数列综合专题

1、7A 版优质实用文档数列综合专题高考在考什么 【考题回放】1. 已知a， b， c， d成等比数列，且曲线 y x2 2x 3的顶点是(b，c)，则 ad等于( B )素的子集，且满足：对任意的 Si ai，bi，Sj aj，bj(i j ，i、j 1，2，3， ， k )，都有 min i ，imin ，bi aibj aj( min x， y 表示两个数 x， y 中的较小者)，则 k 的最大值是 3 2 1 22. 已知等差数列 an 的前n项和为 Sn ，若S12 21，则 a2 a5 a8 a11 73. 在等比数列 an 中,a1 2,前n项和为Sn,若数列 an 1 也 是等比数

2、列 ,则 Sn等于A 2n 1 2B.3nC. 2nD.3n 1【解析】因数列 an 为等比，则 an 2qn 1 ，因数列 an 1 也 是等比数列，则22(an 11)(an1)(an 21)an 12an 1anan 2anan 2anan 22an 1an(1 q2 2q) 0 q 1即 an 2 ，所以 Sn 2n ，故选择答案 C 。4. 设集合M 1，2，3，4，5，6 ， S1，S2，Sk都是M 的含两个元（B ）A10B11C12D 135. 已知正项数列 an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5a n+6 且 a1,a3,a15 成等比数列，求数列 an的通项

3、an 解析：解: 10 Sn = an2+5 an+6 ， 10 a1= a12+5 a1+6 ， 解之得 a1=2 或 a1=3 又 10Sn 1=an12+5an1+6（ n 2），由得 10an=（ an2an12）+6（anan1），即 （an+an1）（anan 1 5）=0an+an10 ， anan1=5 （ n2）当 a1=3 时，a3=13 ，a15=73 a1， a3，a15 不成等比数列 a13;7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档的等差数列，求 T(2)前a1 10 9项之和；1 q 92a1 32 q (23)()由()知,an 3当 a1=2 时，a3=12 ，

4、 a 15 =72 ， 有 a32=a1a15 ， a1=2 ，an=5n3 6. 已知公比为 q(0 q 1)的无穷等比数列 an 各项的和为 9 ，无 穷等比数列 an2 各项的和为 81.5(I) 求数列 an 的首项 a1和公比 q ；(II)对给定的 k(k 1,2,3, , n) ，设T (k )是首项为 ak ，公差为 2ak 1解 : ()依题意可知 ,2a 1n21 81123q2 ,所5以数列 T (2)的的首项为t1 a2 2,公差 d 2a2 1 3,S10 10 2 1 10 9 3 155 ,即数列T (2)的前 10项之和为2155.高考要考什么 本章主要涉及等差

5、(比)数列的定义、通项公式、前 n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和同时加 强数学思想方法的应用， 是历年的重点内容之一， 近几年考查 的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则 高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏其中 小题主要考查 a1、d(q)、n、an、Sn间相互关系， 呈现“小、巧、 活”的特点；大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不 等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运 用，对思维能力要求较高， 注重试题的综合性， 注意分类讨论高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几 何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，

6、 使数列综合题新意层出 不穷常见题型：(1) 由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推 公式进行恒等变形、推理与综合能力(2) 给出 Sn与 an的关系，求通项等，考查等价转化的数学 思想与解决问题能力(3) 以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查 在新情境下知识的迁移能力7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档,n 1,2, ，理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用， 注意不等 式型的递推数列突破重难点 【变式】 在等差数列 an 中， a1 1，前 n项和 Sn 满足条件S2n 4n 2Sn n 1 （）求数列 an 的通项公式；范例31】已1知数列 an，bn满足

7、 a1 2，b1 1，且anan 1bn 1 1n2)n n 1 Sn 2(an n 1) ，所以 a2nan 1 n ()由 bn an pan ，得 bn npn 。所以an a1an 1bn 144 13 bnan 1bn 1 II)解：由题设得 an bn 12(an1 bn 1)(n2)，令dn an bnI)令4 cn an4 bn ，求数列 cn 的通项公式；II）求数列 an 的通项公式及前 n项和公式 Sn解：（）由题设得 an bn （an 1 bn 1） 2（n 2） ，即cn cn 1 2(n2 )()记 bn anpan(p 0)，求数列 bn 的前 n项和Tn。解：

