一种新型5自由度并联机构刚度分析

1、一种新型 5 自由度并联机构刚度分析耿明超 1，张灿果 1，2，路 懿 2，王 烁 1 （ 1.河北 建筑工程学院 机械工程学院， 河北 张家口 075000；2.燕山 大学 河北省并联机器人与机电系统实验室，河北 秦皇岛 066004） 摘 要：提出了一种新型含平面分支的少自由度并 联机构。建立了该并联机构的虚拟样机模型，并分析了机构 的自由度及结构特点。通过对平面闭环分支及约束分支的速 度解析，推导了机构的 6X6的雅克比矩阵。综合考虑了平 面分支中上、 下横梁的弹性变形及 SPR 分支中约束力作用下 的弹性变形对并联机构刚度的影响，建立了该机构的整体刚 度矩阵。将理论解析解与软件 Sol

2、idworks Simulation 的仿真 结果对比，验证了所建刚度模型的正确性，为含平面分支少 自由度并联机构的开发和应用提供了理论基础。关键词：少自由度；并联机构；运动学；刚度；平面分支1 引言 同6 自由度并联机构相比，少自由度并联机构具有结构相对简 单、控制容易、成本低等优点 1 。含平面分支少自由度并联 机构在结构设计，刚度等方面更加具有优势，在机械制造、 医疗器械、航空航天等领域有着广泛的应用前景。静刚度是 并联机构的重要性能指标之一，也是目前国内外学者研究的 热点。文献 2建立了 2PRS-2UPS 四自由度并联机构的静刚 度矩阵模型，并分析了其最大和最小刚度所在的方向。文献3

3、 对几种三自由度的并联机构的刚度性能作了对比分析。 文 献4 在研究并联机构静刚模型的基础上， 提出了一种建立少 自由度并联机构刚度模型的新方法。文献5 对一类特殊的3-UPU 并联机构的静刚度作了分析研究。 文献 6基于螺旋理 论建立了一种过约束少自由度并联机构的刚度模型。 文献 7 考虑机构中各支链的驱动力和约束反力，建立了SPS+SP+SPR机构的刚度模型。文献8基于刚度守恒矩阵， 对机构的静刚度矩阵进行了分析和求解。 由于平面分之中 存在着横梁，传统的刚度建模方案仅考虑了驱动分支弹性变 形对并联机构刚度的影响，而未考虑横梁的变形，而横梁的 变形对少自由度并联机构刚度的影响达到了不可忽视

4、的程 度。首先提出了一种新型含平面分支的 5 自由度并联机构， 建立了该并联机构的雅克比矩阵。基于虚功原理，推导了并 联机构的静力学方程。综合考虑平面分支中驱动分支、上横 梁和下横梁的变形，及SPR分支中约束力作用下驱动杆的弯 曲变形，建立了该并联机构的整体刚度模型。 2 含平面分 支 5 自由度并联机构描述 含平面分支的 5 自由度并联机构 三维模型，如图 1 所示。该并联机构由动平台、基座，连接 基座和动平台的 2 个结构完全相同的平面六杆闭环支链和一 个 SPR 支链组成。 平面六杆闭环支链由两个油缸、 两个活塞 杆、一个上横梁和一个下横梁组成；油缸、活塞杆组成的驱 动杆和上、下横梁用四

5、个轴线相互平行的转动副联接。平面 分支的下横梁和基座通过转动副连接，转动副的轴线和基座 的上平面平行。上横梁通过动柱和动平台联接，动柱和动平 台通过转动副联接，转动副的轴线和动平台上平面垂直；动 柱和平面分支也通过转动副进行联接，转动副的轴线和动平 台的上平面平行。 SPR 分支以球副和基座联结，以转动副和 动平台联结，转动副的轴线和动平台上平面平行。 图 1 含 平面分支的 5 自由度并联机构三维模型Fig.1 3D Model of 5-DOF Parallel Manipulator with PlaneBranch 此并联机构中，构件数目为 18 个，运动副数目为 21 个，包括 5个

6、移动副， 15 个转动副， 1个球副。该机构含有 2 个平面六杆闭环支链， 每个平面闭环支链含有 3 个过约束。 根据修正的自由度计算公式计算得到该机构的自由度为5。提出的含平面闭环的机构具有以下优点： （ 1）平面分支中只 含有转动副和移动福，结构简单、制造容易。 （ 2）平面分支 中驱动杆两端的四个转动副轴线是相互平行的，可以避免驱 动杆承受弯矩，增大了机构的承载能力。 （ 3）平面分支中的 转动副和球副相比具有承载能力强、装配间隙小、转动角度 范围大等优点。同时，SPR分支与RPS分支相比，有效地增 大了并联机构的工作空间。相同条件下，该机构具有更大的 承载力、更大的刚度，更大的工作空间

