一元二次方程能力拔高题

1、实用文档一元二次方程培优专题复习考点一、概念(1)定义：|只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是一元二次方程。(2) 一般表达式：ax2 bx c 0(a0)难点：|如何理解“未知数的最高次数是2” :该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论典型例题：例1、卜列方程中是关于x的一兀1次方程的是()A、3 x 1 22 x1 B、2-20C、ax2 bxc 0Dxx2小x 2x x2 1变式：当k时，关于x的方程kx22xx23 是一兀二次方程。例2、方程m 2 x冋3mx 10是关于x的一元一次

2、方程，则m的值为针对练习: 1、方程8x2 7的一次项系数是 ，常数项是 2、若方程 m 2 x m 10是关于x的一元一次方程，求 m的值： ;写出关于 x 的一元一次方程： 。 3、若方程 m 1 x2,m ?x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 4、若方程nxm+xn-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是()A.m=n=2 B.m=2, n=1C. n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念：|使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题： 例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为例2、关于x的一元二次方程

3、2 2a 2 x x a 40的一个根为0,则a的值为例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bxc 0 a 0的系数满足a c b ,则此方程标准文案必有一根为例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的两个根，b, c是方程y2 8y 5m 0的两个根，贝U m的值为。针对练习： 1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2，则k为，另一根是。2x 1 2、已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程3的解相同。求k的值;x 1方程的另一个解。 3、已知m是方程x2 x 10的一个根，则代数式 m2 m 。 4、已知a 是 x2 3x10的根，则2a2 6a 5、方程0的一个根为(be D

4、6、若2x 5y0,贝U 4x?32y考点三、解法方法：直接开方法;因式分解法；配方法;公式法关键点：降次类型一、直接开方法:x20,对于xaxbx n等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程:1 2x20；2 2516x2 =0;90;例2、解关于x的方程:ax2 b 0例3、若9 x1 2 16则x的值为针对练习:F列方程无解的是(A. x23 2x21 B.0 C. 2xD.x29类型二、因式分解法xx1 xx20xX1,或 xX2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“方程形式：如axm 2 bx n2ax a20典型例题：例1、2x x 35 x 3的根为(A x5x

5、35门2BCX1,X23 DX 225例2、若4X2y3 4x y 40则4x+y的值为。变式1:a2 b2 2 2ab260,则 a2 b2。变式2:若xy 2 xy3 0)，则x+y的值为。变式3:若2 xxy y14 ,2yxy x 28，则 x+!/的值为例3、方程2 xx60的:解为()A.刘3,X22B.X13,X22C.D.x 2,X2例4、解方程呈：2 x2、31 x2 340 得 X1,X2例5、已知2x23xy 2y20,贝-的值为0xyXi3,X2变式：已知2x2 3xy 2y2 0,且x 0, y 0,则-y的值为。x y针对练习： 1、下列说法中：方程x2 px q0

6、的二根为x-i,x2，则x2px q (xx1)(xx2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2 y2 (x y)( x . y)( . x . y)方程(3x 1)270 可变形为(3x 1 .、7)(3x 1 -.7) 0正确的有()A.1 个 B.2 个 C.3 个D.4个 2、以1.7与1-.7为根的一元二次方程是()2 2 2A.x2x60b . x 2x 60 C . y 2y 60D.y22y60 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4

7、、若实数x、y满足x y 3 x y 20，则x+y的值为()ax2bx c 0 a 0b 2 b2 4ac2a4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值 之类的问题。典型例题：例、已知x、y为实数，求代数式X2y2 2x 4y 7的最小值。针对练习:1、已知x212xx -40，则x2、若 t 23x2 12x9，则t的最大值为，最小值为类型四、公式法0,且 b24acOb . b2 4ac,a2a0,且 b24ac典型例题：例、选择适当方法解下列方程:2 31 x 6. x 38.x2 4x 1 3x2 4x 103x 12x 5类型五、“降次思想”的应用求代数式

8、的值;解二元二次方程组。典型例题：例1、已知x2 3x 20，求代数式x21的值。例2、如果320，那么代数式x 2x 7的值。例3、已知a是一元二次方程x2 3x 13_2a 2a 5a 1 居0的一根，求2的值。a21A 、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1或25、方程：x2 丄2的解是。x26、已知.6x2 xy.6 y20，且 x0，y 0，求2x 6y3x y的值。考点四、根的判别式b2 4ac根的判别式的作用:定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：|例1、若关于x的方程x2 2 kx 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 2例2、关于x的方程 m

9、1 x 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是（）A. m 0且m1 B. m 0 C. m 1 D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0（1）求证：无论k取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。2例4、已知二次三项式9x （m 6）x m 2是一个完全平方式，试求 m的值.例5、m为何值时，方程组x2 2y26,mx y 3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解? 针对练习：1、当k时，关于x的二次三项式 x2kx 9是完全平方式。2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方

