《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析

1、二次根式及一元二次方程 第1页（共18页） 、选择题 1. 估算厂 的值（） A. 2. 有意义，则x应满足（） A. 1 小1 2 C - 2 v xv 3 x 3B. x 3 且 xM D.牙vx 1 B. a 1 且 aM 5C. a 1 且 a5 D. a5 7. 关于x的方程（a- 5） x2-4x- 1=0有实数根，则a满足（） 8.设 a, A. 2014 B. 2017C. 2015 D. 2016 b是方程x2+x-2016=0的两个实数根，则a2 +2a+b的值为（） 9 方程（x- 3）（ x+1） =x- 3 的解是（） A. x=0 B. x=3 C. x=3 或 x

2、=- 1 D. x=3或 x=0 10方程x2- 9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（） A. 12 B. 12或15 C 15 D.不能确定 11. 定义：如果一元二次方程 a+bx+c=0 （a 0）满足a+b+c=0,那么我们称这个方程 为 凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0（ a 0）是 凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下 列结论正确的是（） A. a=c B. a=b C. b=c D. a=b=c 12. 如图，已知双曲线y令（kv0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角 （-6, 4）,则厶AOC的面积为（ 二、填空题 13. 化简1

3、=. 14. 计算兀彳的结果是. 15 .计算：一+ . =_. 16.如果方程a/+2x+仁0有两个不等实根，则实数a的取值范围是. 17 .设X1，x2是一元二次方程x2- 3x- 2=0的两个实数根，则X12+3x1X2+x22的值为. 18. 已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，贝U m2+2mn+n2的值为. 19. 请你写出一个有一根为1的一元二次方程： .（答案不唯一） 20. 关于x的一元二次方程x2- mx+2m - 1=0的两个实数根分别是 *、X2，且X12+X22=7, 则（X1 - X2） 2的值是. 21. 若把代数式x2- 2x- 3化为（x- m

4、） 2+k的形式，其中m, k为常数，则m+k=. 22 .将j -根号外面的因式移进根号后等于 . 23若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数尸啊X)的图象上.若 正方形OABC的面积为1,则k的值为 ；点E的坐标为 第5页(共18页) 三、解答题 24计算: 25. 用配方法解方程：2x2+1=3x， 26. 已知 关于x的一元二次方程x2-( 2k+1) x+4k- 3=0. (1) 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 当RtA ABC的斜边长a=J ,且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时, 求厶ABC的周长. 27. 已知一元二次方

5、程x2- 2x+m=0. (1) 若方程有两个实数根，求 m的范围； (2) 若方程的两个实数根为X1, X2,且x1 +3x2=3,求m的值. 28. 已知关于x的一元二次方程x2=2 (1 - m) x- m2的两实数根为为,x2 (1) 求m的取值范围； (2) 设y=*+x2，当y取得最小值时，求相应 m的值，并求出最小值. 二次根式及一元二次方程 参考答案与试题解析 一、选择题 1 估算打工勺的值（） A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 【考点】估算无理数的大小. 【专题】应用题. 【分析】首先利用平方根的定义估算 31前后的两个完全平方数25和3

6、6,从而判断.- 的范围，再估算-丨I的范围即可. 【解答】解：5VV 6 3 Q J V 4 故选C. 【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算.的 整数部分和小数部分. 2 要使苗4+云Tf有意义，则x应满足（） A.x 3 B. x 3 且 xm亍 C.丄Vxv3 D.v x 3 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件. 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解. 【解答】解：由题意得， 解不等式得，x丄， 所以，丄v x0. v 0. 该方程没有实数根. 故选A. 【点评】本题是方程与几何的综合题. 主要考查了三角形三边关系

