北师大版八年级上册第一单元勾股定理单元培优卷(解析版

1、第一单元勾股定理单元培优卷（北师大版）姓名： 班级： 得分：注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题.答卷前，考生务必用0. 5亳米黑色签字笔 将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1. （20120-河南省初二期中）适合下列条件的AABC中，直角三角形的个数为（）G =丄，b =丄，C =丄；a = 6, ZA=45o;ZA=32。，ZB=58o;345“ =7, /? = 24, c = 25； = 2, Z? = 2, c = 4. a:b:c = 3:

2、4:5ZA:Z:ZC = 12:13:15 = 5,b = 12,c = 13A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：（丄尸+ （-）2（-）2345故不能构成直角三角形；当a=6, ZA=45o时，不足以判定该三角形是直角三角形：根抵直角三角形的两锐角互余，可由ZA+ZB=90o ,可知是直角三角形：根摇72=49 , 242=576, 252=625,可知72+242=252,故能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知不能构成三角形；令a=3x, b=4x, c=5x,可知&卅2丸2,故能够成直角三角形

3、：根摇三角形的内角和可知不等构成宜角三角形；由a2=25, b2=144, C2=I69,可知a2+b2,故能够成直角三角形.故选:C.【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股左理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.2. （2019-河南省郑州外国语中学初二月考）如图，宜角三角形两直角边的长分别为3和4,以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A. 6C. 2D. 12【答案】A【分析】分别求出以AB. AC. BC为直径的半圆及AABC的而枳，再由S阴影=SI+S2+S ABC-S3 得出结论.【解析】解：如图所示：V

4、 ZBAC=90 , AB=4cm. AC=3cm, BC=5cn 以 AB 为直径的半圆的而积 S1=2 (cm2)：925以AC为直径的半闘的而积S2=- (cnr)：以BC为直径的半圆的而枳S3=- (Cnr)：88S ABC=6 (cm2)： S 阴=S+S2+S ABC-S3=6 (cm2)：故选：A.【点睛】本题考査的是勾股左理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一左等于 斜边长的平方是解答此题的关键.3. (2020-山东省初二期末)如图，正方形小方格的边长为1,则网格中的 ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形 D以上答案都不对【答案】A【分析】

5、根据勾股龙理求得AABC各边的长，再利用勾股泄理的逆定理进行判宦，从而不难得到英 形状.【解析】正方形小方格边长为1 . AC2 = 22 +32 =3. AB2 =62 +42 =52 BC2 =82+I2 =65 在厶 ABC 中 AB2+AC2=52+13=65, BC65AB2+AC2=BC2 .网格中的厶ABC是直角三角形.故选A.【点睛】解答此题要用到勾股定理的逆立理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2,则三角形ABC 是直角三角形.4. (2020-右玉县二中初二期中)如图，测得楼梯的长为5米，高为3米，讣划在楼梯表而铺地毯， 地毯的长度至少是()A. 4米B5米C. 7

6、米D10米【答案】C【分析】利用勾股泄理求解出水平的那条直角边为4米.地毯所用的长度平移到两直角边上刚好是两 直角边的长度，所以直接把两直角边的长度加起来就是地毯的长度.【解析】楼梯长为5米，髙为3米，由勾股宦理可知，其水平宽为4米.因为地毯铺满楼梯应该是楼 梯的水平宽度与垂直高度的和，所以地毯的长度至少是3+4=7 (米).故选：C.【点睛】本题主要考查的是对图像的观察以及勾般定理，如果我们直接求解地毯的长度难度比较大， 所以需要把地毯长度平移到两直角边上即可求解5. (2019-山西晋中初三月考)九章算术勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率 三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙

7、会，问甲、乙行各几何”大意是说：已知甲、乙两人同时从 同一地点出发，甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东泄，甲先向南走10步，后又向东北方向走 了一段后与乙相遇，那么相遇时所用时间为多少？若设甲与乙相遇时间为X ,则可列方程为()A. (3x)2+(7x)2 =IO2B. 102+(7x-10)2=(3x-10)2C. (3x)2+102 =(7x-10)2D. (3x-10)2+(7x)2=102【答案】C【分析】利用勾股定理列岀方程即可.【解析】如图：设甲与乙相遇时间为X,这时乙共行4B = 3,甲共行AC+BC = 7x,.AC = 10, BC = 7x-10, 又VZA = 900

