圆与圆的位置关系

1、4.2.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 一两圆的位置关系一两圆的位置关系 平面上两圆的位置关系有五种：平面上两圆的位置关系有五种： （1）两圆外离：两圆没有公共点；）两圆外离：两圆没有公共点； （2）两圆外切：两圆有且仅有一个公共点）两圆外切：两圆有且仅有一个公共点; （3）两圆相交：两圆有两个公共点；）两圆相交：两圆有两个公共点； （4）两圆内切：两圆有一个公共点；）两圆内切：两圆有一个公共点； （5）两圆内含：两圆没有公共点）两圆内含：两圆没有公共点. r2 r1 O2 O1 r2 r1 O2 O1 ? r 2 ? r 1 ? O 2 ? O 1 r2r1 O2 O1 r2r1 O2

2、 O1 外离外离 外切外切 相交相交 内切内切 内含内含 二二. 两圆位置关系的判断两圆位置关系的判断 已知圆已知圆C1：(xa)2+(yb)2=r12与圆与圆C2： (xc)2+(yd)2=r22，它们的位置关系有两，它们的位置关系有两 种判断方法：种判断方法： （1）平面几何法判断圆与圆的位置关系）平面几何法判断圆与圆的位置关系 公式：公式： 第一步：计算两圆的半径第一步：计算两圆的半径r1，r2； 第二步：计算两圆的圆心距第二步：计算两圆的圆心距d； 第三步：根据第三步：根据d与与r1，r2之间的关系，判断之间的关系，判断 两圆的位置关系两圆的位置关系 两圆外离：两圆外离：r1+r2d；

3、 两圆外切：两圆外切：r1+r2=d； 两圆相交：两圆相交：|r1r2|dd. （2）代数法判断圆与圆的位置关系：）代数法判断圆与圆的位置关系： 将两个圆方程联立，消去其中的一个未将两个圆方程联立，消去其中的一个未 知数知数y或或x，得关于，得关于x或或y的一元二次方程的一元二次方程. 若方程中若方程中0，则两圆，则两圆相交相交；若方程中；若方程中 =0，则两圆，则两圆相切相切；若方程中；若方程中0，两圆，两圆 外离或内含外离或内含.（此方法仅用于判断两个圆的（此方法仅用于判断两个圆的 位置关系，不适用于其他的二次曲线的位位置关系，不适用于其他的二次曲线的位 置关系的判断问题）置关系的判断问题

4、） 解：（解：（1）两圆的方程分别变形为）两圆的方程分别变形为 (x1)2+y2=4，(x2)2+(y+1)2=2 . 所以两个圆心的坐标分别为所以两个圆心的坐标分别为(1，0)和和(2， 1)，两圆的圆心距，两圆的圆心距d=|C1C2|= ， 2 例例1. 判断下列两圆的位置关系：判断下列两圆的位置关系： （1）x2+y22x3=0和和x2+y24x+2y+3 =0; （2）x2+y22y=0和和x2+y22 x6=0. 3 由由|r1r2|=2 ，r1+r2=2+ ， 因为因为2 2+ ， 所以这两个圆相交。所以这两个圆相交。 222 22 （2）x2+y22y=0和和x2+y22 x6=

5、0. 3 （2）两圆的方程分别变形为两圆的方程分别变形为 x2+(y1)2=12，(x )2+y2=32.3 所以两圆内切。所以两圆内切。 由由|r1r2|=2， 所以两个圆心的坐标分别为所以两个圆心的坐标分别为(0，1)和和 ( ，0)， 3 两圆的圆心距两圆的圆心距d=|C1C2|=2， 例例2已知圆已知圆C1：x2+y210 x10y=0和圆和圆 C2：x2+y2+6x+2y40=0 相交于相交于A、B两两 点，求公共弦点，求公共弦AB的长的长. 解法一：由两圆的方程解法一：由两圆的方程相减相减，消去二次项，消去二次项 得到一个二元一次方程，此方程即为公共得到一个二元一次方程，此方程即为

6、公共 弦弦AB所在的直线方程，所在的直线方程，4x+3y=10. 由由 22 4310 10100 xy xyxy 解得解得 2 6 x y 或或 4 2 x y 所以两点的坐标是所以两点的坐标是A(2，6)、B(4，2) 故故|AB|= 22 6810 圆圆C1的圆心的圆心C1(5，5 )，半径，半径r1=5，2 则则|C1D|= |20 15 10| 5 5 所以所以AB=2|AD|= 22 11 210C AC D 解法二：同解法一，先求出公共弦所在直解法二：同解法一，先求出公共弦所在直 线的方程：线的方程：4x+3y=10. 过过C1作作C1DAB于于D. 例例3已知圆已知圆C1：x2

7、+y22mx+m2=4和圆和圆C2： x2+y2+2x4my=84m2相交，求实数相交，求实数m的的 取值范围取值范围. 解：由题意得解：由题意得C1(m，0)，C2(1，2m)， r1=2，r2=3， 而两圆相交，有而两圆相交，有|r1r2|C1C2|r1+r2， 即即1(m+1)2+4m20)，若，若MN=N，则，则r的的 取值范围是（取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） (0,21) (0,1 (0,22(0,2 C 4两圆两圆x2+y2=r2与与(x3)2+(y+1)2=r2外切，外切， 则则r是（是（ ） （A） （B） （C） （D）5 10 10 2 5 B 5半径为半径为6的圆与的圆与x轴相切，且与圆轴相切，且与圆x2+(y 3)2=1内切，则此圆的方程是（内切，则此圆的方程是（ ） （A）(x4)2+(y6)2=6 （B）(x4)2+(y6)2=6 （C）(x4)2+(y6)2=36 （D）(x4)2+(y6)2=36 D 6