8、()设等差数列 an 的公差为 d,由 S2n 4n 2得： nSnn 1a1a1a2 3，所a以n a2nd 2a，1即2nd a2 a1 1，又 4n 2 S2n 2 2n 2(an nd a1) an a1 n 1 n n。易知 cn是首项为 a1 b1 3 ，公差为的等差数列， 通项公式 为 cn 2n 1 Tn p 2p2 3p3(n 1)pn 1 npn，n1当 p 1时， Tn n21；当 p 1 时，则dn 21dn 1(n2)1易知dn是首项为a1 b1 1，公比为 1的等比数列，通项公式bn 2n 1， 21 解得an bnnn2an1为 dn 2n11 由11 an 1n

9、 n 1 ， 求和得 Sn 22n1n11n n n 1 22pTn p2 2p3 3p4(n 1)pn npn 1，p(1 pn)n 1np 1p(1 P)Tn pn p12 p3pn 1 pn npn 1p12即 Tnp(1 2pn)。p(1 pn)n 1npn 1,p 11p7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档bn3anan 13(6n 5) 6(n 1) 51 1 1 ) . ( 1 1 )7 7 13 6n 5 6n 1(理)已知二次函数 y f ( x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f(x) 6x 2，数列an的前 n项和为 Sn ，点( n,S )(n n N)均在函数 y

10、 f (x) 的图像上。()、求数列 an 的通项公式；1m ()、设bn1 ，Tn是数列bn的前 n项和，求使得 Tn manan 120对所有 n N 都成立的最小正整数 m ；解：()设这二次函数 f(G)aG2+bG (a 0) ,则f(G)=2aG+b, 由于 f(G)=6G 2,得 a=3 , b= 2, 所以f(G) 3G 22G.又因为点 (n,Sn)(n N )均在函数 y f ( x)的图像上，所以 Sn3n22n.当 n2 时，anSnSn1(3n 22n )(3 n 1)2 2(n 1) 6n 5.当 n1 时，a1S13122615 ，所以， an6n5 ( n N

11、)()由()得知1( 1 1 ) ，2 6n 5 6n 11故 Tn bi (1 ) (i 1 i 2 7 11(1) .2 6n 11 1 m因此，要使 1 (1 1 )a ；a(3) 记 bn ln an(n=1,2, )，求数列 b n 的前 n 项和an a7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档解析：(1 ) fx() x x2 1 ， , 是方程 f (G)=0 的两个根 ( ) ，1 5 1 5 , ； 22（2）已知对任意的正整数 n有 an,记abn ln an,(n 1,2, ) .求数列 bn 的前 n项和 Snan2）an 1 an15解、(1) 由 x2 x 1 0

12、得x 1 515f (x) 2x 1 ，115a2a11an(2an1)1(2an1)5anan12442an 1a1 1 ，有基本不等式可知a152 1时 取等号)，a25 152 1(n=1,2,(an )(an) an(an 1 ) ，1an2an 511) 4 1 ，2an 1 21 0(当且仅当2样 a 5 1 ， a 样 a32 ， an( 3 ) an 1an1= 14(2an a5 a22 0 同，(2) an2f1x125x1a2a1n15aan3an2a5nan1a112aann51an1 2ann12an21 5 an325n an12n5an21 5 anan 1an2

13、 1 1 5），bn1 22abnn 1 又2 b1an2lna11 5 an l54 l n25 ananan2an 1 2a1 ，即 1 ，an 1(an ) ，同理 an 1n 12an 1 n 11 3 5 3 5 b1 ln ln 2ln1 3 52Sn 2(2n 1)ln 3 5已知函数 f (x) x2 x 1， 、 是方程 f (x) 0 的两个根2(an) 2 ，2an 1 ，bn 1 2bn ，又）， f （x）是的导数 设a1 1，an 1 anf (an) ， f (an) ，(n 1,2, ) .（1） 求 、 的值；an5a1数列 bn 是一个首项为 4ln 1 5