8、 , ：. AB2+AC2 =BC1, (3x)2+102 =(7-10)2 故选：C.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，画出图形，做 到数形结合.6. (2020-西安交大阳光中学初二月考)如图,圆柱的底面周长为6cn, AC是底而圆的直径,高BC=6cn,2点P是母线BC上一点且PC=- BC. 一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表而爬行到点P的最短距离A. （4+-） Cm B. 5cmC. 2 Jf亍CmD. 7cm【答案】B22【分析】首先画出圆柱的侧面展开图,根据BBC=6cm, PC=-BC,求 PC=-6=4cm,在Rt ACP 33中，根

9、据勾股左理求出AP的长.【解析】侧而展开图如图所示，22閲柱的底而周长为 6cb .AC=3cm, VPC= - BC.PC= - 6=4cn,33在 Rt ACP 中，AP2=AC2+CP2, AP=3242 =5故选：B.【点略】此题主要考查了平而展开图，以及勾股怎理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图.7. （2020-辽宁省初二期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔简的内部底而直径是9皿，内壁髙12如，则这只铅笔的长度可能是（）A. 9cmB. 12CnIC. 15ClnD I8c22?【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长.【解析】根据题意可得图形：

10、AB=12cn BC=9cn 在 Rt ABC 中：AC= yAB2 + BC2 =y22+92 = 15 (cm).则这只铅笔的长度大于15cm.故选D.【点睛】此题主要考查了勾股疋理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键.8. (2020-涡阳县王元中学初二月考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股左理，是我国古代 数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的而积为13.则小正方形的面积为()A3B4C. 5D6【答案】C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的而积4个直角三角形的而积，利用已知(

11、 + b)2 =21,大正方形的而积为13,可以得以直角三角形的而枳，进而求出答案。【解析】由于大正方形的边长为JTR，又大正方形的而积为13,即a2+b2=3而小正方形的而积表达式2+b2=3,而小正方形的面积表达式为(a-b)2 =2(a2 +b2)-(a+b)2 =213-2=5 故本题正确答案为C.【点睛】本题主要考査直角三角形，用到勾股怎理的证明，正确计算是解题的关键.9. (2019-浙江省初三一模)如图，在厶ABC中，AC = 屈BC = 13, AD. CE分别是 ABC的髙线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF若DF丄CE,则AB=()A. 10B. 11C. 12D13A

12、【答案】A【分析】连接DE,根据直角三角形的性质得到AB=2DE.根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC, 得到AB=2CD,根据勾股定理列式计算得到得到答案.【解析】解：连接DE, VAD丄BC,点E是AB的中点，AB=2DE. VDF丄CE,点 F是线段 CE 的中点，DE=DCt AB=2CDt在 RtABD 中，ADI=AB2-BD2.在 RtACD 中，AD2 = AC2 - DC2 AC2 - DC2 = AB2 - BD2 即(6?)2 - CD2 = (2CD)2 - (13 - CD)2 解得，CD=5AB=2CD=10,故选：A.10. （2019-成都市初二期中）如图，已

13、知1号、4号两个正方形的而积之和为7, 2号.3号两个正方 形的而积之和为4,则心b、C三个正方形的而积之和为（）D. 22【答案】B【分析】由直角三角形的勾股立理以及正方形的而积公式不难发现：的而积等于1号的面积加上2号的面枳，方的而积等于2号的面积加上3号的而积，C的而积等于3号的面枳加上4号的而积，据 此可以求出三个的而积之和【解析】利用勾股定理可得: =S1+S2 , Sb=S2+S3f Sc =S3 +S4； Sq +S方 +Sf = S +S? +S? + S3 + S3 + S4 =7+4+4 = 15 故选 B【点睛】本题主要考查勾股立理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.

