408470正方形(提高)知识讲解

1、正方形(提高) 【学习目标】 1理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2. 掌握正方形的性质及判定方法. 【要点梳理】 【高清课堂特殊的平行四边形(正方形)知识要点】 要点一、正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形， 更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形 要点二、正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质 1. 边一一四边相等、邻边垂直、对边平行； 2. 角四个角都是直角； 3. 对角线一一相等，互

2、相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 4. 是轴对称图形，有 4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四 个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外， 判定思路有两条：或先证四边形是菱形， 再证明它有一个角是 直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互 相垂直(即菱形). 要点四、特殊平行四边形之间的关系 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 (1 )顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 (2 )顺次连接矩形各

3、边中点得到的四边形是菱形 (3) 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 (4) 顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成 . (1) 若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形 (2) 若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. (3) 若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形 【典型例题】 类型一、正方形的性质 (2016?哈尔滨)已知：如图，在正方形 ABCD中，点E在边CD上，AQ丄BE于 点Q , DPI AQ于点P. (1)求证：AP=BQ ; (2 )在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线

4、段与较短 线段长度的差等于 PQ的长. 三 B ( r 【思路点拨】(1)根据正方形的性质得出 AD=BA，/ BAQ= / ADP，再根据已知条件得到 / AQB= / DPA，判定 AQB DPA并得出结论；(2)根据 AQ - AP=PQ和全 等三角形的对应边相等进行判断分析. 【答案与解析】 解：(1 )正方形ABCD AD=BA，/ BAD=90 即/ BAQ+Z DAP=90 DP 丄 AQ Z ADP+Z DAP=90 Z BAQ= Z ADP AQ丄BE于点Q, DP丄AQ于点P Z AQB= Z DPA=90 AQB DPA (AAS ) AP=BQ (2) AQ - AP=

5、PQ AQ - BQ=PQ DP - AP=PQ DP - BQ=PQ 【总结升华】本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四 条边相等，四个角都是直角.解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三 角形全等，以及全等三角形的对应边相等. 举一反三： 【变式1】如图四边形 ABCD是正方形，点 E、K分别在BC AB上，点G在BA的延长线上，且CE BK= AG 以线段 DE、DG为边作 Y DEFG (1) 求证：DE= DG 且 DEL DG (2)连接KF,猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想. B E 【答案】 证明：四边形ABCD是

6、正方形， DC = DA / DCE=Z DAGp 90 . 又 CE = AG DCEA DAG / EDC=Z GDA DE= DG 又/ AD冉/ EDC= 90, / AD冉/ GDA= 90, DE 丄 DG (2) 四边形CEFK为平行四边形. 证明：设CK DE相交于M点， 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， AB / CD, AB= CD EF= DG EF/ DG / BK = AG, - KG = AB= CD 四边形CKGD平行四边形. CK = DG= EF, CK/ DG/ EF 四边形CEFK为平行四边形. 【高清课堂特殊的平行四边形(正方形)例9】 【变式

7、2】如图，三个边长均为 2的正方形重叠在一起，O、O是其中两个正方形的中心, 则阴影部分的面积是 【答案】2; 提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半 类型二、正方形的判定 2、(2015?闸北区模拟)如图，在 Rt ABC中，/ BAC=90 , AD=CD，点E是边AC 的中点，连接 DE , DE的延长线与边 BC相交于点F, AG / BC ,交DE于点G,连接AF、 CG. (1)求证：AF=BF ; 【思路点拨】(1)根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，再根据等角的余角相等可得 / B= / BAF，所以 AF=BF . (2)由AAS可证 AEGCEF，所以AG=CF .由

8、一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形得四边形 AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角 为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形. 【答案与解析】 证明：(1) / AD=CD，点E是边AC的中点， DE 丄 AC . 即得DE是线段AC的垂直平分线. AF=CF . / FAC= / ACB . 在 Rt ABC 中，由/ BAC=90 得/ B+ / ACB=90 , / FAC+ / BAF=90 / B= / BAF . AF=BF . (2) / AG / CF,AGE= / CFE . 又点E是边AC的中点， AE=CE . 在厶AEG和厶CE

9、F中， ZAGE=ZCFE * .-, AE=CE AEG CEF ( AAS ). AG=CF . 又 AG / CF, 四边形AFCG是平行四边形. AF=CF , 四边形AFCG是菱形. 在 Rt ABC 中，由 AF=CF , AF=BF，得 BF=CF . 即得点F是边BC的中点. 又 AB=AC , AF 丄 BC .即得 / AFC=90 四边形AFCG是正方形. 【总结升华】 本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形 的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及 其性质. 举一反三： 【变式】(2015春？上城区期

