高二数学必修5第三章《基本不等式--基本不等式及其变形公式的应用（第三课时）》新授课详细教案

1、第三章 不等式3.4基本不等式 （第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？ 让我再想想吧？ 对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？ 本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际

2、应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式：变式1：将基本不等式两边平方可得 ；变式2：在不等式两边同加上，再除以4，可得，；变式3：将不等式两边同乘以 ，可得，再将的分子、分母同除，得.综合上述几种变式得出，.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题 利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解.【例题】（1）已知，求的最大值；（2）已知 ，求 的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值.【解答】（1）当且仅当，即x1时取等号的最大值为1.（2）

3、当且仅当，即时取等号的最大值为.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如型函数无法使用基本不等式求最值思考 两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定应用基本不等式求最值时还要求等号能取到【例题】求函数的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为型函数求解.【错误解法】 但是与不可能相等，即“”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】，令，则，所以原式为.而函数在上为减函数，在上为增函数，则当时，取最小值，且，此时，故当时，取最小值.【反思】当形如型函数无法使用基本不等式求最

4、值时，可用函数的单调性求解，而函数在上为减函数，在上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式 证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件; （2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换; （4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知为不全相等的正实数求证. 【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件.【证明】即又为不全等的正实数，故等号不成立【反思】对要证明的不等

5、式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明如果本例条件不变，求证.则可以类似的证明即.由于为不全相等的正实数，故等号不成立.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值 在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值【例题】已知x0，y0，且1，求xy的最小值；【错误解法】 ，且， 故 。【错因】解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误

6、的一种方法。【正确思路】思路一：将所求式xy乘以，展开再利用基本不等式；思路二：将已知条件1变形为(x1)(y9)，注意到xy(x1)(y9)10，应用基本不等式即可.【正确解答】(1)方法一x0，y0，1，xy(xy)1061016.当且仅当时，上式等号成立，又1，x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值)，可知x1，y9，而xy(x1)(y9)1021016.所以当且仅当x1y93，即x4，y12时，上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.【反思】本题的两种解法都是利用了基本不等式，还可以由已知条件1，解出y，代入到xy中，得到关于x的函数，利

7、用函数求最值.难点二、如何创设基本不等式的条件求最值 利用均值不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可.如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积)化为定值.【例题】(1)已知x1，求f(x)x的最小值； (3)已知0x，求y2x5x2的最大值.【思路】以上三个小题都不具备应用均值不等式求最值的三个条件，可将负数转化为正数，通过添项、拆项或变系数，使其积(或和)转化为定值.【解答】(1)x0，f(x)2x2+(x).(x)24，当且仅当x，即x2时等号成立.f(x)2+(x)242，f(x)的最大值为2.(2)x1

8、，x10，f(x)x（x1）1当且仅当x1，即x2时，等号成立.f(x)的最小值为3.(3)y2x5x2x(25x)5x(25x)，0x，5x0，5x(25x)，y，当且仅当5x25x，即x时，ymax.【反思】利用均值不等式求最值时，必须注意三点：“一正，二定，三相等”，缺一不可.如果项是负数，可转化为正数后解决，当和(或积)不是定值时，需要对项进行添加、分拆或变系数，将和(或积)化为定值.【指导运用 巩固拓展】【例题】已知ab1，且a , br.求证：(2ab)(a2b) 【思路】依据条件把所证不等式化简，因为ab1，所以(2ab)(a2b)(1a)(1b)，所以只需证(1a)(1b)【证

9、明】因为ab1，所以(2ab)(a2b)(1a)(1b)1abab2ab.所以2ab(当ab时取等号)所以(2ab)(a2b)【反思】证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用.【小结归纳 自主建构】本节课我们主要掌握了：（1） 利用基本不等式求函数最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解，同时注意利用基本不等式成立的条件；（2） 形如 这类函数，当不能利用基本不等式求最值时，可以借助函数单调性求解；（3）利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意利用基本不等式成立的条件【反馈学习

10、，查缺补漏】用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意利用基本不等式成立的条件 下节课我们将本阶段所学习的不等式的有关知识做一个小结与复习。课后预习教材详解第三十四课时小结与复习，并完成下面的思考题。 思考题： 不等式的性质有哪些？如何解一元二次不等式？ 本课后收集有关基本不等式的资料并阅读。【阅读延伸，开阔视野】正误辨析【例题】已知a、br + ，且a +b =1，求的最小值.【错误解法】， 的最小值是8.【错因分析】以上错误的原因是忽略了取等号的条件.事实上,当,时,等号成立的条件是a =1,b =1,这时有a +b =2,与已知条件a +b =

11、1矛盾,所以,这两个等式中的等号不能同时成立.【正确解答】利用“平方均值算术均值”: 即, 以上等号成立的条件均为,故的最小值是.课时作业【补充作业】1. 【选择】【基础】【容易】【条件最值】若x2y4，则2x4y的最小值是() a4 b8 c2 d4【思路】由于x2y4为定值，而所求式2x4y又是和的形式，对2x4y利用基本不等式，再根据指数的运算性质求出最小值.【解答】因为2x4y22=8，所以2x4y8.当且仅当，即x=2,y=1时等号成立.答案：b 【反思】本题从表面上看已知与所求式都是和的形式，与基本不等式看似无法联系，但对所求式利用基本不等式后，再根据指数的运算性质，恰好出现已知的

12、和式，从而完成解答.2.【填空】【基础】【容易】【条件最值】【思路】利用构造基本不等式求解【反思】本题也可以利用变量代换的方法，转化为函数求最值.3. 【填空】【巩固】【中档】【利用基本不等式求函数值域】【思路】将已知化为，然后讨论x1和x0,求证。【思路】因为m0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。【证明】因为 m0,，由基本不等式得当且仅当=，即m=2时，取等号。【反思】注意：m0这一前提条件和=144为定值的前提条件。5.【解答】【基础】【容易】【利用基本不等式求最大值】已知，求函数的最大值。【思路】因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项

13、，得到积为定值，再利用基本不等式.【解答】，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。【反思】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。6.【解答】【基础】【容易】【利用基本不等式证明不等式】已知a、b、c、d都是正数，求证：（abcd）（acbd）4abcd【思路】此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.【证明】由a、b、c、d都是正数，得0，0，abcd即（abcd）（acbd）4abcd【反思】本题从等式左端两个因式的整体考虑，直接应用基本不等式进行证明，体现了整体思想，减少了运算量.7.【解答】【巩固】【中档】【

14、利用基本不等式证明不等式】已知x、y都是正数，求证：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.【思路】在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.【解答】x，y都是正数，0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 ，x2y220 ，x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.【反思】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征

15、是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.8.【解答】【提升】【较难】【利用基本不等式求最大值】已知正数a、b满足ab1.求的最大值.【思路】由于已知条件与所求式之间的关系从表面很难看出，又注意到所求式含根式，故先考虑()2，平方后再考虑基本不等式.【解答】()22a12b122(ab)2242.因为a、br，ab1，所以，所以()28，所以02，当且仅当ab时，()max2.【反思】用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，然后这两项的积或和或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值【预习作业】 下节课我们将本阶段所学习的不等式的有关知识做一个小结与复习。课后预习教材详解第三十四课时小结与复习，并完成下面的思考题。 思考题：不等式的性质有哪些？如何解一元二次