14、IL （2020-江西省初二月考）在ABC 中，AB= 13cm, AC=20cn BC边上的高为 12Cnb 贝JABC 的面积是A 126 Cnf 或 66 CmB. 66 CnrC. 120 Cnr D. 126Cnr【答案】A【分析】此题分两种情况：ZB为锐角或ZB为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC 的长，利用三角形的面积公式得结果.在 RtADC 中，CD=yAC2 -AD2 =202 -122 = 16 CnK ABC=2L.s ABC=IBC.AD=l2112=126cm:当ZB为钝角时（如图2,在 RtABD 中,在 RtADC 中,BD=yAB2 - ADl

15、=132 -122 =5 cm.CD=yAC2 - AD2 =202 -122=16 CnKBC=CD-BD=I6-5=1 lcm, /. S ABC= -BCAD=丄 XIIXl2=66CmL2 2故答案为:126或66.【点睛】本题主要考査了勾股左理和三角形的而积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键.12. （2019-全国初二课时练习）如图，已知直线ab9且“与b之间的距离为4,点A到直线“的距离为2,点B到直线b的距离为3, AB=230试在直线“上找一点M,在直线上找一点M满足MALLd且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（A. 6B. 8C. 10D. 12【答案

16、】B【分析】MN表示直线“与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM十NB的值最小即可.过4作直 线“的垂线，并在此垂线上取点/V,使得V=MN,连接A,B,则AB与直线方的交点即为N,过N 作MN丄“于点M.则AB为所求，利用勾股泄理可求得英值.【解析】过A作直线“的垂线，并在此垂线上取点A，使得AA=4,连接HB, 一与直线方交于点N, 过N作直线“的垂线，交直线“于点M,连接AM,过点B作BE丄A/V,交射线AA于点,如图, VAA,at MN丄“，.AA,MN.又.A=MN=4,.四边形AANM是平行四边形，.AM=A,N.由于AM+MN+NB要最小，且MN固左为4,所以AM+NB最小.

17、由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为AB.VE=2+3+4=9, B=230 /.BE = yj2 -AEI = /39 ,.E=AE AA=9 - 4=5, ：.AB =+ BE2 = 8所以AM+NB的最小值为8.故选B.【点睛】本题考查了勾股左理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置, 难度较大，注意掌握两点之间线段最短.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横 线上）13. （2020湖北安陆初二期末）九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有

18、一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索 从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地而的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地而接触）退行，在距木 根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少？设绳索长为X尺，可列方程为 【答案】 （X 3 ） 2+64=x2【分析】设绳索长为X尺，根据勾股定理列岀方程解答即可【解析】解：设绳索长为X尺，可列方程为（x-3）2+82=x2,故答案为：（x-3） 2+64=x2【点睛】本题考査了勾股宦理在实际生活中的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键.14. （2018-内蒙古杭锦后旗初二期中）如图，正方形ABCD的边长为2,英而积标记为以CD为斜边作等腰直角三角

19、形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其而枳标记为S2, . 按照此规律继续下去，则S2（m的值为.【答案】20i5【分析】樓据勾股定理可得加2 +c2 =DCj 从而得到S2 =S1 ,依次类推，即可得到 ,=Is1,找出规律，进而得到S細“的值24【解析】解：如图所示，ACDE为等腰直角三角形，则CE=DE, DE- + CE- = DCz IDE2 = CD2.即 S2 = -Sl=-22 =2,2 2冋理可得：S3 = S1 = S, = 1 S4 = S3 =丄S1 = -yS1 = t2 428232 V - kj2O18 -22O17 Sl- 22015 故答案为：

20、22015 【点睛】本题考查了勾股左理的运用，解题的关键是根据勾股宦理与正方形而枳的关键找出规律.15. （2020-辽宁铁东初二期中）已知，如图，一小船以20海里/H寸的速度从港口 A岀发向东北方向航行，另一小船以15海里寸的速度同时从港口 A出发向东南方向航行，离开港口 1小时后，则两船相距.【答案】25海里【分析】根据方位角可知两船所行驶的方向正好构成了宜角，然后由路程等于速度乘以时间得到两条船分别行驶了 20海里、15海里，再根据勾股定理即町求得两条船之间的距离.【解析】解：若两小船-小时后分别行驶到点、C,连接BC.如图：方向为东北方向，AC方向为东南方向. ZBAC = 90。小船

