全国名校高中数学题库--矩阵

1、较难:1.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，向量(i)求矩阵的特征值、和特征向量；(ii)求的值（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c的参数方程为以直角坐标系原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）求直线l的直角坐标方程；（）点p为曲线c上的动点，求点p到直线l距离的最大值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（）已知：a、b、；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.答案：（1）解：（i）的特征多项式为令，得1，

2、2分当1时，得；当时，得 4分(ii)由得，得 5分 7分（2）解：（）化简为，直线l的直角坐标方程为； 3分（）设点p的坐标为，得p到直线l的距离， 5分即，其中 当时， 7分（3）m 解：（），ks5u， 4分（）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c， 7分解析：略2.附加题) 已知矩阵，（1）计算ab；（2）若矩阵b把直线的方程。答案：2.已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量答案：矩阵的特征值为1=3，2=；=，=解析：矩阵的特征多项式为= 2分 令=0，得到矩阵的特征值为1=3，2= 4分当1=3时，由=3，得，取，得到属于特征值3的一个特征向量= ； 7分当2=

3、时，由=，得，取，则，得到属于特征值的一个特征向量= 10分3.已知矩阵，其中r，若点p（1，1）在矩阵a的变换下得到点p（0，3），求矩阵a的特征值及特征向量答案：3， ；-1，解析：由题意得: 2分特征值3对应特征向量为5分特征值-1对应特征向量为7分4.二阶矩阵m对应的变换将点与分别变换成点与.()求矩阵m的逆矩阵；()设直线在变换m作用下得到了直线：，求直线的方程答案：() =；() .解析：(1)掌握矩阵的计算公式是关键。)设,=,=,所以解方程组即可。(2) 因为且：2，所以，即,这就是直线的方程.解：()设,则有=,=,所以,解得 (4分)所以m=,从而= (7分)()因为且：2

4、，所以，即,这就是直线的方程 (10分)5.将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45，求所得曲线的方程答案：解：由题意，得旋转变换矩阵， 设上的任意点在变换矩阵m作用下为，得将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45，所得曲线的方程为6.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（）求实数a的值； （）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）.（）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆上的点到直线的距离的最小值.答案：（1）选修4-2：矩阵与变换解：（1）

5、解：（）由=，. -3分（）由（）知，则矩阵的特征多项式为 -5分令，得矩阵的特征值为与4. （5分）当时，矩阵的属于特征值的一个特征向量为; -6分当时，矩阵的属于特征值的一个特征向量为. -7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程（）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系. -1分-2分所以，该直线的直角坐标方程为：-3分（）圆的普通方程为：-4分圆心到直线的距离-5分所以，圆上的点到直线的距离的最小值为-7分7.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将

6、所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵 （其中a0，b0）.（i）若a=2，b=3，求矩阵m的逆矩阵m-1；（ii）若曲线c：x2+y2=1在矩阵m所对应的线性变换作用下得到曲线c：，求a，b的值.答案：8.已知矩阵，向量，求向量，使得答案：解析：考察矩阵的乘法、待定系数法，容易题。设，由得：，解析：9.行列式（）的所有可能值中，最大的是 。答案：6解析：10.如果矩阵是线性方程组的增广矩阵，则这个线性方程组的解可用矩阵表示为 答案：11.（1）.选修42：矩阵与变换已知矩阵，向量 （i）求矩阵的特征值、和特征向量、；（）求的值。答案：（1）（i）矩阵的特征多

7、项式为令，得，当时，得；当时，得 4分（）由得，得 12.(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换若点a（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为b（2，2），求矩阵m的逆矩阵(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点o与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线c1：与曲线c2：（tr）交于a、b两点求证：oaob(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲求证:,.答案：.解（1）解： ，即 ，2分所以 解得 5分所以由，得7分另解： 1，另解：，看作绕原点o逆时针旋转90旋转变换矩阵，于是（2）曲线的直角坐标方程，曲线的直角坐标方程是抛物

