一次函数与反比例函数.第2讲.一次函数与代数综合.教师版

1、第二讲一次函数与代数综合中考要求板块考试要求a级要求b级要求c级要求一次函数理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题知识点睛一、一次函数解析式的确定用待定系数法求一次函数的解析式定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法用待定系数法求函数解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待定系数的解析式；将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解

2、析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程（组），得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式二、一次函数与一元一次方程的关系：直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。三、一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。四、一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足

3、二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。重、难点重点：了解和理解函数的定义以及灵活运用函数的判定，同时注意函数的自变量取值范围的判定；一次函数的定义及其判定，一次函数的性质难点：一次函数与反比例函数的综合运用，以及一次函数和反比例函数的实际运用例题精讲板块一 用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）a. b. c. d. 【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为，同时根据图象看出自变量的取值范围为答案：b【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点求这个一次函数的解析式【解析】 设这个一

4、次函数的解析式为：，由题意可知，解得故这个一次函数的解析式为：【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”【例3】 (09四川泸州)已知一次函数的图象经过点， 求； 求的值【解析】 根据已知，求出一次函数解析式为，再把点坐标代入得【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线经过不同的三点(,)，(,)，(，)，那么直线经过 象限【解析】 设直线的解析式为，因点、在直线上，解得：,故直线的解析式为又点在直线上，得即直线的解析式为，可知经过二、四象限2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数的图象与直线平行并且

5、过点 (-1，2)，求这个一次函数的解析式【解析】 根据题意可设此函数解析式为，过点 (-1，2)，解得，解析式为.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 【解析】 根据题意可得的解析式为，向上平移一个单位以后，可得：，即3、根据函数定义求解析式【例7】 已知，其中与成正比例，与成反比例，且当和时，的值都为l9，求与变量的函数关系式【解析】 根据已知条件，设， (，均不为零)，于是，得：将，代入得：，解之：，【补充】已知函数为正比例函数。（1）求的取值范围；（2）为何值时，此函数的图象过一、三象限。【解析】 （1）由题意

6、，得：，解得当时，函数为正比例函数（2）因为正比例函数过第一、三象限所以即所以当时，此函数的图象过第一、三象限【补充】已知与成正比例，且当时.求与之间的函数关系式【解析】 与成正比例，设()当时，求得，与之间的函数关系式为4、根据增减性求解析式【例8】 已知一次函数中自变量x的取值范围为，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式。【解析】 当时，随的增大而增大，由，可知时，；时， 所以，解得 故函数解析式为。当时，随的增大而减小，由，可知时，；时，所以，解得故函数解析式为。【例9】 (上海市初中竞赛)已知函数，当自变量的取值范围为时，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数的取值范围为 【

7、解析】 当时，满足题设条件，即取到小于3的值；当时，即依题意，应取到大于5的值，故有：，即实数的取值范围为【例10】 已知一次函数，当时，对应的值为，求的值.【解析】 若，所以当时，；当时，；解得，；若，所以当时，；当时，；解得，.【补充】一次函数()，当时，对应的值为，求一次函数的解析式.【解析】 若，所以当时，；当时，；解得，；若，所以当时，；当时，；解得，.【补充】已知关于的一次函数的图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求的取值范围.已知一次函数，当时，对应的值为，求的值.【解析】 ；若，所以当时，；当时，；解得，；若，所以当时，；当时，；解得，.板块二 一次函数与方程（组）的关系

8、的考查：【例11】 已知直线和交于轴上同一点，的值为（ ）a.-2 b.2 c.-1 d.0【解析】 分别求出两个直线与x轴的交点坐标分别为和，因为交与x轴上的同一点，所以可列方程，解得答案：c【补充】已知一次函数与的图象相交于点，则_【解析】 分别将点代入两个一次函数解析式，得和，联立方程得，所以答案：16【例12】 已知一次函数的图象经过点，则不求k，b 的值，可直接得到方程的解是_【解析】 分别根据题意可知当时， 答案：1【例13】 求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积。【解析】 在函数中，令，则，因此图象交y轴于点令，则，解得，因此图象交x轴于点函数与两坐标轴围成的三角形面积【例

9、14】 已知直线与的交点为（-5，-8），则方程组的解是_【解析】 两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解答案： 【例15】 已知方程组（为常数，）的解为，则直线和直线的交点坐标为_【解析】 二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标答案：（-2，3） 【补充】已知，是方程组的解，那么一次函数_和_的交点是_【解析】 一次函数与二元一次方程组的关系，将方程组中的两个二元一次方程整理成用x表示y的形式，则是两个一次函数的解析式和，方程组的解即是两个一次函数图象交点的横纵坐标坐标，即答案：，【例16】 一次函数与的图象如图，则下列结论；当时，中，正确的个数是（ ）a0 b1 c2 d3【解析】 （

