双曲线的几何性质

1、 222 bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|） 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y y xo F2F1 M x y F2 F1 M 复习回顾：复习回顾： o Y X 标准 方 程 范 围 对称性 顶点 焦 点 对称轴 离心率 准 线 关于关于X,Y轴轴, 原点对称原点对称 (a,0),(0,b) (c,0) A1A2 ; B1B2 a c e |x| a,|y|b 1 2 2 2 2 b y a x F1F2 A1 A2 B2 B1 椭圆的图像与性质椭圆的图像与性质 范围、对称性、顶点、离心率范围、对称性、顶点、离心率.

2、. 渐近线渐近线 类比椭圆类比椭圆, ,探讨双曲线探讨双曲线 的几何性质的几何性质: : )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。 2、对称性、对称性 一、探究双曲线一、探究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1、范围、范围 以以-x代代x方程方程不变不变，故图像关于，故图像关于 轴对称；轴对称； 1 2 2 a x x y o -aa (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 3、

3、顶点、顶点(与对称轴的交点与对称轴的交点) 以以-y代代y方程方程不变不变，故图像关于，故图像关于 轴对称；轴对称；。 以以-x代代x且以且以-y代代y方程不变，故图像关于方程不变，故图像关于 对称对称 y x 原点原点 22 ax 即 axax或 )0 ,()0 ,( 21 aAaA、 1 A 2 A 3、顶点、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点 x y o -b 1 B 2 B b 1 A 2 A -aa )0 ,()0 ,( 21 aAaA、顶点是 如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线 的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a

4、叫做叫做 实半轴长；实半轴长； 线段线段 叫做双曲线的虚轴，叫做双曲线的虚轴， 它的长为它的长为2b,b叫做双曲线的叫做双曲线的 虚半轴长虚半轴长 2 A 1 A 2 B 1 B （2） 实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的双曲线 叫叫等轴双曲线等轴双曲线 （3） )0( 22 mmyx 渐近线渐近线4 722 .图图 1 A 2 A O 1 F 2 F 2 B 1 B x y . . , , , 0 722 21 21 b y a x by xBBax yAA 直线的方程是直线的方程是 所在的所在的矩形的两条对角线矩形的两条对角线 图图线围成一个矩形线围成一个矩形 四条直四条直轴的平行线轴

5、的平行线 作作经过经过行线行线 轴的平轴的平作作经过经过如图如图 我们把这两条直线叫做我们把这两条直线叫做条直线逐渐接近条直线逐渐接近, .双曲线的渐近线双曲线的渐近线 双曲线与它的双曲线与它的也就是说也就是说, .,但永远不相交但永远不相交渐近线无限接近渐近线无限接近 到由几何画板实验可以看 与这两的各支向远处延伸时双曲线,1 2 2 2 2 b y a x 4、渐近线、渐近线 x a b y 1 A 2 A 1 B 2 B x y o a b 思考思考（1）双曲线）双曲线 的渐近线方程是？的渐近线方程是？ 1 2 2 2 2 b y a x 渐进线方程渐进线方程 可由双曲线可由双曲线 方程

6、怎样得方程怎样得 到？到？ b a b k a b k (a,b) 令令 中的中的 1 为为 0, 得得 0 再化简所得的直线方程再化简所得的直线方程. 22 22 1 xy ab 求法求法: 名师点睛名师点睛 4、渐近线、渐近线 1 A 2 A 1 B 2 B x y o a b （3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 （2）等轴双曲线的渐近线）等轴双曲线的渐近线 方程是什么？方程是什么？ xy b a b k a b k (a,b) 画矩形画矩形画渐进线画渐进线画双曲线的草图画双曲线的草图 【例例2】 题型题型二二根据双曲线的几何性质求标准方程根

7、据双曲线的几何性质求标准方程 【变式变式2】 离心率离心率5 . ,. , 1 0 a c e ac a c 曲线的离心率曲线的离心率 所以双所以双因为因为叫做叫做 的比的比双曲线的焦距与实轴长双曲线的焦距与实轴长与椭圆类似与椭圆类似 双曲线的离心率双曲线的离心率 ? , 线的什么几何特征线的什么几何特征曲线的离心率刻画双曲曲线的离心率刻画双曲 双双扁平程度扁平程度离心率可以刻画椭圆的离心率可以刻画椭圆的思考思考 5、离心率、离心率 e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开 口越大 2 2 2 a c e 2 22 a ba 2 2 1 a b 等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ? 2

8、 的双曲线是等轴双曲线离心率2e 名师点睛名师点睛 | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|） 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y y xo F 2 F 1 M x y F2 F1 M (0) bxy yx aab 1 c e a (0,a) (0, a)(a, 0) (a, 0) xa或或xaya或或ya 关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心） y= x ( = 0) 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 自学导引自学导引

9、标准方程标准方程 ( (a a0 0，b b0)0) (a0，b0) 图形图形 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 性性 质质 焦点焦点 _ 焦距焦距 _ 范围范围 |x|a，yR|y|a，xR 对称性对称性 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 顶点顶点 _ 轴长轴长 实轴长实轴长_，虚轴长，虚轴长_ 离心率离心率 e_(e1) 渐近线渐近线 _ 续表续表 F1(c，0)、F2(c，0)F1(0，c)、F2(0，c) |F1F2|2c A1(a，0)、A2(a，0) A1(0，a)、A2(0，a) 2a 2b 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、

10、原点对称 图形图形 方程方程 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 y x O A2 B2 A1 B1 . F1F2 y B2 A1A2 B1 x O . F2F1 )0( 1ba b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 bybaxa A1（- a，0），），A2（a，0） B1（0，-b），），B2（0，b） ) 10( e a c e F1(-c,0) F2(c,0) F1(-c,0)F2(c,0) ),b(a b y a x 00 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Ryaxax， 或或 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 A1（- a，0），），A2（a，0

11、） ) 1( e a c e 渐进线渐进线 无无 x a b y 例例3： 1、双曲线、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长的实半轴长 等于等于 虚半轴长等于虚半轴长等于 顶点坐顶点坐 标是标是 渐近线方是渐近线方是 . 离心率离心率e= 。 4 3 0 , 4 xy 4 3 1 916 22 yx )0 34 ( yx 或 4 5 2、离心率、离心率e= 是双曲线为等轴双曲线的是双曲线为等轴双曲线的 条件条件 。（用。（用“充分条件充分条件”“”“必要必要 条件条件”“”“充要条件充要条件”填空。）填空。） 2 充要充要 课本 61页 练习 1（1）（3） 课本 61页 练习 2 .

