课例：探索等腰三角形的性质

1、课例：探索等腰三角形的性质教材：人教版九年义务教育五四制初中几何第二册 课型：新授课 一 学情分析与对策、 教材分析与处理1、学生的认知基础及教材内容、地位、作用本节教材内容是在学生学习了三角形的有关知识、掌握了全等三角形的判定及性质的基础上进行的。它不仅是对前面所学知识的综合运用，也是后面研究线段垂直平分线等内容的预备知识，同时也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据。而通过探究等腰三角形“三线合一” 的性质,可以激发学生浓厚的学习数学的兴趣，使学生体会性质定理的来龙去脉；了解、感知知识发生、发展的全过程；拓宽学生探索图形变化的视野。掌握等腰三角形及其性质在生活中的应用，更有益于学

2、生了解数学的价值，体会数学来源于实践，又反作用于实践的认识问题的一般规律。2、本班学生的年龄心理特点我班的学生比较上进，且思维活跃，愿意表达自己的见解，有一定的互动、互助基础，但在应用数学知识解决实际问题的能力方面，还缺乏经验。 （点评：教者对本班学生学情的分析与对策，对教材内容的透彻的分析与处理打算：（1）体现了以学生为本的思想；（2）体现了建构主义的适应性原则-数学知识不应该看成是与学生的经验和思维毫无联系的东西，也不应是按年龄分发的“定量物质”，传授怎样的数学知识和传递多少数学知识，不仅要适应学生生理和心理特点，而且要适应他们的认知结构和建构活动。新知识只能建立在学生原有的知识经验和认知

3、结构基础上，由学生主动参与，积极建构获得；（3）体现了全新的数学观与教材观。数学是基础，是思维训练、解决问题的工具、更是一种文化现象。教材是知识的载体、是学生从事数学学习的基本素材，它为学生的数学学习活动提供了基本的线索、基本内容和主要的数学活动机会。它为方法的选择，策略的实施奠定了坚实的基础，为整个教学指明了方向。）3、教学策略本节课我注重调动学生的潜能，充分让学生参与每一个环节的学习活动，争取每个学生都有自己的亲身体验和理解。都获得不同的收获。（点评：教者把教学设计定位于全体学生的发展，体现了新课程的核心理念。数学课程标准指出：人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上获得

4、不同的发展！）二、教学目标 (1) 知识技能性目标：使学生通过实验猜想，主动探究的学习活动，发现并认同等腰三角形的性质定理及推论，探索归纳出它们的证明方法，并能应用其解决实际问题。(2) 过程方法性目标：让学生经历“设疑探究解决收获”的学习过程，体会发现问题、探究问题的思想，从中感悟证明结论的方法和乐趣，初步了解作辅助线的技巧，培养“转化” 及“分类讨论”的数学思想方法。(3) 情感价值观目标：在亲切，和谐，民主，活跃的探究氛围中，使学生产生浓厚的求知欲望和学习兴趣，使其个性得以充分张扬。帮助其养成良好的学习习惯和勤于思考、勇于探索的思维品质。（点评：“三维”目标的确立，清晰、明了，符合学情和

5、课改精神，具有很强的可操作性）三、教学重点:学生了解、感悟等腰三角形的性质定理,归纳总结其证明。教学难点：等腰三角形中常用辅助线的作法。（点评：重点的确立定位于学生的感受，抽象、概括能力的提高，看出教者关注的是学生的发展；难点的把握看出教师对教材及学生的了解是准确的。）四、教学模式、方法和手段模式：构建了“问题设疑实验探究模型构建-证明解决感悟收获”的教学模式。方法：综合运用自主探究、合作交流、问题解决式及研究性学习等方法。手段：本节课采用多媒体与学科教学整合，以增大课堂信息量，加强直观性及趣味性，有利于学生观察、探究能力的提高。（点评：该教学模式实质是使学生经历了一个“发现问题-发现问题-解

6、决问题-理性归纳”这样一个过程，它是创新教育的基本模式。方法的选取应该是符合内容与学生实际的。手段是先进的。但是以上诸项能否达到预期的教学效果，还有待于实践的检验。）五、教学流程设计意图：教学过程也就是学生的认知过程，只有学生积极参与才能达到教学目的。同时，遵循学生学习数学的心理规律，让学生在一定情境中去经历、感悟知识，才是学生最有价值的收获。所以本节课通过教学情境的设计，力求学生积极参与，并把学生在探索中感悟知识的发生过程，作为本节突出重点、突破难点的关键。进而在教学流程中设计以下八个环节。（点评；思路清晰！）1、创设情境 教师：请同学们观看影视材料，你从这些画中看到了 屏幕上播放影视材哪些

