关于证券投资组合有效前沿的分析

1、关于证券投资组合有效前沿的分析贾晓东,( 东北大学工商管理学院,潘德惠辽宁 沈阳 110004)摘要: 针对m a rkw itz 证券组合投资理论进行了阐述即投资者进行决策时总希望用尽可能小的风险获得尽可能大的收益, 或在收益率一定的情况下, 尽可能降低风险. 首先详细的讨论了在投资于两种证券情况下 随着相关系数的变化而引起的投资组合有效前沿的不同情况, 而后针对投资于 n 种证券情况下综合分析了允许卖空条件下证券组合前沿的构成和性质.关键词: 证券组合模型; 卖空; 有效前沿; 最优策略; 预期收益证券投资组合前沿的定义有效边界是组合证券资产选择的重要基础.1根据m a rkw itz 创

2、立的现代证券投资组合理论1 , 理性的投资者应具有“非满足性”和“风险回避”两个特征, 即一定风险下的期望收益率最大化和一定收益下风险最小化. 在m a rkw itz 均值- 方差模型中, 对于每一个给定的收 益率水平, 得到的对应投资组合的方差 (或标准差) 比在同样收益水平的任何组合的方差 (或标准差) 要小, 称为有效前沿. 在均值- 方差坐标系中, 组合前沿是抛物线; 在标准差- 均值 坐标系中, 则是一条双曲线. 收益率高于最小方差组合所对应的收益率的组合, 位于组合前沿的上半部分, 被称为有效前沿. 为了说明有效边界的行状, 我们采取由特殊到一般的方 式, 由浅入深地来阐述这一问

3、题.2投资于两种证券情况下的证券投资组合前沿设有两种证券a 和b , 某投资者将一笔资金以 x a 的百分比投资于证券a , 以 x b 的百分比投资于证券 b , 且 x a + x b = 1, 这时我们称该投资者拥有一个证券组合 p.券 a 的收益率为 ra , 证券 b 的收益率为 rb , 则证券组合 p 的收益率为rp = x a ra + x b rb证券组合 p 的期望收益率和方差分别为:e ( rp ) = x a e ( ra ) + x b e ( rb )如果到期时, 证(1)2p = co v ( rp , rp ) = co v (x a ra + x b rb )

4、x b rb , x a ra= x 2 2 +x 2 2 +2x a x b co v ( ra , rb )2x a x b a b a ba ab b= x 2 2 +a a x 2 2 +(2)b b如果用两个数字特征期望收益率 r和标准差 来描述一种证券, 那么任意一种证券可以用期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示, 相应地任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定的一点来表示. 在投资于两种证券的简单情况下这一点将随着组合的权数的变化而变化, 其轨迹是经过 a 和 b的一条连续曲线,这条曲线称为证券 a 和证券 b的结合线.在两种证券情况下 x a +

5、 x b = 1 将这一条件代入 (1)、(2) 中得到e ( rp ) = x a e ( ra ) + (1 - x a ) e ( rb )(3)(4)2 2 2p = x a a + (1 - x ab + 2x a (1 -) 2 2x a ) a b a b当 a b = 1 时这时 (4) 变为2x a a + (1 - x a ) b + 2x a (1 - x a ) a b =2 22 2(x a a+ (1 -x a ) b )2(5)(6)p =p =| x a a +(1 -x a ) b | = x a a+ (1 -x a ) b这时连接 a 、b的轨迹曲线如图

6、1.b- a当 p = 0 时 x a = , x b =将 x a , -b - ab ax b 代入 e ( rp ) = x a e ( ra ) + (1- x a ) e ( rb ) 中得到b e ( ra ) - a e ( rb )e ( rp ) =. 因此在图 1 中无风 -bab e ( ra ) - a e ( rb )险的组合坐标为 c 0,.b - a图 1a b = 1 时的投资组合线当 a b = - 1 时 (4) 变为22 22 22x a a + (1 - x a ) b -2x a (1 -x a ) a b = (x a a -(1 - x a ) b

7、 )(7)p = b x a a-(1 -x a ) b x a 1a + bp =| x a a -(1 -x a ) b | = b (1 -x a ) b - x a a0 x a + ab这时连接 a 、b 的轨迹曲线如图 2. b a 当 p = 0 时 x a = + ,x b =, 将 x a ,b + ab ax b 代入 e ( rp ) = x a e ( ra ) +(1-x a ) e ( rb ) 中得到b e ( ra ) + a e ( rb )e ( rp ) =+ba这时 (4) 变为当 a 、b 完全不相关时 a b = 0,2 2 22 2p = x a

8、a + (1 -x a ) b(8)图 2a b = -1 时的投资组合线这时方程所确定的轨迹曲线是一条经过 a 、b 的双曲线如图 3.(2 -a a ba b a b )当 a b 时, 这点就是 s 1. 当 a b 时它是对应 x 1 =的点 c 1.在这(2 -ba2a b a b )b种情况下, 整个可行集被 c 1 分成两段, 一段从 s 2 到 c 1 , 另一段从 c 1 到 s 1.容易看出, 对于s 1c 1 上任意一点 a (对应某一组合) , 必有 c 1s 2 上一点 a 风险与 a 相同, 而期望收益率较大, 因此a 优于a . 从投资者的角度看, 只需考虑 c