8、线， 4分设，将这两个方程联立，消去，得，3分5分，7分（3）,所以 7分13.已知二阶矩阵a有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵a 答案：src=upload/2011-05/22/b5c26422-0a36-42fd-9c3e-c480830ea279/paper.files/image013.jpg style=vertical-align:middle; /【答案】设矩阵，这里，因为是矩阵a的属于的特征向量，则有 ， 4分又因为是矩阵a的属于的特征向量，则有， 6分根据，则有 8分从而因此， 10分14.已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量（）求矩阵；

9、（）设曲线在矩阵的作用下得到的方程为，求曲线的方程答案：解：（）=，解得. 4分（）设点为曲线上的任一点，它在矩阵的作用下得到的点为，则，所以代入得，所以所求的曲线方程为. .7分15.b选修42矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数a的值； （2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.答案：解：（1）由=，（2分） . （3分）（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 （5分）令，得矩阵的特征值为与4. （6分）当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分）当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为. （10分）16.已知a、br，若mo(sup7(1b所对应的变换t

10、m把直线l：3x2y1变换为自身，试求实数a、b的值答案：解：在直线l上任取一点p(x，y)，设点p在tm的变换下变为点p(x，y)，则o(sup7(1bo(sup7(xyo(sup7(xy，所以点p(xay，bx3y)，点p在直线l上，3(xay)2(bx3y)1，即(32b)x(3a6)y1，方程(32b)x(3a6)y1即为直线l的方程3x2y1，解得解析：略17.已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点（1）求实数a的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.答案：解：（1）时，其中(2)因为存在，所以当时，若，则，此时只需：故存在若，不妨设,易知，时，若，不妨设，易知则故存在三组和

11、：时，；时，；时，其中(3)当时，易知，18.变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应的变换矩阵是（1）求点在变换作用下的点的坐标；（2）求函数的图象依次在变换，作用下所得曲线的方程答案：解：（1），所以点在作用下的点的坐标是。5分（2），设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，所以，所求曲线的方程是。1019.已知矩阵 ,a的一个特征值，其对应的特征向量是.（）求矩阵；（）求直线在矩阵m所对应的线性变换下的像的方程（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线c的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标

12、系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线c相交所成的弦的弦长（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲解不等式2x-1x+1答案：解:（1）由，得，解得2分因为矩阵m所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，2），4分由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵m所对应的线性变换下的像是（0，0），（5，-7），6分从而直线在矩阵m所对应的线性变换下的像的方程为.7分20.已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.答案：解：矩阵m的特征多项式为=1分因为方程的一根，所以3分由得，5分设对应的一个特征向量为,则得8分令,所以矩阵m的另一个特征

13、值为-1，对应的一个特征向量为10分21.已知矩阵a，其中，若点在矩阵a的变换下得到（1）求实数的值；（2）矩阵a的特征值和特征向量答案：（1）a=-4 （2）特征值 3，-1 特征向量（1，-2） （1，2）22.已知, 求矩阵b.答案：解析：设则， 5分故 23.规定矩阵，若矩阵，则的值是_.答案：24.曲线在二阶矩阵的作用下变换为曲线1）求实数的值；2）求m的逆矩阵m-1。答案：,解析：（1）代入新曲线解得由逆矩阵公式得25.（1）（本小题满分7分）选修4-2；矩阵与变换曲线在二阶矩阵的作用下变换为曲线1）求实数的值；2）求m的逆矩阵m-1。答案：,解析：（1）代入新曲线解得由逆矩阵公式

14、得26.已知矩阵，矩阵m对应的变换把曲线变为曲线c，求曲线c的方程。答案：曲线c的方程为解析：解：设是所求曲线c上的任意一点，它是曲线在矩阵m变换下的对应点，则有 5分又点在曲线从而，所以曲线c的方程为 10分27.二阶矩阵m对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成（-1，1）与（1，-2）。若直线在变换m作用下得到了直线求直线的方程。答案：直线的方程为解析：（1）设二阶矩阵，设是直线的任意一点，它是直线在地阶矩阵m变换下的对应点，则又点在直线上，故所以故直线的方程为28.二阶矩阵m对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成（-1，1）与（1，-2）。若直线在变换m作用下得到