7、几何图形? 料有金字塔、铁塔、 学生1：四边形、三角形、等腰三角形 欧式房屋建筑等。 （点评：利用多媒体课件，创设问题情境，让学生感受等腰三角形在实际生活中的应用，激发了学生的学习兴趣，吸引学生的注意力，同时培养学生从实际问题背景中抽象出数学问题的能力。即：学会数学的思考。）2、自制学具教师：非常好，前面我们学习了什么是等腰三角形， 通过刚才展示的影视材料，同学们也了解了等腰三角形在生活中的一些应用实例。那么，你能用手中的纸片做一个等腰三角形吗？说一说你是怎样做的。学生2：我是把纸片对折，剪一个直角三角形，打开 学生活动：即是一个等腰三角形。 每个学生都开始动学生3：我用尺规先作出一个等腰三角

8、形后剪下。 手，量的量，画的学生4：拿一个长方形纸片，把宽折在长上，重叠部 画、折的折分即是一个等腰三角形。 完成等腰三角（点评：学生动手用多种方法自制学具，是培养学生参 形的制做并交流依与意识、实践能力的极好途径，通过实践活动使学 据。生增强对图形的直观体验，从中体会、感知等腰三角形的本质特性,发展空间观念，也为下一步研究等腰三角形的性质做好孕伏、准备。) 3、实验猜想教师：同学们真是心灵手巧，用这么多方法剪出了 在这一环节，配以音等腰三角形，等腰三角形除具一般三角形所具有的性质 乐，课堂气氛宽松、外，还有哪些特殊的性质呢？这就是我们这节课要探究 合谐，学生身体放的问题（板书课题探索等腰三角

9、形的性质）。 松，思维活跃。 教师：现在，请同学们利用你手中的学具，画一画，剪一剪,折一折,量一量，你能发现什么结论？比一比，看谁发现的结论多。 （点评：猜想是发明创造的前提，把性质定理发现的权利还给学生，创造开放性的学习空间，让学生多角度的发现等腰三角形的性质，使每个学生原有的相关知识、经验都可以全部的投入，思维充分参与。同时感受发现的乐趣，是培养学生创新能力的前题，也是标准的要求。）4、交流实验教师：同学们一定发现了很多关于等腰三角形的结论，学生们的兴致很高， 哪位同学能到讲台前进行展示，并把你的结论写在黑板 大多数学生都要求到上？ 台前展示自己的实验 学生5：我通过把等腰三角形对折发现它

10、的两个底角 操作及结果。他们通相等。 过看一看，画一画，学生6：我画出了等腰三角形底边上的高线，它把底 剪一剪，折一折，量边平分了。 一量等富于自然情趣 学生7：我作了等腰三角形两腰上的中线，用尺量出 而又形象生动的动手它们相等。 活动，得到了比教材 中更丰富的结论： 教师：同学们真是太有探索精神和创造精神了，得到 等腰三角形两腰上 了这么多结论，哪位同学能把这些结论分分类呢？ 的中线（高、角平（点评：，每个学生都以自己特有的方式去建构知识， 线），分别对应相等。探索性质，在发现、猜想、探究中享受“做数学”的 教室也发出了阵阵乐趣，不同层次的学生均有收获，品尝了极大的成功 掌声。的喜悦，适时的

11、鼓励增强了学生的信心，富有启发性 其他同学表示认同。的问题，又把探究的权利再次交给了学生，学生们以 更大的热情，投入了更深入的思考。） 学生8：我认为两底角相等应是一个性质，两腰上的 一分钟后三条主要线段即两底角的平分线、底边上的中线、底边上的高线分别相等可分为一类。学生9：我认为底边上的中线应平分顶角是一个性质。学生10：学生9说底边上的中线应平分顶角，我认为这条中线同时也垂直于底边可归为一类。学生11：听了以上几位同学的观点后，我认为等腰三角形两底角相等是它的一个性质，其底边上的三条主 要线段及两腰上的三条主要线段的关系可为一类。 教师：（追问此同学）你归纳的很好，同学们也认同你的观点，那