7、。 3 并联机构运动 学分析 3.1 平面闭环分支的速度解析 含平面分支 5 自由度 并联机构的分析框图，如图 2所示。设v、3分别为动平台坐标系0的线速度、角速度；vbi、3 bi分别为动平台端点 bi的速度和角速度；vbij为平面分支中bij点的线速度；3 rij 为驱动杆 rij 的角速度， 3 ri 为虚拟分支 ri 的角速度， ei 和 eij 分别表示向量 bi0 和 bibij ； rij 为第 i 个平面分支中第 j 个 驱动杆的向量，$ i1和Ri1分别为动柱相对于动平台转动角 速度大小和方向；$ i2和Ri2分别为上横梁相对于动柱转动 角速度大小和方向， 3 i1 和 Ri

8、1 分别为下横梁相对于基座转 动的角速度大小和方向； 3 i2 和 Ri2 分别为虚拟杆相对于下 横梁转动的角速度大小和方向； 3 i3 和 Ri3 分别为上横梁相 对于虚拟杆转动的角速度大小和方向。根据各构件之间的相 互运动关系得：式中： vrij 平面分支中驱动杆 rij 的速度的 大小；8 ij 平面分支中驱动杆rij的单位向量，推导可得：式中： V=v； 3 动平台速度的 6 维列向量形式； Jij 动平台速 度 V 到平面分支中驱动杆速度 vrij 的映射矩阵， 为1X 6。由 于篇幅有限，映射矩阵 Jij具体的推导过程可参 考文献 9，这 里不再详述。 图 2 并联机构的分析框图

9、Fig.2 Analysis Diagram 0f Parallel Manipulat0r 3.2 约束分支 SPR的速度解析 设vr3为SPR分支驱动速度的大小，8 3为 SPR 分支的单位向量，则： 在 SPR 分支中，存在过球 副中心且和R副轴线平行的约束力，此约束力对SPR分支的 运动作功为0。设Fy为SPR分支中约束力的大小，f3为约 束力的单位方向矢量， d3 为动平台原点到约束力的矢距， 根据虚功原理得 Fyf3 v+ （Fyf3 X d3） w =0，将其进一步表 示成矩阵形式： 将公式、和式合并起来，得到此并联机构 的速度解析方程：J即为含平面分支5自由度并联机构的雅克比矩

10、阵。 4 并联机构刚度分析 4.1 平面分支的弹性变 形 并联机构的平面分支中，当动平台中心受到外部载荷时， 驱动杆只承受沿驱动杆方向的作用力，故在驱动杆上只会产 生沿驱动杆方向的变形 入ij （入ij沿着rij ）o设kij为平面分 支中驱动杆的刚度系数，入ij为平面分支中驱动杆的变形，则有： 式中：ki ）；E材料的弹性模量；Aij1 活塞杆件 的 横截面积；Aij2 油缸的横截面积；rijl 活塞杆的长度。平面分支中，下横梁通过转动副和基座联接。下横梁的中心和 基座之间不发生位移，故可将下横梁等效为两个悬臂梁，如 图3所示。假定分支驱动力与下横梁垂直方向的夹角为a ij,则驱动力 Fij

11、（ i=1 ， 2； j=1 ， 2）在水平方向的分力为 Fls=Fijsin a，在竖直方向的分力为Flc=Fijcos a ij。下横梁在两个分力的作用下，分别产生拉压变形8 ls=Fls/kl，弯曲变形8lc=FlcD3l/3EII 式中：kl 下横梁抗拉压刚度系数；Dl 下横梁长度的1/2 ； Il 下横梁的抗弯截面系数。下横梁端部由 于驱动力 Fij 作用而产生的总变形为 图 3 下横梁受力分析 图Fig.3 Force Analysis Diagram of Lower Beam 同理，假定分支 驱动力和上横梁垂直方向的夹角为 e ij，则驱动力在水平方向的分力为 Fus=Fijs

12、in e ij，在竖直方向的分力为Fuc=Fijcos0 ij。上横梁端部的拉压变形 8 us=Fus/ku ,弯曲变形8 us=Fus D3/3EI。式中：k上横梁抗拉压刚度系数；A 上横梁的横截uuuu面积；Du 上横梁长度的1/2; Iu 上横梁的抗弯截 面系数。上横梁端部由于驱动力 Fij 作用而产生的变形合成 为 uij= 驱动杆的实际变形为驱动杆的弹性变形和横梁端部 变形的叠加。驱动杆的当量柔度表示为入j=入ij+wij+uij=c ijFij , c ij=ij 4.2 SPR 分支的弹性变形SPR分支中， Fr3 为驱动杆的驱动力， kr3 为驱动杆的刚度系数， 设8 r3 为