10、式是什么?23、 已知方程mx mx 2 0有两个不相等的实数根，贝Um的值是y kx 2,4、 k为何值时，方程组 2（ 1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）y 4x 2y 1 0.有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.5、 当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根与m均为有理数？（2012山东德州中考，15,4,）若关于x的方程ax2 2（a 2）x a 0有实数解，那么实数 a的取值范围是.（2012湖北襄阳，12, 3分）如果关于x的一元二次方程 kx2- 2k 1 x+ 1 = 0有两个不相等的实数根，那么 k的取值范围是1 1 11 11A. k v

11、B. kv 且 k 工 0 C.丄 w kvD.丄 w kv 且 k 工 02 2 2 2 2 2考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1关于x的方程 m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则 m为 , 只有一个根，则 m为。例2、不解方程，判断关于 x的方程x2 2 x k k23根的情况。例3、如果关于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类 问题典型例题：1、 五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两

12、两碰杯一次， 共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、 某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放1市场，根据计划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 1，第三年比第二年减少311，该产品第一年收入资金约 400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，21 一还要盈利-，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结3果精确到0.1 ,133.61）4、 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售， 一个月能售出500千克，

13、销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。（2） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、 将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少？（ 2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、 A B两地间的路程为 36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人

14、相遇后，甲 再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：|对于ax2bx c 0而言，当满足a 0、0时，才能用韦达定理。X1X2b一，也a常用变形:X2)22x1x2 丄X2)2 (X1 X2)2 4X1X2，X2角形的斜边是（)A.3 B.3C.6D., 6例2、解方程组：(1) Xy 10,x2 y210,xy24;x y 2.例3、已知关于X的方程k2x22k1 x 10有两个不相等的实数根 X1,X2, （1）求k2x2 8x 70的两根，则这个直角三X1X22X1 X2x1x2(x1X2),X2 | 、(Xi X2)2 4X1X2

15、 ,等例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1 ）时，小明因看错常数项，而得到解为 8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9和-1。你知道原来的 方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 5、已知 a b，a2 2a 10，b2 2b 10,求 a b a b变式：若a2 2a 10， b2 2b 10,则的值为。b a例6、已知，是方程x2 X 1 0的两个根，那么4 3.针对练习11已知a27a 4 ,b27b 4

16、（ab），求=匡旦的值。2、已知x1,x2:a : b232是方程x X 9 0的两实数根，求X17X23X2 66的值。24223.（湖北中考题） 设a 2a 10,b 2b 10 , 且1 ab 0 , 则2 2ab b 3a 1a4.（四川中考题）如果方程X2+ px + q= 0的两个根是X1, X2,那么X1+ X2= p, X1 -X2= q .请 根据以上结论，解决下列问题：（1 ）已知关于x的方程X2 + mx+ n = 0 （n丰0），求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2 15a 5 = 0, b2 15b 5 = 0,求旦+ b的

17、b a值；（3）已知a、b、c均为实数，且 a+ b+ c = 0, abc = 16,求正数c的最小值.1当k为何值时，关于x的方程 k21 x2 k 1 x 20有实数根2.已知方程2xa b xa b ab 0是关于x的一元二次方程，求 a, b的值3设x3 a 3x 10 0和x3b4 bx 8 0都是关于x的一元二次方程,2012 2013求： a . b .、a - b的值。(3) 3x x 55 x 5(4) x2 x 204解下列方程:(1) 2 x 2 v 2 x 50(2)3 - x6 x -20225已知方程2x2 4m 1 x m2 2m 求证：不论 m为何值，次方程均

18、有两个不相等的 实根。6已知三个关于 x的一元二次方程ax2 bx c 0bx2 cx a 0cx2ax b 02 2 2恰有一个公共实数根，求一的值。bc ac ab7 已知 a2 2a 10b42b2试求ab2b2 12012的值。8关于x的方程x2(k 1)x220和方程x 2x k(k 1)0只有一个相同的实根,求k的值及公共根。m0时，关于x的一元二次方程9已知a.b.c 分别是三角形 ABC的三边长。当ex m b x m 2、. max 0有两个不相等的实根，试判断三角形ABC的形状。10已知方程X2 5x 6 0与方程2x2 2x m 0的公共根和方程3x2 x 24 0与1

19、2 1 方程一 x x n 0的公共根相同，求 m n的值。2 22 2 211 m n是方程x 2x 10的两个根，且7m 14m a 3n 6n 712求a的值。-3和12甲，乙两同学分别同时解同一个一元二次方程，甲把以此项系数看错了解的两根为5。乙把常数项看错了得两根为2,6和2. 6，求原一元二次方程。13已知关于x的方程x2 2(m 2)x 3m2 1 0(1 )求证无论m为何值，方程总有两个不相等的实根(2)设方程的两根为x1, x2 ， x1 x2 213求m的值。14要使关于x的一元二次方程x2 2(m 2)x 3m2 1 0的两根的平方和最小,求m的值。215已知函数 y=