7、、一元二次方程的根的判别式等知识点.重点是对(2c) 2 -4 (a+b)( a+b)进行因式分解. 5. 武汉市2016年国内生产总值(GDP比2015年增长了 12%,由于受到国际金融危 机的影响，预计今年比2016年增长7%,若这两年GDP年平均增长率为x%,则x%满足 的关系是() A. 12%+7%=x% B ( 1+12%)( 1+7%) =2( 1+x%) C. 12%+7%=2?x% D.( 1+12%)( 1+7%) = (1+x%) 2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【专题】增长率问题. 【分析】增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量X( 1+增长率)，然后用

8、平均增 长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即X%满足的 关系式. 【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y, 则根据实际增长率和平均增长率分别得到 2010年和今年的国内生产总值分别为： 2016年国内生产总值：y (1+x%)或y (1+12%)， 所以 1+x%=1+12%, 今年的国内生产总值：y (1+x%) 2或y (1+12%)( 1+7%), 所以(1+x%) 2= (1+12%)( 1+7%). 故选D. 【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程. 【考点】二次根式的混合运算；立方根. (av 1) 【分析】A

9、、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以; B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了; C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了； D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了. 【解答】解：A、 (av 1) ,本答案正确; B、 D、二存4工2,本答案错误. 故选B. 【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结 算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键. 7.关于x的方程（a- 5） x2-4x- 1=0有实数根，则a满足（） A. a1B. a 1 且 a 5C. a1 且 a工5D. a工

10、5 【考点】根的判别式. 【专题】判别式法. 【分析】由于x的方程（a- 5） x2- 4x- 1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a- 5=0时，方程一定有实数根；（2）当a-5工0时，方程成为一元二次方程，利用判别式 即可求出a的取值范围. 【解答】解：分类讨论： 当a- 5=0即a=5时，方程变为-4x-仁0，此时方程一定有实数根； 当a - 5工0即a 5时， 关于x的方程（a- 5） x2 - 4x- 1=0有实数根 16+4 （a-5） 0， /. a 1. a的取值范围为a 1. 故选：A. 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a 0）的根的判别式 =b

11、2- 4ac：当厶 0,方程有两个不相等的实数根；当厶=0，方程有两个相等的实数根；当 0?方程有两个不相等的实数根； (2) =0?方程有两个相等的实数根； （3）Av 0?方程没有实数根. 12. 如图，已知双曲线y今（kv0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角 边AB相交于点C.若点A的坐标为（-6, 4）,则厶AOC的面积为（ A. 12 B. 9C. 6D. 4 【考点】反比例函数系数k的几何意义. 【专题】压轴题. 【分析】 AOC的面积= AOB的面积- BOC的面积，由点A的坐标为（-6, 4）, 根据三角形的面积公式，可知 AOB的面积=12，由反比例函数的比例系

12、数 k的几何意 义，可知 BOC的面积=丄出.只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可. 【解答】解：OA的中点是D,点A的坐标为（-6, 4）, -D （- 3, 2）, T双曲线y7经过点D, k= 3 X 2= 6, BOC的面积=二| k| =3. 又AOB的面积6X 4=12, AOC的面积= AOB的面积- BOC的面积=12 3=9. 故选B. 【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数 k与其图象上的 点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S的关系，即 1 S= I k| . 二、填空题 13 .化简 J - 了 =0 【考点】二

13、次根式有意义的条件. 【分析】由1 -x0, x- 10,得出x-仁0,从而得出结果. 【解答】解：I 1 -x0, x- 1 0, x- 1=0, ： =. 【点评】二次根式的意义和性质.概念：式子.1 (a 0)叫二次根式.性质：二次根式 中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义. 14 .计算 当 m=5 时， =m2- 4 (2m - 1) =25- 4X 9v0，不合题意； 故 m= - 1，X1+X2=- 1，X1X2= - 3； ( X1 - X2)2= (X1+X2) 2 - 4x1X2=1+12=13. 【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式