13、在驱动力的作用下驱动杆的弹性变形， 则： 式中： Ar31 分支中活塞杆的横截面积；Ar32 油缸的横截面积；r r31 活塞杆的长度；rr3 分支杆件的长度。在约束力Fy的作用下，SPR分支的弯曲变形，如图 4所示。设8 d为在 约束力的作用下驱动杆产生的变形，贝式中：ky分支 的抗弯曲刚度；Ir3 分支的抗弯截面系数。图4 SPR分支约束力变形示意图Fig.4 Deformation Diagram of SPR Limb Caused byConstrained Force 4.3 并联机构的刚度模型 将式、式和式合 并写成矩阵形式：其中，Fr =： F11F12F21F22Fr3Fy:

14、 为关节力， 令并联机构动平台所受的力、 力矩载荷分别为Fs、Ts； 8 p、8书分别为载荷作用下动平台弹性变形的线位移和 角位移。有微分运动关系及力雅可比矩阵的定义，式可以进 一步表示为： 式中： K=JTKpJ 即为该含平面分支的 5 自由 度并联机构的整体刚度矩阵。 5 数值算例 给定含平面分支5 自由度并联机构的结构参数如下：基座等边三角形边长 L=240mm ，动平台等边三角形边长 l=120mm ；圆柱形上横梁 长度 2Du=50mm ，直径 du=16mm ；矩形截面下横梁长度 2DI=80mm，高度h=20 mm，宽度b=20 mm ;活塞杆直径 d=20mm，油缸直径 d=3

15、0mm ;材料的弹性模量 E=210GPa。 给定 5 个驱动杆的驱动加速度 a11=2.5mm/s2， a12=2.8mm/s2， a21=3.3mm/s2， a22=3.6mm/s2， ar3=0.8mm/s2 初始速度均为 0。动平台中心的载荷为： Fs=0 0 100TN， Ts= : 0 0 1000: TN mm。动平台的弹性变形随位姿变换的 趋势，如图 5 所示。其中，弹性变形的线位移部分，如图 5（a）所示。弹性变形的角位移部分，如图5（b）所示。 图5 并联机构动平台弹性变形随位姿变化图Fig.5 Corresponding Deformation of MobiIe PIa

16、tform with Different Pose 从图 5 中不难看出， 机构的位姿不同， 表现的 刚度特性也不同。随着位姿的变化，图5a中三个平移方向上 的变形都逐渐增大， 但是三个方向中 z 方向变形明显小于 x、 y两个方向，表明该机构沿 x、y方向刚度比较小，而在 z方 向刚度较大，因此应避免此并联机构在 x， y 方向受到较大 的力作用。 采用 SoIidworks SimuIation 软件对此 5 自由度并 联机构进行有限元分析，模型如图 6 所示。使用“探测”命令获得三种典型位姿下动平台中心的平移变形并记录下来， 将其与理论值进行对比，对比数据，如表 1所示。 图6 五 自由

17、度并联机构有限元软件分析模型Fig.6 Analysis Model of 5-DOF Parallel Manipulator in FemSoftware表中：do动平台中心变形的幅值。从表1中可以看出动平台中心变形理论值与模拟值基本相同，但是理论值 偏小。这是由于刚度理论计算忽略了铰链的弹性变形、各构 件的质量及外部载荷等因素对机构刚度的影响。表 1 动平台弹性变形的线位移仿真与理论值对比 单位 /mm Tab.1 Simulation Linear Displacement of Mobile Platform Compared with Theoretical Valuedo dXo

18、 dYo dZo 位置一仿真 值 0.0537 0.0174 0.0508 -7.9E-5 理论值 0.0527 0.0162 0.0502 -7.8E-5 误差 0.0013 0.0012 0.0006 1.3E-6 位置二仿真值 0.0956 0.0419 0.0834 -3.2E-4 理论值 0.0935 0.0388 0.0801 -3.2E-4 误差 0.0021 0.0031 0.0033 1.5E-6 位置三仿真值 0.0157 0.0787 0121 -0.0060 理论值 0.141 0.0712 0.117 -0.0059 误差 0.0132 0.0065 0.0042 0

19、.00001 6 结论 （ 1 ）提出 了一种新型含平面分支 5 自由度并联机构，分析了该机构的 特点，建立了少自由度并联机构的三维模型。基于并联分支 中的约束力 /矩，推导了该并联机构的广义雅克比矩阵。（2）综合考虑了平面分支中横梁变形和SPR分支中约束力作用下的变形对并联机构静刚度的影响，建立了该机构的整体静刚度矩阵。典型位姿下限元分析软件的仿真结果验证了所建立的刚度模型的正确性，可用来指导少自由度并联机构的物理样机的开发及应用。 参考文献 1路懿，胡波少自 由度并联机构研究进展J.燕山大学学报，2011, 35 (5): 277-283. ( Lu Yi ， Hu Bo.Developm

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