12、你认为要研究以上问题，我们先研究哪一个结论比较好？学生11：两底角相等。（点评：为什么一定要先研究它？有没有必要说明理由？此处有没有必要给出分类标准？教师有没有必要对合理分类进行重复？分类讨论是数学的一个基本思想方法，如果此处说明“等腰三角形两个底角相等”是等腰三角形的本质属性，可单列一类；而中线、高、角平分线是三角形中的主要线段，是衍生出来的元素（是下位概念），因而，关于它们的性质应归为一类。这样解释是否又太深？甚至耽搁时间？转移重、难点？对于数学思想方法的教学，在初中属于渗透阶段。此处，教者让学生在感知中体会思想方法，寻找解决问题的切入点，流程很顺畅，说明符合学生学情，也是可以的。究竟怎样

13、处理，可据实际情况而定。由于各类性质是学生自己归纳得出的，因而便于学生形成完整的知识体系和良好的认知结构。）5、 建立模型、验证结论教师：我们就按大家的观点，先来研究等腰三角形两 底角相等这一结论。上面从实际图形中发现结论,也是探究几何问题的方法之一。但结论的正确性还需理论的验证。所以，下面应（欲言又止）。（点评；设问简练，富有启发性，满足了学生自主学习的意识，也渗透了数形结合的思想方法以及理论与实践的关系。） 学生齐答：画图，把文字命题转化为符号语言的几何命题。 bac学生12：已知：abc 中 ab=ac。求证：b=c。 教师；下面，请同学们以小组为单位，就上题进行探索、讨论、交流，寻找解

14、决问题的途径。 学生13小组的成员学生13：（充分讨论后）我们小组认为，要证b=c 很高兴，热烈鼓就想到证明三角形全等，同时，通过上一环节中的折 掌，表示对学生13的纸活动，根据折痕，我们想到作的辅助线为顶角的 支持、肯定与鼓励。 平分线，把b、c分在了两个三角形里，这两个三角其它小组也不示弱， 形根据边角边可证全等。即证出角等。 纷纷示意，要求回答。 教师：很好，谁还有不同意见？ 学生14：作底边上的中线 以上方法得到各组学生15：作底边上的高线 同学的认可后，请一教师：同学们证得的结论，就是等腰三角形的性质定理学生板书证明，其， 名简述为；等边对等角。 它同学在本上练习。 教师：证明中，当

15、证出两个三角形全等后，还可以 利用实物投影检查证明出哪些元素相等呢？ 证明。 学生16：如作顶角的平分线，还可得：bdcd， 欲言又止adbc。教师：这时，我们也可把这条角平分线称为 有的学生重新看习学生16：底边上的中线、 底边上的高。 题本，有的学生意教师：这时，又可说明什么问题？ 回答学生16：（陷入思考） 学生17：我认为等腰三角形顶角的平分线、底边上的 中线、高线、重合在一起，是同一条线段。教师：非常好，哪位同学能用更精练的语言进行描述？ 如作高线，中线学生18：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直 结果同上。于底边。（点评：本部分内容是本节课的核心，教师循循善诱，学生思维活跃，通

16、过作辅助线，将等腰三角形问题转化为全等三角形问题来解决，渗透了转化的 数学思想，突破了本节难点。引导学生交流完善等腰三角形性质定理的证明，抓住了本节重点。对证明过程中不同解法的分析，也有助于拓展学生的思维空间，提高思维能力。）教师：等边三角形除具一般等腰三角形的性质外，由于它的特殊性还可得到什么结论？ 屏幕上展示利用flash 学生19等：（踊跃发言）等边三角形的三个角都相等，制作的由等腰三角形根据三角形内角和定理可知每一个都是60。 经运动变化为等边三(点评：这一环节，使学生由图形的运动感受其变化， 角的动画。 经历由一般到特殊的数学研究过程，从而体会转化的思想方法。)6、深入实际、举例应用

17、（1） 某开发商要求设计师为他设计一个角为80 屏幕显示的等腰三角形房屋人字梁，他会看到几个符合要求的设计模型呢？ （2） 如果你为某厂设计一批有一个角为70的 屏幕显示等腰三角形钢架，有几种设计方案？如果设计有一个角为100的等腰三角形钢架，有几种设计方案？ （3） 图1中小明拿的等腰三 角形中另外两个内角是多少度？小 （1）颖呢？ 图2中被遮住的两个角可能少 度？将所得的结果与1的结果进行比较。 （2） （4） 如图3两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面的两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗? (屏幕显示) 学生答略。 （3） h def( 5 ) 小明做了一