14、等知识.本 题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的 m是否符合题意，以 免造成多解、错解. 21 .若把代数式x2 - 2x- 3化为(x- m) 2+k的形式，其中m, k为常数，则m+k= - 3. 【考点】完全平方公式. 【专题】配方法. 【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2- 2x-3=- 2x+1 - 4= (x- 1) 2- 4， 可知 m=1. k=- 4，贝U m+k=- 3. 【解答】解：T x2 - 2x- 3= - 2x+1 - 4= (x - 1) 2 - 4， 第13页(共18页) m=1, k= 4, m+k= 3. 故答案为：-3. 【点

15、评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键.完全平方公 式：（a b） 2=a2 2ab+b2. 22. 将打一根号外面的因式移进根号后等于須_. 【考点】二次根式的性质与化简. 【专题】计算题. 【分析】先根据二次根式定义得到av0,然后根据二次根式的性质把-a转化为:., 再利用乘法公式运算即可. 1 【解答】解：-丄0, a av 0, 故答案为-存却. 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：.0）为二次根式；/；上| =| a| ； ； J, =.r? . -.（a0, b0）等. 23. 若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数气抵0）的图象上.若

16、 正方形OABC的面积为1,则k的值为1 ;点E的坐标为（宁+匕亠二丄_ . 【考点】反比例函数系数k的几何意义. 【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上, 且正方形OABC的边长为1,得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式； （2）由于D点在反比例函数图象上，用 a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标, 第14页（共18页） 代入y二二(x 0)求得a的值，即可得出D点坐标. 【解答】解：正方形 OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且 正方形OABC的边长为1. B点坐标为：(1, 1), 设反比例函数的解析式为y= xy=

17、k=1, 设正方形ADEF的边长为a,贝U E (1+a, a), 代入反比例函数y= (x0)得：1= (1+a) a,又a0, 解得：a字-y. 点E的坐标为：( 考查了数形结合的思想, 【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用, 利用xy=k得出是解题关键. 【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幕. 【分析】本题涉及分数指数幕、负整数指数幕、乘方、二次根式化简四个考点.在计算 时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】原式=3+4 - 2 ；- 2+ . ： 1 =5 - 2 一 一；+2 - 2 =3. 【点评】本题考查实数的综合运

18、算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题 目的关键是理解分数指数幕的意义，熟练掌握负整数指数幕、零指数幕、二次根式、绝 对值等考点的运算. 25.用配方法解方程：2x2+1=3x. 【考点】解一元二次方程-配方法. 第15页(共18页) 【专题】计算题. 【分析】首先把方程的二次项系数变成1,然后等式的两边同时加上一次项系数的一半, 则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解. 【解答】解：移项，得2x2- 3x=- 1, 二次项系数化为1,得 配方- f1 3 由此可得 V二十 4 - 4 5 d 1 为二1，七 【点评】配方法是一种重要的数学方法，

19、是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握. 本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即 ax2+bx+c=0 (aM 0)的形式，然后再配方求解. 26已知 关于x的一元二次方程x2-( 2k+1) x+4k- 3=0. (1) 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 当RtA ABC的斜边长a=J ,且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时， 求厶ABC的周长. 【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理. 【专题】计算题. 【分析】(1)根据 0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数 根； (2)根据勾股定理及根与

20、系数的关系列出关于b, c的方程，解出b, c即可得出答案. 【解答】解：(1)关于x的一元二次方程x2-( 2k+1) x+4k - 3=0, = (2k+1) 2 -4 (4k- 3) =4k2- 12k+13=4： +4 0 恒成立， 故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)根据勾股定理得：b2+c2=a2=31 因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根， 第16页(共18页) 则 b+c=2k+1 ，bc=4k 3， 因为（b+c） 2 - 2bc=b2+c2=31, 即（2k+1） 2 -2 （4k - 3） =31, 整理得：4k2+4k+1 - 8k+6- 31=0,即卩 k2- k-6=0, 解得：ki=3, k2=- 2, v b+c=2k+1 0 即 k-丄.bc=4k- 30 即 k二， 24 k2=- 2 （舍去）， 则 b+c=2k+ 仁7, 又因为a=, 则厶ABC的周长=a+b+c=$打+7. 【点评】本题考查了根与系数的关