21、速度分别为20海里/时、15海里/时 A = 20l = 20, AC = I5xl = 15 .,. BC = yAB2+ AC2 = 25.离开港口1小时后，则两船相跖25海里.故答案是：25海里【点睛】本题考查了勾股定理的应用、方向角汁算，解题的关键是找出题目中隐藏的直角三角形、并 根据勾股泄理求解.16. （2019-河南洛阳初二期中）九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记 载了一道“折竹抵地“的问题：“今有竹髙一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译文：一根竹子，原髙一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，如图所示，问：原处竹子(AC)还剩

22、尺？ (1丈=10尺)【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面X尺，则斜边为(IO-X)尺.利 用勾股宦理解题即可.【解析】设竹子折断处离地而X尺，则斜边为(10x)尺, 根据勾股定理得:x2+32= (IO-X) 29191解得：X=故答案是：忌.2020【点睹】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股泄 理解题17. (2020广东番禺初二期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6, BC=4,将矩形沿AC折叠.点D落在D处，则重叠部分AAFC的面积为DCD9【答案】y【分析】因为BC为AF边上的髙，要求ZAFC的面枳，求得AF即可，求

23、证 AFD仝ACFB,得BF=DT,设DT=X,则在RtAFD冲，根据勾股左理求X,则AF=AB-BF.【解析】解：由于折叠可得：AD=BC ZD=ZB,又ZAFD=ZCFB /.AFDCFB (AAS),DT=BF,设 DF=X,则 AF=6-,任 RtAFD,中，(6-) 2=x242,55132626IilTZ fj ： X=-, AAF=AB-FB = 6- = , Si = AFBC =故？F案为：一333233【点睛】本题考查了勾股左理的正确运用，本题中设DT=X.根揺直角三角形AFD中运用勾股宦理求X是解题的关键18. （2020-深圳市龙岗区初一期中）如图. RtABC中，AB

24、二8, AC二6, Be二10, D是AB的中点,P, Q分别是BG DC上的动点，则AQ+QP的最小值是A【答案】4.8【分析】过点A作AE丄Be交BC于点E,根拯两点之间线段最短，这时AQ+PQ有最小值，即AE 的长度，J S ABC=IAE-BC= I-AB-AC,得出AE的值，即AP+PQ的最小值.【解析】解：如图，过点A作AE丄BC交BC于点E,根据两点之间线段最短，这时AQ+PQ有最小值，即AE的长度，TA BC=8. AB=10, ZACB=90 TSw詰 AEBC ABAC,= 6IO8 = T = 48故答案为:4s【点睹】本题主要考査了轴对称最短问题，解题的关键是掌握两点之

25、间线段最短三、解答题（本大题共6小题，共46分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证 明过程或演算步骤）19. （2019福建省福州一中贵安学校初二期中）大家见过形如x+y=,这样的三元一次方程，并且知道x=3, y=4, Z=I就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如2=z2的方程（1）请写岀方程F+y2=z2的两组正整数解：（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a=- （m2-n2）, b=mn, c= - n加,是奇数），那么，以G /力C为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证.x=3 =5【答案（l）y

26、= 4或Sy = I2；（2）验证见解析.z = 13【分析】（1根据勾股数即可得出答案：（2）先分别求出b2. C?,进而求出/+b2 = c2,即可得出结论【解析】解：（I）当x = 3, y = 4时，2 = 5 当x = 5, y = 12时，z = 13, = 3x = 5x = 3x = 5.方程 + r = z2的两组正整数解为Vy = 4 = 12故答案为y = 4 或 即下端滑行了 8 米.答：梯子底端将向左滑动了 8米.23. （2020-江西九江初三零模）在厶ABC中，BC=a, AC=b, AB=C,若ZC=90。,如图1,则有+h2 =C2 : 若AABC为锐角三角形

27、时，小明猜想：a2 + b2 c2,理由如下：如图2,过点A作AD丄CB于点D, 设 CD=X.在 Rt ADC 中，AD2=b2-x2,在 Rt ADB 中，Abi=Cl-（a-x）Lt ：.Cr +b = c2 + 2cx 7a0, x0, 2ax0, ：.a2+b2c2 A当 ABC 为锐角三角形时a2+b2c2 所以小明的猜想是正确的.（1）请你猜想，当AABC为钝角三角形时，a2+b2与疋的大小关系.（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的髙.（3）证明你猜想的结论是否正确SC图（1）AB【答案】（1） “析】（1）根据题意可MU ABC为钝角三角形Hf. a2+b2 1JC2的大小