18、个如图4所 1-5题是教材中的纯示的风筝，edh=fdh， 数学问题，我将其加 ed=fd。小明认为efdh 工整合为实际应用 你认为对吗？与同伴进行交流。 的开放问题。激发兴趣 、巩固新知、 （4） 提高能力。 (点评：将教材中的纯数学问题，置于实际背景中，以开放问题的面貌出现，增强了问题的应用价值，既可激发兴趣，提高学生从实际背景中提炼数学问题的能力，又可培养学生分析问题、解决问题的能力。反映了教师良好的数学素养，对新课程的理解以及对课程资源的开发与整合能力。在使用旧教材中如何体现新理念？教者为我们做出了表率。)（5）大家齐动脑，帮助小明想办法： 墙上钉了一根 本题的思考过程较 abdc木

19、条,小明想检验这根木条 复杂,不要求学生独 是否水平,他拿来一个如图立完成。引导学生讨 5所示的测平仪, 测平仪中, 论，以体会等腰三角ab=ac, bc边的中点d处 形三线合一性质的应挂了一个重锤,小明将bc （5） 用。 边与木条重合,观察此时重锤是否通过a点,如果重锤过 a点那么这根木条就是水平的, 你能说明其中的道理 吗？（图5） （点评：以具有一定操作性、开放性、应用性、综合性的实际问题结尾，既是在最大限度的满足不同学生的需求，又是使学生在探究中，提高分析问题解决问题的能力。使学生感知数学来源于实践，又为实践服务的辩证唯物主义思想，培养学生的应用意识。）7、感悟收获教师：通过本节课的

20、探索研究，你收获到了什么？你有何感受？学生20：以前我就知道等腰三角形中有两个角相等，通过本节课的学习我更明确了是其两个底角相等。并用学过的知识证明了这个结论，我很高兴。学生21：我很喜欢折纸，本节课我通过折纸得到了等腰三角形两底角相等这一性质，并知道这条折痕是高线、中线、角平分线，我觉得数学知识也可以变的生动、有趣。学生22：我觉得本节课收获最大的是我能够用所学 学生热烈鼓掌，表的知识解决一些实际问题。我觉得学习这样的数学才是 示认同。最有价值的数学。（点评：让学生谈收获，回授到的不仅有知识与技能的达成情况，还用过程的体验、方法的获得以及数学思想方法，和情感价值观的形成情况。即：回授的是“三

21、维”目标的达成结果。由学生对自己的学习行为进行总结，会加深学生对知识间的内在联系的理解，有利于形成良好的知识体系和认知结构。也是学生自我组织、自我管理、自我评价、自我负责精神的具体体现。自评与互评也使课堂评价向多元化发展。）8、作业 （1）基础作业：教材8页3、4。（2）探究性作业：等腰三角形两个外角之比为1：4，你能得出它顶角的度数吗？（点评：注重基础，使不同的学生都有收获，在 注意培养学生在作业中教者也竭力体现这一理念，并把课堂内的 解决问题的过程探究思想延用于课外。看出教者高度负责的敬业 中进行有条理的精神 和严谨、务实的工作态度。） 思考、表达。教学反思：教学中，我构建了“问题设疑实验

22、探究构建模型 -证明解决感悟收获”的教学模式，能激发学生的学习积极性，变学生被动接受知识为带着问题自主探究新知。在这样的氛围中，拓宽了学生的思维发展空间。他们不但探究得出了教材中的性质定理，还得出了很多教材中没有给出的等腰三角形的相关性质。由于学生探究时间充分，归纳总结的比较完善，所以在这里教师没有进一步总结。课后，我认为，教学中，在学生探究出等腰三角形的性质后，对其进行分类时，教师应给出明确的分类标准。这样更利于学生对知识的理解、掌握。在学生练习应用这一环节，我把课本习题改编为实际应用加开放的问题，为学生创造了做数学的情境与氛围。让学生经历、体验、用数学知识解决实际问题的过程。学生利用所学知

23、识解决象风筝、测平架这类的问题，也会让他们觉得数学其实离生活很近，学习这样的数学才是最有价值的数学。感悟 新课程理念下的课堂，应是学生个性发展、合作交流、相互竞争且充满创造性、探索性与激励性的课堂。在这块三尺讲台上，教师已不再是单纯的“传道、授业、解惑”，他更肩负着为祖国培养高素质人才的重任。在这一要求下，新一代的教师，更应加强自身素质，把握好自己的课堂和角色。让课堂成为学生了解、感悟知识，展示收获的天地。点 评：当我们研读完此案例的时候，当我对每一个环节和步骤进行认真的点评的时候，相信我们每一个人都会有这样由衷的感触，教者与她的学生们用他们的教学实践，诠释了数学课程标准的基本理念：人人学有价值的数学；人人都获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。实现了教与学方式的转变，解决了课改最核心