20、和y=kx+1 （x丰0）x（1）若这两个函数都经过（1, a）求a和k的值（2）当k取何值时，这两个函数图像总有公共点16某商店销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，调查发现如果每件降价1元则每天可以多销售2件，若商场平均每天盈利1200元，则每件应该降价多少元？17为实现国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建设力度。从2010年起，市政府开始投资，以后逐年增长，2011年投资了 3亿元人民币。预计 2012年底三年累计共投资 9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内投资的增长率相同，求 市

21、政府投资的年增长率？18某商家从厂家以每件21元价格购进一批商品，该商家可自行定价。若每件商品售价a元，则可卖出（350-10a ）件，但物价部门限定每件商品加价不得超过定价的20%商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少？元二次方程培优训练I. 已知方程3ax2-bx-仁0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,贝U a=_ = . 2关于x的方程(m . 3)xm2 1 x 3 0是一元二次方程，则 m ；3.设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2 b2)(a2 b2 1) 12，则这个直角三角形的斜边长为；2 1 14当x时，代数式x2-x 的值为02 25

22、. 已知：m 12 ,则关于x的二次方程(m 1)x2 (m 5)x40的解是 ;6. 方程(2 . 3)x2x的解是 ；7. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a丰0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b与a、c之间的关系为;若有一个根为零，则c= .8、3x 4y26y 90则 xy=9、 写出以4, -5为根且二次项的系数为 1的一元二次方程是 10、如果x22 m 1 x 4是一个完全平方公式，则 m 。II、 已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为 和。12、当m 时，关于x的方程m21 x2 m 1 x 20为一元二次方程。13写出一个一元二次方程，使

23、它的一个根为2.14当x=时，代数式x2 4x的值与代数式2x 3的值相等.15、 方程2x23x 0的根是。16、用配方法解方程x24x 60 ，贝y x24x_6_ ，所以X1 , X2 。17、要使关于x的一元二次方程x22(m2)x 3m210的两根的平方和最小，求m的值。7、下列方程是一元二次方程的是（A 、x 2y 1 B 、2x x1 2x23 C3xD4x2208、关于x的一元二次方程 x2k0有实数根，则（a、 k v 09、将方程x2 2x0化为xn的形式，指出m,n分别是（10、方程 x(x 1)( x2)0的解是11、当 y=时,y2-2y的值为3；212、已知方程x

24、+kx+3=0的一个根是-1 ，则k=另一根为13、写出以4， 5为根且二次项系数为1的一元二次方程是14、某校去年投资2万元购买实验器材,预期今明两年的投资总额为 8万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x,则可列方程15、设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2b2)(a2 b21)12，则这个直角三角形的斜边长为三部分1.方程不一定是一元二次方程的是2A.（a-3）x=8 （a 工 0）B.ax()2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.、3x2x572、若关于x的一元二次方程x20的一个根是-1或-13、把方程2x 8x 30化成4, 134、n的形式

25、，则n的值是（B、-4 , 19 C、-4 , 13 D、4, 19已知直角三角形的两条边长分别是方程x2 14x 480的两个根，则此三角形的第三边是（）B、10 或 27C、10或8D、275.关于x的方程(a2 a 2)x2 ax b0是一元二次方程的条件是6等腰三角形的两边的长是方程x220x910的两个根,则此三角形周长为和 33 D.A. 27 B. 33 C. 277. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念, 如果全班有x名同学，根据题意，列岀方程为A. x（x + 1）以上都不对全班共送1035张照片,8. 一元二次方程A. x()1035 B . x(x

26、 1) = 1035 X 2C. x(x 1) = 1035 D . 2x(x 3) = 5(x 3)的根为 ()52x = 3 C . X1 = 3, X22x(x + 1) = 10359.已知x25xy6y20，则y : x等于B.D.9.使分式x2 5x 6x一5-6的值等于零的x是x 1A.6B.-1C.-1D.-610方程x2-4 | x | +3=0 的解是A.x= 1 或 x= 3B.x=1 和 x=3 C.x=-1或 x=-3 D.无实数根11.关于x的方程x2-k 2-16=0和x2-3k+12=0有相同的实数根的值是（）A.-7B.-7C.-4D.412、请判别下列哪个方程是一元二次方程（A 、 x 2y 1 B 、 x、2x8 D 、 3x 86x 213、请检验下列各数哪个为方程x26x0的解A 、5 B14、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题,、8其中答对的是