28、为:a2+b220. x0, 2ax0, .a2+b2c2, A 当 ABC 为钝角三角形时,a2+b20）（1）若点P在AC上,且满足P4 = PB时，求岀此时/的值；（2）若点P恰好在ZBAC的角平分线上，求/的值：（3）在运动过程中，直接写出当/为何值时，ABCP为等腰三角形258【答案】(1) t = : ( 2) / = ： (3)Io3【分析】(1)设存在点P,使得PA=PB,此时PA=PB=21, PC=4-2t,根据勾股定理列方程即可求出答 案：(2) 过P作PE丄AB,此时，PE = PC = 2( 4根据角平分线质和勾股定理列方程进行解菩甫(3) 分类讨论：当CP二CB时：

29、当PC二PB时，当BP=BC时，列方程进行解答即可得岀答案【解析】解：(1)在 RzCB 中，AC = AB2-BC2 =4 Cm设存在点P,使得阳=阳，此时PA = PB = 2l PC = 4-2在 RtAPCB 中，PC2+CB1 =PB2 HP： (4-2)2+32 =尸，2525解得：/ = - f =时，PA = PB ：1616(2)当点P在MAC的平分线上时，如图1,过点P作PE丄AB于点此时BP = I-2t PE = PC = 2【一4, BE = 5-4 = 1,在 RIABEP 中，PE2+BE1 = BP2 KP： (2-4)2+l2 =(7-2r)2,QQ解得：/

30、= -, /.当f = T时，P在MBC的角平分线上；33(3)根据题意得：AP = Il , 当P在AC上时，ABCP为等腰三角形,. .PC = BC ,即4一2/= 3,二r =丄,2 当P在力B上时，ABCP为等腰三角形，(1)若CP = PB,点P在BC的垂直平分线上，如图2,过P作FE丄BC于E，1 31519A BE = -BC = -. :. PB = -AB.即 2/-3-4 =二，解得：t = -92 2224（ii）若PB = BC,即234 = 3,解得：/=5,（iii）PC = BC,如图 3,过C作CF丄AB于F, .BF = bP,21 I12I QQ53-AB

31、 CF = -AC BC CF =二 BF = JBC? CF? 2r = 4 + 3 + -2/ = 2 2555101 IGCO二当/ = , , 5或二时，ABCP为等腰三角形.2 410【点睛】本题考查勾股立理的应用，等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握勾股左理和分类讨论的思想.25. （2020北京海淀区101中学温泉校区初三三模）任1BC中，AC = BC, ZACB = 90。，点E 在直线BC上（B.C除外），分别经过点E和点B作AE和的垂线，两条垂线交于点F ,研究AE 和EF的数量关系.（1）某数学兴趣小组在探It AE,EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思 想，他们

32、发现当点E是BC的中点时，只需要取Ae边的中点G（如图1）,通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；圉】CB上而得到的结论是否仍然成立呢？请你（2）那么当点E是宜线BC上（5C除外）（苴它条件不变）,从“点E在线段BC上”，“点E在线段BC的延长线”，“点E在线段Be的反向延长线上”三种情 况中，任选一种情况，在图2中画岀图形，并证明你的结论：（3）当点E在线段CB的延长线上时，若BE = HBC（OnV）,谙直接写岀SMBc： SZEF的值.【答案】（1）AE = EF;仍然成立证明见解析：（3） S磁：S2sAEF=I:（/2+2,2 +

33、2）.【分析】（1）连接GE,根据等腰直角三角形的性质可得ZCGE = ZCEG = 45。，ZCBA = Ze43 = 45。，然后利用ASA即可证出ZkAGE今ZkEBF ,从而得出结论：（2）在AC上截取CG = CE,连接GE,根据等腰直角三角形的性质可得ZCGE = ZCEG = 45。,ZCBA = ZCAB = 45,然后利用ASA即可证岀AAGE竺ZMBF ,从而得出结论：（3）在AC的延长线上截取CG = CE ,连接GE, AF,利用ASA证出AGE/XEBF ,可得“AEF 为等腰直角三角形，设CA=CB=a,则BE = nBC = na .利用勾般定理求岀AE,根据三角形的而积 公式即可求出结论.【解析】解：（1）AE = EF,连接GE国