14、 ,公比为 2 的等比数列 ;4ln 1 2 5 1 2 2 n 1 5Sn 2 4 2n 1 ln1 5212变式】对任意函数 f（G），GD，可按图示 32 构造一个数列发 生器，其工作原理如下：输入数据 G0D，经数列发生器输出 G1 f （ G0）；若 G1 D，则数列发生器结束工作；若 G1 D，则将G1 反馈回输入端，再输出 G2f（G1），并依此规律继续下去4x 2现定义 f （G）= 4x 2x17A 版优质实用文档7A 版优质实用文档49（）若输入 G0 49 ，则由数列发生器产生数列 Gn请65写出数列 Gn的所有项；（）若要数列发生器产生一个无穷的常数列， 试求输入 的初

15、始数据 G0 的值；（）（理）若输入 G0 时，产生的无穷数列 Gn满足： 对任意正整数 n,均有 GnGn1，求 G0的取 值范围 解：（）f（G）的定义域 D（1）（ 1，）111数列Gn只有三项 G1 ，G2 ，G3 11954x 2（）f（ G）G 即 G23G20，G1x1或 G 24x 2即 G01 或 2 时，Gn 1 nGn，故当 G01 时，0 n 1 xn 1 n 0G01；当 G02 时，Gn2（nN ）4x 2（）解不等式 G，得G1或 1G2，要x1使 G1G2，则 G21 或 1G1 24x 2 6对于函数 f （G） 4x 2 4 6 。若 G14，G3f（G2）

16、 G2当1G1G1且1G2Gn（nN ）综上所述， G1（1，2），由 G1f （G0），得 G0（1， 2）【范例 3】已知 An（an，bn） （n N * ）是曲线 y e 1 x 1上的点， a1 a ， Sn是数列 an的前n项和，且满足 Sn2 3n2an Sn2 1， an 0 ， n 2，3，4，b（I）证明：数列 bn 2 （ n 2 ）是常数数列；bn（II）确定 a的取值集合 M ，使 a M 时，数列 an 是单调递 增数列；（III）证明：当 a M 时，弦 AnAn 1（n N* ）的斜率随 n单 调递增解：（I）当 n 2时，由已知得 Sn2 Sn21 3n2an

17、 因为an Sn Sn1 0，所以 Sn Sn1 3n2于是Sn 1 Sn 3（n 1）2 7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档9 15 a44an an 2enen 2anan 2解法二：设函数 f (x)x an 1e e ，同解法一得，f (x) 在由得 an 1 an 6n 3 于是 an 2 an 1 6n 9 由得 an 2 an 6 ， bean 2b所以bn 2 ea ean2 an e6 ，即数列 bn 2 (n2)是常数数bne nbn列(II)由有S2 S1 12 ，所以a2 12 2a由有 a3 a2 15， a4 a3 21，所以 a3 3 2a，a4 18 2a

18、而 表明：数列 a2k和a2k 1分别是以 a2 ， a3为首项， 6 为公差的等差数列， 所以a2k a2 6(k 1)，a2k 1 a3 6(k 1)，a2k 2 a4 6(k 1)(k N*) ，数列an 是单调递增数列a1 a2且 a2k a2k 1 a2k 2对任意的k N *成立a1 a2且 a2 6(k 1) a3 6(k 1) a4 6(k 1)a1 a2 a3 a49 15a 12 2a 3 2a 18 2a a 44即所求 a 的取值集合是 M a(III) 解法一：弦 AnAn 1的斜率为 knbn 1bne ex xan 1x anan1 axnx任取x0 ，设函数 f

19、(x) ex ex0 ，则f(x) ex(x x0) (e2x ex)0x x0(x x0)记g(x) ex(x x0) (ex ex0) ，则g (x) ex(x x0) ex ex ex(x x0) ，当x x0时， g (x) 0，g(x) 在(x0， )上为增函数，当x x0时， g (x) 0，g(x) 在( ，x0)上为减函数， 所以 x x0时，g(x) g(x0) 0，从而 f (x) 0，所以 f(x)在( ，x0) 和(x0， ) 上都是增函数由(II)知， a M 时，数列 an 单调递增，ean1 ean ean 2 ean 取 x0 an ，因为 an an 1 an