15、了直线求直线的方程。答案：直线的方程为解析：（1）设二阶矩阵，设是直线的任意一点，它是直线在地阶矩阵m变换下的对应点，则又点在直线上，故所以故直线的方程为29.已知二阶矩阵m满足：m=,m=,求m答案：解析：30.在直角坐标系中，oab的顶点坐标o(0 , 0)，a(2, 0)，b(1, )，求oab在矩阵mn的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵，答案：1解析：，2分4分6分可知三点在矩阵作用下变换所得的点分别为可得的面积为18分31.运用旋转矩阵，求直线2xy1=0绕原点逆时针旋转45后所得的直线方程。答案：解析：旋转矩阵= 4直线2xy1=0上任意一点（x0,y0）旋转变换后（x0，y

16、0）= 8直线2xy1=0绕原点逆时针旋转45后所得的直线方程是即： 1032.运用旋转矩阵，求直线2xy1=0绕原点逆时针旋转45后所得的直线方程。答案：解析：旋转矩阵= 4直线2xy1=0上任意一点（x0,y0）旋转变换后（x0，y0）= 8直线2xy1=0绕原点逆时针旋转45后所得的直线方程是即： 1033.如图所示，四边形abcd和四边形分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为a（1，2），b（3，2），c（3，2），d（1，2），（3，7），（3，3）求将四边形abcd变成四边形的变换矩阵m答案：解析：该变换为切变变换，设矩阵m为，3分则6分，解得9分所以，m为10分说明：掌握几种

17、常见的平面变换34.设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程答案：解析：， 5椭圆在的作用下的新曲线的方程为 1035.设，求a的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。答案：是矩阵a的属于特征值的一个特征向量解析：矩阵a的特征多项式为 令，得矩阵a的特征值为 对于特征值解相应的线性方程组得一个非零解，因此，是矩阵a的属于特征值的一个特征向量。对于特征值解相应的线性方程组得一个非零解，因此，是矩阵a的属于特征值的一个特征向量。36.已知矩阵 ,a的一个特征值，其对应的特征向量是.（）求矩阵；（）若向量，计算的值.答案：（1） （2）

18、解析：（） （）矩阵a的特征多项式为 ，解得当时，得；当时，得，由，得，得37.二阶矩阵m对应的变换将点（1,1）与（2,1）分别变换成点（1,1）与（0，2）.（1）求矩阵m；（2）设直线l在变换m作用下得到了直线m：xy=4，求l的方程答案：（1）m=；（2）直线l的方程：x+y+2=0；解析：1）设m=，则有=，=，所以解得，所以m=（2）因为且m：，所以（x+2y）（3x+4y）=4，即x+y+2=0，它便是直线l的方程38.已知二阶矩阵a的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵a答案：a=解析：设a=，由题知=，=3 即， 5分a= 10分39.已知o（0

19、，0），a（2，1），o，a，b，c依逆时针方向构成正方形的四个顶点.（1）求b，c两点的坐标；（2）把正方形oabc绕点a按顺时针方向旋转45得到正方形abco，求b，c，o三点的坐标.答案：（1）b点坐标是（1，3），c点坐标是（-1，2），（2）o（）,c (2-,1+2)，b.解析：（1）显然向量绕o点逆时针方向旋转90得向量，变换矩阵m=.所以有=，即=（-1，2），c点坐标是（-1，2）.又=+=（2，1）+（-1，2）=（1，3），所以b点坐标是（1，3）.（2）变换矩阵是n=，=（-2，-1），=（-3，1），=（-1，2）.=.即=，=(-,2),ab=+=，点o的坐标是（）

20、,同理，点c的坐标是(2-,1+2),点b的坐标是40.已知变换t把平面上的点a（2，0），b（3，1）分别变换成点a(2,1),b(3,2)，试求变换t对应的矩阵m.答案：m=解析：设m=，则有m：=，解得；m：=，解得综上，m=.41.已知矩阵m=，求m的特征值及属于各特征值的一个特征向量.答案：1=是m的属于1=2的特征向量.2=是m的属于2=4的特征向量解析：由=（-3）2-1=0，解得1=2, 2=4.设矩阵m的特征向量为.当1=2时,由m=2可得,可见，1=是m的属于1=2的特征向量.当2=4时，由m=4可得,可见，2=是m的属于2=4的特征向量.42.将双曲线c：x2-y2=1上

