三角恒等变换-知识点+例题+练习,推荐文档

1、实用标准文档文案大全两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) C(a_B):cos(aB )= cosacosB+ sina sinB;(2) C(a + B):cos(a+B )= cosacosB sina sinB;(3) S(a + B):sin(a+B )= sin_acos_B+ cos_ a sin_B;(4) S (a b):sin(aB )= sinacosB cosa sinB;tan a + tan B T( +): ta n( a + B )二 i tan a tan B ；c tan a tan BT(a b): tan( a B

2、 )二 i+ tan a tan B .2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S 2a: sin 2 a= 2sin_ a cos_a ;2 2 2 2(2) C 2a : cos 2 a = cos a sin a = 2cos a 1 = 1 2sin a ;_2ta n aT2a: tan 2 a 二 1 tan2a .3. 有关公式的逆用、变形等(1)tana tan B = tan( a B )(1 ? tan_ a tan_ B );(2)cos 2 a1 + cos 2 a2.21 cos 2 asin a2(3)1 + sin 2 a = (sin2a + cos a )1

3、 sin 2 a = (sina cos a ) 2,sina cosa = 2sin+ na 4 .4. 函数 f( a ) = acos a + bsin a (a, b 为常数)，可以化为 f( a ) = a2+ b2 sin( a + )或 f ( a ) = a2 + b2cos( a )，其中 可由 a, b 的值唯一确定.两个技巧.拆角、.拼角技巧;.2.a.三,a.+.B) 土(a亍.(_a_.+B.).B.j.B.w(2).化简技巧：切化弦.、.“ 1 ”的代换等， 三个变化(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2) 变名：通过变换函数名

4、称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幕与降幕”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.双基自测11. (人教A版教材习题改编)下列各式的值为4的是()B. 1 2si n 275D. sin 15 cos 152 nA. 2cos 1122tan 22.5 C.1 tan222.5 sin 2 a2. （2011 福建）若tan a= 3,则2的值等于（）.cos a23. 已知 sin a = 3，则 cos（ n 2 a ）等于（）.n14

5、. （2011 辽宁）设 sin + 9 = 3,则 sin 2 9 =（）.5. tan 20 + tan 40 + tan 20 tan 40 =考向一 三角函数式的化简4212cos x 2cos x+【例1】?化简n2 n ,2tan 7xsin 7+x审题视点切化弦，合理使用倍角公式.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1) 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使 用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式;(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.【训练1】化简:sin a + COS a 1 sin a C

6、OS a + 1sin 2 a考向二三角函数式的求值n【例 2 ?已知 OVVaVn，且 COS93求cos( a + B )的值.丐汁三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系.n【训练2】 已知a , B 0,空，Sin a ：4，tan( a -51 一-B) 3,求( cos B的值.考向三三角函数的求角问题【例3】?已知cos1a= 7， COS(a B )= 13,且 0Ban，求 B .丄丄竺 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以

7、下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；n若角的范围是0,，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，n )，选余弦较好；若角的范围为一，2，选正弦较好.【训练3】 已知a， B n，n，且tan a，tan B是方程x2+ 3 3x + 4 =0的两个根，求a + B的值.考向四三角函数的综合应用【例4】? (2010 北京)已知函数f(x) = 2cos 2x + si n 2x.n(1) 求f m的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值.可 址高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往 往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式

8、化为y=Asin( 3 x + )的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、 周期性、对称性等性质.【训练4】 已知函数f (x) = 2sin( n x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；n n 求f (x)在区间石,n上的最大值和最小值.三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更 是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记 忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法.一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值， 求另外一些角的三角函数值，解题的关键 在于“变角

9、”，如a = ( a+B ) P，2a = ( a + B ) + ( ap )等，把所求角用 含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论.【示例】？ (2011 江苏)已知tan x + += 2,则回产的值为.4ta n 2 x 二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知 角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.1 1【示例】？ (2011 南昌月考)已知tan( a B ) =?，ta n B= 7，且a，B （0，n ），求 2a B 的值.三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考

10、的必考内容，常 在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现 在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向.【示例】？ (2011 温州一模)已知向量a = (sin 9，- 2)与b= (1 , cos 9)n互相垂直，其中9 0，(1)求sin 9和cos 9的值；若 5cos( 9 ) = 3 5cos ，0v Vq，求 cos 的值.【课后训练】A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)11.(2012 江西)若 tan 9 += 4，则 sin 2 9 等于tan 9( )3.4.1A.51B.4（2012 大纲全国）已知

11、A-B.已知a,卩都是锐角,nA.?n 3 nc.&和壬（2011 福建）若C. ;2C.3a为第二象限角,sin1D.2a 毒，sin3nB.-4且sinB.fsin3 n4oc + COS a10二、填空题（每小题5分，2 2cos 75+ cos 15+ cos 75 cos 1515分）5.6.击ta n 12 - 324cos 12- 2sin 127.3sin a=二 cos53卩=5，其中三、解答题（共22分）& （10分）已知1 + sin* 1 sin集合.卩等于+ cos 2 a = 1,则 tana的值等于的值等于na ,3 0, , Ua + B =1 sina* 1 + sina2tana，试确定使等式成立的a的取值n9.（12 分）已知 a ,n ，且 sinCOSaJ62 = 2求COS a的值;3n若sin（ a - 3 ）=三，卩二,冗，求cos卩的值.523413Tx5+2X 54 .：3+ 310B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）1.n n（2012 山东）若 B , , sin 2，贝U si