12、) ( , ., , , ). ( , m mm m m 1 5525 13 12 1822 4 到到 精确精确此双曲线方程此双曲线方程 求出求出适当的坐标系适当的坐标系 试选择试选择高高为为 下口半径下口半径径为径为 上口半上口半为为径径半半 它的最小它的最小 图图旋转所成的曲面旋转所成的曲面 虚轴虚轴其其部分绕部分绕的一的一 是双曲线是双曲线塔的外形塔的外形 双曲线型冷却双曲线型冷却例例 822 1 .图图 AA BB CC x y 822 2 .图图 13 12 25 O .| ,| , ,. , , ,. 225213 2822 BBCC xBBCC xAA xOy 且轴都平行于 上、

13、下口的直径这时重合 圆心与原点轴上在径 使小圆的直角坐标系 建立直如图解 ,001 2 2 2 2 ba b y a x 设双曲线的方程为 .,5525 yB的坐标为则点 , yC13的坐标为令点 所以在双曲线上因为点,CB AA BB CC x y 822 2 .图图 13 12 25 O 21 12 13 11 55 12 25 2 2 2 2 2 2 2 2 . , b y b y ,负值舍去得由方程 12 5 2 b y . , 2501815027519 1 55 12 5 12 25 1 2 2 2 2 2 bbb b b 用计算器解得 化简得得代入方程 .,1 625144 22

14、 yx 所求双曲线的方程为所以 解：解： x y l l . FO . M 的距离，则到直线是点设lMd 由题意知 4 5| d MF d . 4 5 | 5 16 | )5( 22 x yx 即 两边平方，并化简得： .144169 22 yx .68的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点M . 例例5 5、点、点M M（x x，y y）与定点）与定点F F（5 5，0 0）的距离和它到）的距离和它到 定直线定直线 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M 的轨迹。的轨迹。 5 16 :xl 4 5 . 1 916 22 yx 即 双曲线的第二定义：双曲线的第二定义： .) 1(

15、曲线，则这个点的轨迹是双是常数 的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点 e a c e lFM .是双曲线的离心率准线，常数 定直线叫做双曲线的定点是双曲线的焦点， e .)0( 1 2 2 2 2 2 2 c a xcF b y a x ，对应的右准线方程是，右焦点 ，对于双曲线 .)0( 2 1 c a xcF对应的左准线方程是，左焦点 c a yy 2 程是：轴上的双曲线的准线方焦点在 yl l . FF O M d. x 课本 61页 练习 3 课本 61页 练习 4 例例6：如图所示，过双曲线：如图所示，过双曲线 的右焦点的右焦点F2,倾斜角为倾斜角为 30的直线交双曲线于的

16、直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB| 22 1 36 xy F1F2x y O A B 法一法一: :设直线设直线ABAB的方程为的方程为 3 (3) 3 yx 与双曲线方程联立得与双曲线方程联立得A、B的坐标为的坐标为 92 3 ( 3, 2 3),( ,) 55 由两点间的距离公式得|AB|= 16 3 5 例例6：如图所示，过双曲线：如图所示，过双曲线 的右焦点的右焦点F2,倾斜角为倾斜角为 30的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB| 22 1 36 xy F1F2x y O A B 法二法二: :设直线设直线ABAB的方程为的方程为 3 (3) 3 yx

17、 与双曲线方程联立消与双曲线方程联立消y得得5x2+6x-27=0 由两点间的距离公式得由两点间的距离公式得 2222 12121212 2 1212 1 |()()()() 3 2316 ()43 35 ABxxyyxxxx xxxx 设设A、B的坐标为的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则则 1212 627 , 55 xxxx * 1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍， 则m的值为 () A B4 C4 D. 解析由双曲线方程mx2y21，知m0，则双曲 线方程可化为 ，则a21， a1，又虚轴长是实轴长的2倍，b2， ，m ，故选A. 答案A 4 1 4 1 1 1 2 2

18、 m x y 4 1 2 b m 4 1 2双曲线3x2y23的渐近线方程是 () Ay3x By x Cy x Dy x 解析令 ，则y x. 答案C 3 1 3 3 3 0 3 2 2 y x3 3已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)， 离心率为的双曲线的标准方程为 () A. B. C. D 解析由离心率为 ， e2 ，即ab， 双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为 x2y2(0)，又点P(1，3) 在双曲线上，则198， 所求双曲线的标准方程为 .故选D. 答案D 1 44 22 yx 1 44 22 xy 1 88 22 yx 1 88 22 xy 2 21 2 2 2 22 2 2 a b a ba a c 1 88 22 xy 4与双曲线 有共同的渐近线，且过点 (2，2)的双曲线的标准方程是_ 解析依题意设双曲线的方程 x2 (0)， 将点(2，2)代入求得3， 所以所求双曲线的标准方程为 . 答案 1 4 2 2 y x 4 2 y 1 123 22 yx 1 123 22 yx 名师点睛名师点