ,又 V ZAQO=ZC+ZQBC=80o , ZADO=ZAQ0,又 V ZDAO=ZQA0, OA=AO,.ADOAQO,.0D二0Q, AD=AQ,又 V OD/7 BP, ZPBO=Z DOB,又 V ZPBO=ZDB0,.,.ZDBO=ZDOb,BD=OD,又VZBPA=Z

6、C+ZPAC=70o ,ZBoP二ZoBA+ZBAO二70 ,.,.ZBOP=ZBPo,BP=OB, AB+BP 二 AD+DB+BP 二 AQ+OQ+BO 二 AQ 亠 BQ。解题后的思考：(1) 本题也可以在AB上截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形，即“截长法”。(2) 本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图(2),过0作ODBC交AC于D,则厶ADOABO从而得以解决。如图(5),过P作PDBQ交AC于D,则厶ABPBAADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三 角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造

7、的全等三 角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线， 实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。(5) 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说 明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，曲9应,点E在线段月万上，乙ADh乙CDE,乙DC匸乙ECB。 求证：CD=ABCo思路分析：1) 题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2) 解题思路：结论是防如应；可考虑用“截长补短法”中的“截长”

8、，即在 仞上截取侶少，只要再证莎必即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达 到简化问题的目的。解答过程：证明：在Q上截取陽应；如图乙:、FC昵 BCE JSAS ,Z2=Zlo乂 AD/BC,： ZADOrZBCD80 ,： ZDCE+ZCD*g ,.Z2+Z3二90 , Zl+Z4=90o ,Z3=Z4o在磁与血於中，FDEADE (ASA),：D圧DA,J CDDF+CF, ClADBC.O试题答案1、分析：因为平角等于180 ,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为 平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长 法或补短法”来实现。证明：过点。作D

9、E垂直胡的延长线于点氏 作DF丄BC于点尸，如图1-2A RtADRt CDF(HD，乙DAh乙DCF。乂ZBAZDAl80 ,：.ZBAZDCll80 ,即 ZBAZBCD=I802、分析：与1相类似，证两个角的和是180 ,可把它们移到一起，让它们成为邻 补角，即证明乙BCK乙EAP、因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。证明：过点尸作PE垂直BA的延长线于点E如图2-2A RtAPERt 6777(SAS),：.APAEAPCD乂 *： ZBAZPA180。：.ZBAZBCP=I803、分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长月。至疋 使CE=CD,或在月万上截

10、取AACO证明：方法一(补短法)延长到E使DOCE.则ACDE=ACED,如图3-2A AFD ACD (SAS),DF=DC, ZAFD=ZACDOXv ZACB = 2 ZB,AZFDB= ZB,AFD=FBOTAB 二 AF+FB 二 AC+FD,AAB=AC+CD o4、证明：(方法一)将DE两边延长分别交AB、AC于M、X,在 AAMN 中，AM+AXMDDE+NE;在 ABDM 中，MBMDBD:在ZXCEN 中，CN+NECE;由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC(方法二：图4-2)延长BD交AC于F,延长CE交BF于G

11、,在ZABF、GFC和ZkGDE中有：AB+AFBD+DG+GFGF+FOGE+CEDG+GEDE(3)由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+ECo5、分析：要证AB+AO2AD,由图想到：AB+BDAD, AC+CDAD,所以有 AB+ACBDCDADAD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而Itl 2AD 想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去A ACDEBD (SAS)ABE=CA (全等三角形对应边相等)在AABE中有：AB+BEAE (三角形两边之和大于第三边)AB+AC2A

12、Do6、分析：欲证AC二BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有 AC、BF的两个全等三角形，而根据题LI条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也 并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同 一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即 可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC,使AC、BF在三角形BFH中 方法一：延长AD到H,使得DH二AD,连结BH,证明ZXADC和AHDB全等，得 AC=BHo通过证明ZH=ZBFH,得到BF二BH。ADCHDB (SAS)AC二BH, ZH=ZHACY EA=EF ZHAE=ZAFEXV ZBFH=ZAFEBH=BFBF=AC方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明AADC和AHDB 全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过 一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的