9、1s 2 上的点, 不必考虑 s 1c 1 上的点.所以把曲线段 c 1s 2 作为证券 s 1 和 s 2 的有效前沿, 有效前沿是可行集的一个子集, 投资的最优组合必定在有效前沿上.若把我们研究的问题由投资于两种证券拓展到投资于三种证券. 那么我们令 x a + x b + x c = 1, 由 概率论可知, 投资组合收益率期望值为e ( rp ) = x a e ( r) + x b e ( rb ) + x c e ( rc )= x a e ( ra ) + x b e ( rb ) + (1- x a - x b ) e ( rc )= x a (e ( ra ) - e ( rc

10、 ) ) + x b (e ( rb )-e ( rc ) ) + e ( rc )图 3a b = 0 时的投资组合线其方差为2 2 22 22 2p = x a a + x b b +x c c +2x a x b co v ( ra , rb ) + 2x a x c co v ( ra , rc ) + 2x b x c co v ( rb , rc )= x 2 2 +x 2 2 +x b ) 2 2 +(1 -c2x a x b co v ( ra , rb )x aa ab b+ 2x a (1 - x a - x b ) co v ( ra , rc ) + 2x b (1 -

11、 x a - x b ) co v ( rb , rc )= x 2 (2 -a a 2co v ( ra , rc ) +b ( b2c )x 22 - 2co v ( rb , rc ) +2c )2+ 2x a x b (co v ( ra , rb ) - co v ( ra , rc ) - co v ( rb , rc ) -c )+ 2x a (co v ( ra , rc ) -2c )()2c )2+2x b co v rb , rc -+c投资于 n 种证券情况下的证券投资组合前沿设一证券组合具有 n 种证券, 其收益率分别为 r1 , r2 rn , 用向量表 r= (

12、r1 , r2rn ) t , 期3r n ) t 反映了各种证券的期望收益率, 方差 2 = d ( ri ) 反映了第 i 种望值向量 r = (r 1 , r 2 ,i证券的风险, 协方差 i j = j i = co v ( ri , rj ) 表示第 i 种证券与第 j 种证券收益率的相关程度n ) , v = ( ij ) 为 r 的协方差阵. x = (x 1 , x 2 x n ) t 表示组合证券投资百分比向( i, j =1、2量, 满足 et x = 1, 而 en =(1, 11) t 为元素全为 1 的 n 维列向量. 组合证券投资的平均收益n率为 u = rt xx

13、 i ri. 则投资组合的期望收益率 r 0 = r t x ,=投资组合的风险大小由 ( 方差) 2 = d (u ) =x ix j ij =x tv x 来表示.在允许卖空条件下,m a rkow itz 证券组合投资模型为模型 (a )m in 2 ) =x tv x(uetn x = 1s. tr t x =r 0由文献2 给出了模型 (a ) 的最优解如下:r t- 1r 01x 3v - 1 (r , en )v - 1 (r , en )(9)=etnr tr 0c- a-ab1 . 其中 a = etv r ,b= r tv r , c= etv en ,令 a =, b =

14、,h =dnnetd1n= bc- a 2. 从而边界函数为f ( r) =22c r - 2a r + b = 1 ca2 =r -+ddcc其表示的是以 r= a 为对称轴的抛物线方程其图像如图 4.ca , 1根据 m a rkow itz1其顶点坐标为 p的c c定义, 若一个证券组合是有效的那么它必须满足两个条件.1) 具有相同期望收益率的证券组合中它的方 差最小.2) 在具有相同方差的证券组合中它的期望收 益率最大.a 时也就是抛物线对称轴的右在图 4 中当 r 图 4 在均值- 方差坐标系中 n 种证券时的投资组合有效边界c侧可以同时满足这两个约束条件, 因此我们认为抛物线的右半

15、枝为投资组合的有效前沿, 而左半枝为非有效前沿3 .2c r -2a r+ b整理成标准差- 均值坐标系中的方程形式为若将 f ( r) = 2 =d2ar -2c-= 1,1dc2c在标准差- 均值坐标系中是一条双曲线, 它的中aa d .心坐标为 0, 渐近线为 r =点ccc 1 a,q是所有资产组合中方差最小的, 故cc称之为最小风险资产组合的资产组合边界部分通常称之为有效组合边界.至于具体求解问题上我们可以利用很多方法来 确定投资组合的权重, 目前关于投资组合权重的计 算方法已经提出了多种算法, 比如临界线算法2, 5 , 参数二次规划方法6 , 树形算法7 , 以及线性规划方法8

16、. 由于篇幅有限这里就不于求解计算了.图 5 在标准差-均值坐标系中 n 种证券时的投资组合有效边界参考文献:123456m a rkow itz h. po r tfo lio se lec t io n m . b a sil b lack w e ll c am b r idge m a ssach u sse t s, 1991.唐小我. 经济预测与决策新方法及其应用m . 成都: 电子科技大学出版社, 1997.黄奇辅, 浦谷规. 静态证券组合理论与 ca pm 2金融理论及其应用 ( ) j . 应用数学, 1993, ( 4).于维生.组合证券投资的有效边界j .数理统计与管理,

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19、 u sine ss a dm in ist ra t io n, n o r th ea ste rn u n ive r sity, sh enyang 110004, c h ina)a bstrac t:t h e m a rkw itz po r tfo lio m o de l is se t fo r th in th is th e sis. t h a t is, w h en th e in2ve sto r s a re m ak ing dec isio n, th ey a lw ay s hop e to o b ta in m ax im ize y ie ld in stead o f m in im ize ven2 tu re, w e a lso say th a t th e inve sto r s o f ten do th