20、 2 ，所以 knan 1 an an 2 an 取 x0 an 2 ，因为 an an 1 an 2 ，所以ean 1ean 2kn 1an 1 an 2所以kn kn 1，即弦 AnAn1(n N*)的斜率随n单调递增( ，an 1)和(an 1， )上都是增函数，ean ean 1ex ean 1所以 kneelim eeean 1，anan 1nan 1 xan 17A 版优质实用文档7A 版优质实用文档x an 1 e e n1limnan 1 x an 1ean 2ean 1kn 1an 2an 1故kn kn 1，即弦 AnAn 1（n N* ）的斜率随 n单调递增文】设Sn是数

21、列 an （ n N*）的前 n项和， a1 a，且 Sn2 3n2an Sn2 1 ，an 0，n 2，3，4， （I）证明：数列an 2 an （ n 2 ）是常数数列；（II）试找出一个奇数 a，使以 18 为首项，7 为公比的等比数 列bn（n N * ）中的所有项都是数列 an 中的项，并指出 bn 是数列 an 中的第几项解：（I）当 n 2时，由已知得 Sn2 Sn21 3n2an 因为 an Sn Sn 1 0 ，所以Sn Sn 1 3n2 于是 Sn 1 Sn 3（n 1）2 由得：an 1 an 6n 3 于是 an 2 an 1 6n 9 由得： an 2 an 6 即数

22、列an 2 an （ n 2 ）是常数数列（II）由有 S2 S1 12 ，所以 a2 12 2a 由有 a1 a2 15，所以 a3 3 2a ，而表明：数列 a2k和a2k 1分别是以 a2，a3为首项，6为公 差的等差数列所以 a2k a2 （k 1） 6 6k 2a 6 ，a2k 1 a3 （k 1） 6 6k 2a 3，k N* 由题设知， bn 18 7n 1当 a为奇数时， a2k 1为奇数，而 bn为 偶数，所以bn不是数列 a2k 1中的项， bn只可能是数列 a2k中 的项若b1 18是数列a2k 中的第 kn项，由18 6k 2a 6得a 3k0 6，取 k0 3，得 a

23、 3 ，此时 a2k 6k ，由 bn a2k ， 得18 7n 1 6k，k 3 7n 1 N*，从而 bn是数列an中的第7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档21 2232 32 32n-1a10N 均成立6 7n 1 项(注：考生取满足 a 3kn 6，kn N* 的任一奇数， 说明bn是 数列 an中的第 6 7n1 2a 2项即可)【变式】(文)已知 a1=2 ，点(an,an+1)在函数 f(G)= G2+2 G的图象上，其中 =1 ，2，3 ，( 1) 证明数列 lg(1+ an)是等比数列；(2) 设Tn=(1+ a1) (1+a2) (1+ an)，求 Tn及数列 an的

24、通项；11(3) 记 bn= 1 1 ，求bn数列的前项和 Sn，并证明an an 2Sn+ 2 =1.3Tn 1解：()由已知 an 1 an 2an ，an 1 1 (an 1)a1 2an 1 1，两边取对数得lg(1 an1) 2lg(1 an)，即 lg(1 an1) 2lg(1 an)lg(1 an) 是公比为 2 的等比数列 .()由()知 lg(1 an) 2n 1 lg(1 a1)n 12n 12n 12 lg3 lg3 1 an 3 ( G)20Tn (1 a1)(1 a2 )(1+a n) 3231 2 22 +2n-1 = 32n -1由( G)式得 an 32 1)

25、an 1 a02 2an an 1 an(an 2)1 1 1 1 1 1 ()an 1 2 an an 2 an 2 an an 1 1 1 1 1又 bnbn 2( )an an 2an an 1Sn b1 b2 +bn1 111111 12( +) 2( )a2a2a3anan 1a1an 12n 12n2an3 1,a12,an13 1 Sn1 2nn 1 n1 n 3212n 12又 Tn 32 1 Sn13Tn 1 (理)在数列 an 中，a1 2，an 1 ann 1 (2 )2n(n N ) ，其中()求数列 an 的通项公式； ()求数列 an 的前 n 项和 Sn ； ()证明存在 k N ，使得 an1 ak 1对任意nanak()解法一： a2 2 2 (2 )2 2 22 ，7A 版优质实用文档7A 版优质实用文档a3 ( 2 22) 3 (2 )22 2 3 23 ，a4 (2 3 23) 4 (2 )23 3 4 24 由此可猜想出数列 an 的通项公式