圆的一般方程

1、 问题探究问题探究 1. (x-8)2+(y+3)2=5 2. x2+y2-16x+6y+48=0 3. x2-6x+y2+10y-2=0 4. x2-6x+y2+10y+40=0 5. 2x2-6x+3y2+10y-2=0 上面方程是否表示一个图形，上面方程是否表示一个图形， 如果表示图形如果表示图形,说出它表示什么图形？说出它表示什么图形？ 圆的标准方程: (x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 二元二次方程二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 展开 x2+y2-2ax-2by+ a2+b2-r2 =0 ？ 二元二次方程二元二次方程x2+y2+Dx+E

2、y+F=0 可化为可化为 D2+E2-4F 2 （1）当0时，表示圆心为（圆心为（-D/2，-E/2） 半径为半径为的圆 D2+E2-4F （2）当0，表示点（表示点（-D/2，-E/2） D2+E2-4F （3）当0，不表示任何图形表示任何图形 D2+E2-4F 问题探究问题探究 二元二次方程二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 怎样才表示一个圆呢怎样才表示一个圆呢? (1)x2和和y2的系数相同，且不等于零，的系数相同，且不等于零， (2)没有没有xy项，即项，即B=0； (3)D2+E2-4F0 圆的一般方程圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)x2+y2+

3、8y=0 (2) x2+y2-4x+3=0 (3) x2+y2+6x-2y-15=0 (4) x2+y2+2by=0 1、求出下列圆的圆心和半径：、求出下列圆的圆心和半径： 例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 的圆的半径和圆心坐标的圆的半径和圆心坐标 解法一 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由O、A、B在圆上，则有 解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0 圆心坐标为(4,-3),半径r=5 例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 的圆的半径和圆心坐标的圆的半径和圆心坐标 解法二 设所求圆的方程为(x-a

4、)2+(y-b)2=r2, 则有由O、A、B在圆上，则有 222 222 222 a (1-a) +(1-b) =r (4-a) +(2-b) =r br 故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25 (3)解方程组，求出解方程组，求出a、b、r或或D、E、F的值，的值， 代入所设方程，就得要求的方程代入所设方程，就得要求的方程 1用待定系数法求圆的方程的步骤：用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于根据条件列出关于a、b、r或或D、E、F的方程；的方程； 方法小结方法小结 小结小结 (2

5、)如果已知条件和圆心坐标或半径都无直如果已知条件和圆心坐标或半径都无直 接关系，往往设圆的一般方程接关系，往往设圆的一般方程 2关于何时设圆的标准方程，何时设一般方程关于何时设圆的标准方程，何时设一般方程 (1)如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径 或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题， 往往设圆的标准方程；往往设圆的标准方程； 例例4.某拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度某拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是是36m，拱高，拱高OP是是6m，在建造时，每隔，在建造时，每隔3m需要需要 用一个支柱支撑，求支柱用一个支柱支撑，求支柱A2，B2的长（精确到的长（精确到0.01m） 解答 B x y P 0 A A2 3用待定系数法，导出圆的