21、点绕原点逆时针旋转45，得到新图形c，试求c的方程.答案：所求的c方程为xy=解析：由题意，得旋转变换矩阵m=，任意选取双曲线x2-y2=1上的一点p（x0,y0），它在变换tm作用下变为p(x0,y0),则有m=，故,，又因为点p在曲线x2-y2=1上，所以-=1,即有2=1.所求的c方程为xy=.43.已知二阶矩阵m有特征值=8及对应的一个特征向量e1=，并且矩阵m对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.（1）求矩阵m；（2）求矩阵m的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系.答案：（1）m=（2）矩阵m的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y=0解析：（1

22、）设m=，则=8=，故 2分=，故 4分联立以上两方程组解得a=6,b=2,c=4,d=4,故m=. 6分（2）由（1）知，矩阵m的特征多项式为f（）=（-6）（-4）-8=2-10+16，故其另一个特征值为=2. 9分设矩阵m的另一个特征向量是e2=，则me2=2，所以, 12分所以矩阵m的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+y=0. 14分44.试从几何变换的角度求ab的逆矩阵.（1）a=，b=；（2）a=，b=.答案：（1）（ab）-1=（2）（ab）-1=.解析：（1）矩阵a对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是a-1=

23、；同理，矩阵b对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此它的逆矩阵是b-1=；所以（ab）-1=b-1a-1=.（2）矩阵a对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线x-y=0的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，a-1=；矩阵b对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以b-1=；所以，（ab）-1=b-1a-1=.45.已知矩阵m有特征值1=4及对应的一个特征向量e1=，并有特征值2=-1及对应的一个特征向量e2=.（1）求矩阵m；（2）求m2 008e2.答案：（1）m=.（2）解析：（1）设m=，则=4=，故.又 =（-

24、1）=，故.联立以上两个方程组，解得a=1,b=2,c=3,d=2,故m=.（2）m2 008e2=e2=（-1）2 008=.46.已知矩阵a=，求特征值及特征向量.答案：矩阵a的特征值为1=-1, 2=5，为矩阵属于特征值=5的特征向量，为矩阵属于特征值=-1的特征向量。解析：矩阵a的特征多项式为f()=.令f()=0,即2-4-5=0,得1=-1, 2=5,所以矩阵a的特征值为1=-1, 2=5.将1=-1代入二元一次方程组. 即,得x=y,它有无穷多个非零解,其中x0,故为矩阵属于特征值=-1的特征向量.同样，将1=5代入二元一次方程组，则得y=2x,它有无穷多个非零解，其中x0,故为

25、矩阵属于特征值=5的特征向量.47.在平面直角坐标系xoy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵a=对应的变换下得到曲线f，求f的方程.答案：曲线f的方程为x2+y2=1解析：设p（x0,y0）是椭圆上任意一点，点p（x0，y0）在矩阵a对应的变换下变为点p(,),则有=，即所以又因为点p在椭圆上，故4+=1,从而()2+()2=1.所以曲线f的方程为x2+y2=1.48.已知矩阵a=，其中ar，若点p（1，1）在矩阵a的变换下得到点p（0，-3）.（1）求实数a的值；（2）求矩阵a的特征值及特征向量.答案：（1）-4（2）矩阵a的属于特征值3的一个特征向量为.矩阵a的属于特征值-1的一个特征向量为.解析：（1）由=得a+1=-3a=-4.（2）由（1）知a=则矩阵a的特征多项式为f（）=（-1）2-4=2-2-3令f()=0,得矩阵a的特征值为-1或3.设矩阵a的特征向量为当=-1时，=(-1) 即,所以y=2x.矩阵a的属于特征值-1的一个特征向量为.当=3时，=3,即,所以2x+y=0.矩阵a的属于特征值3的一个特征向量为.49.设矩阵，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求实数的值答案：由题