10、1）直线经过二、四象限，则，所以是正确的；（2）直线与y轴交于y轴的负半轴，所以是错误的；（3）由两个一次函数图象可知时，直线在直线上方，是错误的。因此只有一个是正确的。答案：b【例17】 已知一次函数与一次函数的图象的交点坐标为a（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y轴围成的三角形的面积。【解析】 将点a(2,0)分别代入两个一次函数解析式，得解得：两个一次函数的解析式分别为和又当时，；当时，两个一次函数与y轴的交点坐标分别为（2，0）和（-2，0）又，解得：即两个函数图象交于点（2，0）两条直线与y轴围成的三角形面积为：板块三 一次函数与一元一次不等式的关系的考查：【例18】 当

11、自变量满足什么条件时，函数的图象在：轴上方； 轴左侧； 第一象限【解析】 ，解这个不等式，得函数图象在轴左侧，应取负数，即函数图象在第一象限，则应有，【补充】已知一次函数。（1）画出它的图象；（2）求出当时y的值；（3）求出当时，x的值；（4）观察图象，求出当x为何值时，【解析】 （1）列表： 过点和作直线，此直线即为一次函数的图象，如图所示：（2）当时，（3）当时，（4）观察图像可知，当时，函数的图象在x轴下方，；当时，；当时，函数的图象在x轴上方，【例19】 已知，当时，x的取值范围是（ ） a b c d【解析】 根据题意可知列不等式，解不等式即可答案：c【例20】 已知一次函数当取何值

12、时，函数的值在与之间变化?当从到3变化时，函数的最小值和最大值各是多少?【解析】 根据题意，本题要求满足,即，解得当时，；当时，因为一次函数的一次项系数小于0，所以在实数范围内，随着的增大而减小故函数的最大值是7，最小值是【点评】教师通过此题帮助学生利用一次函数解答方程组问题、不等式问题.【例21】 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_【解析】 根据题意结合图象看出，当时，直线在直线上方答案：【例22】 （09武汉）如图，直线经过，两点，则不等式的解集为_ 【解析】 根据题意本题可以先求出直线解析式再求不等式组的解集，或由题意中的两个直线上的点的坐标去判断所

13、求的解集答案：【补充】已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当时，y的值；（2）x为何值时，？（3）当时，y的值范围；（4）当时，x的值范围。【解析】 （1）设一次函数的解析式为，由题意，列得，解得一次函数的解析式为当时，（2），解不等式得：当时，（3），又，即解得：当时，（4）， 解得：当时，【例23】 阅读：我们知道，在数轴上，表示一个点，而在平面直角坐标系中，表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线，如图观察图可以得出：直线与直线的交点的坐标(1，3)就是方程组的解，所以这个方程组

14、的解为；在直角坐标系中，表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图；也表示一个平面区域，即直线以及它下方的部分，如图 回答下列问题在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组的解； 在上面的直角坐标系中，用阴影表示所围成的区域如图，表示阴影区域的不等式组为： .【解析】 如图，解为；如图；根据图示信息求得，则. 家庭作业【习题1】 如果每盒羽毛球有20个，每盒售价为24元，那么羽毛球的售价（元）与羽毛球个数（个）之间的关系式为（ ）a bc d【解析】 ，确定函数解析式答案：c【习题2】 已知：与成正比例，且时，。（1）求与之间的函数关系式；（2）点在这个函数的图像上，求的值。【解析】

15、（1）依题意，设，将代入上式，得：，它不是正比例函数，是一次函数。（2）点在这个函数图像上 【习题3】 若直线与x轴交于点（6，0），则m的值为（ ）a.3 b.2 c.1 d.0【解析】 列一元一次方程得：，解得：答案：a【习题4】 如图，直线与轴交于点（4 , 0），则 0时，的取值范围是（ ）a.4 b.0 c.4 d.0【解析】 由题意结合图象可知，则答案：a【习题5】 如图所示的是函数与的图象，求方程组 的解关于原点对称的点的坐标是_【解析】 考察一次函数与二元一次方程组的关系，在平面直角坐标系内可知两个直线的交点坐标为，所以它关于远点的对称的点的坐标是答案： 【习题6】 b取什么整

16、数值时，直线与直线的交点在第二象限？【解析】 由题意，列得解得：两条直线交点在第二象限，解得：即又b取整数 或1【习题7】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ）a.无解 b.有唯一解 c.有无数个解 d.以上都有可能【解析】 二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标，若两条直线平行，则说明这两条直线无交点，则此二元一次方程组无解答案：a 月测备选【备选1】 当自变量满足什么条件时，函数的图象在：轴下方；轴左侧； 第一象限【解析】 令解得.根据题意，三种情形应分别满足不等式：(1)，即，；(2)；(3)，.【备选2】 求证：点 (2，2)， (，)， (，)在一条直线上【解析】 设点 (2，2)， (，)确定的直线的函数解析式为则，解得：，直线的函数解析式为把代入，得：， (，)在直线上，故、三点共线【备选3】 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）a bc d【解析】 由图象知，则图象在x轴下方，所以答案：c【备选4