10、末)如图，矩形 ABCD中，AD=6 , DC=8，菱形EFGH的三个 顶点E, G, H分别在矩形 ABCD的边AB , CD, DA上，AH=2，连结CF. (1 )若DG=2，求证：四边形 EFGH为正方形; (2)若DG=6，求 FCG的面积. 【答案】 (1)证明：四边形EFGH为菱形, HG=EH , / AH=2 , DG=2 , DG=AH , 在Rt DHG和厶AEH中， I.DG 二 AH， Rt DHG AEH , / DHG= / AEH , / / AEH+ / AHG=90 / DHG+ / AHG=90 / GHE=90 四边形EFGH为菱形， 四边形EFGH为正

11、方形； (2)解：作FQ丄CD于Q,连结GE，如图， 四边形ABCD为矩形， AB / CD , / AEG= / QGE，即卩 / AEH+ / HEG= / QGF+ / FGE , 四边形EFGH为菱形， HE=GF , HE / GF, / HEG= / FGE, / AEH= / QGF, 在厶AEH和厶QGF中 rZA=ZQ , HE二配 AEH QGF , AH=QF=2 , DG=6, CD=8 , CG=2 , FCG 的面积=：CG?FQ= 2 2=2. 类型三、正方形综合应用 3、E、F分别是正方形 ABCD勺边AD和CD上的点，若/ EBF= 45 求证：AE+ CM

12、EF. 若E点、F点分别是边DA CD的延长线上的点，结论（ 证明，若不成立，写出正确结论并加以证明. 1）仍成立吗？若成立，请 【答案与解析】 证明：(1)延长DC使CH= AE,连接BH, 四边形ABCD是正方形， / A=Z BCH= 90，又 AB= BC CH= AE Rt BAE Rt BCH / 1 = Z 2, BE= BH 又 / 1 + Z 3+Z 4= 90,/ 4 = 45, / 1 + / 3 = 45,/ 2 + / 3= 45, BE BH , 在 EBF和厶 HBF中,EBF HBF , BF BF, EBFA HBF, EF = FH= FC+ CH= AE+

13、 CF.即 AE+ CF= EF. (2)如图所示：不成立，正确结论：EF= CF AE 证明：在 CF上截取CH= AE,连接BH 四边形ABCD是正方形， 在 Rt EAB和 Rt HCB中, AE CH , O EAB HCB 90, AB BC, Rt EAB Rt HCB BE = BH, / EBA=/ HBC / HBC + / ABH= 90,./ EBA +/ ABH= 90 又 / EBF= 45,./ HBF= 45, 即/ EBF=/ HBF BE BH , 在厶 EBF和厶 HBF中EBF HBF , BF BF, EBFA HBF, EF = FH= CF- CH=

14、 CF AE, 即卩 EF= CF AE 【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补 短”的方法正确地作出辅助线 4、正方形ABCD勺对角线交点为 0,如图所示，AE平分/ BAC交BC于E,交0B于F, 求证：EC= 2F0. 1 【思路点拨】 在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或丄，通常采用折半 2 法或加倍法.而折半法又可分直接折半法和间接折半法; 法.这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法. 【答案与解析】 证法一：（间接折半法）如图所示. / 3=/ 1 + Z 4,Z 5=Z 2+Z 6. 而/ 1 =/ 2，/ 4=/ 6

15、 = 45. / 3 =/ 5, BE= BF. 取AE的中点G连接0G / AO = 0C 0G- EC. 2 由/ 7=/ 5,/ 8=/ 3, / 7 =/ 8, F0 = G0 EC = 20G= 2F0. 证法二：（直接折半法）如图所示. 由证法一得BE= BF. 取EC的中点H,连接0H / A0 = 0C - 0H / AE. / B0H=/ BFE=/ BEF=/ BH0 B0 = BH, F0 = EH EC = 2EH= 2F0. 证法三：（直接加倍法）如图所示. 由证法一得BE= BF. 在0D上截取 0M= 0F,连接 MC 易证 Rt A0F Rt C0M / 0AF

16、=/ 0CM AE / MC 由/ BM=/ BFE=/ BEF=/ BCM FM = EC. EC = FM= 2F0 加倍又可分直接加倍法和间接加倍 H E 【总结升华】 若题目中涉及线段的倍半关系和中点问题时, 要联想中位线定理，利用中点构 造中位线，要注意从不同的角度进行思构，构造不同的辅助线来解决问题. 举一反三： 【变式】在正方形ABCD勺边AB上任取一点E,作EF丄AB交BD于点F,取FD的中点G,连 接EG CG如图，易证 Ed CG 且EG丄CG (1) 将厶BEF绕点B逆时针旋转90,如图，则线段 EG和CG有怎样的数量关系和位 置关系？请直接写出你的猜想. (2)将厶BEF绕点B逆时针旋转180,如图，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和 位置关系？请写出你的猜想，并加以证明. 【答案】 解：(1)EG = CG 且 EGL CG (2)EG = CG 且 EG1 CG 证明：延长FE交DC延长线于 M 连MG如图, / AEM= 90,/ EBC= 90。，/ BCM= 90 四边形BEMC1矩