小学数学教材中常见的数学思想

1、小学数学教材中常见的数学思想教育科学学院 小学教育专业 070401005 陈艳婷指导教师 苏明强 副教授【摘要】近年来，“数学思想”作为一个教育热点问题得到了国内诸多学者的广泛关注。但从研究成果来看，大多数文献归纳缺乏科学性和系统性，系统归纳小学数学思想的文献并不多，对于小学数学思想的研究并没有深入到某项数学思想的实践应用。介于此，本文立足于小学这一特定的教育阶段，以北师大版小学数学教材作为支撑点，初步对小学数学教材中常见的数学思想进行梳理。【关键词】小学数学; 北师大版;数学教材;数学思想随着基础教育改革的不断深化，“数学思想”已越来越被广大数学教育工作者所关注，全日制九年义务教育数学课程

2、标准(实验稿)在“总体目标”中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”15 11教育部.全日制九年义务教育数学课程标准（实验稿）m.北京：北京师范大学出版社，2001. 本文将从数学思想的概念入手，在明确数学思想在小学数学中的重要性的基础上，研究小学数学教材中常见的数学思想，并对数学思想在小学数学教学中的渗透进行初步的探索。1.数学思想的概念 有关数学思想的概念，目前教育界还没有统一的界定，丁石孙在数学思想的发展一文中认为：数学思想就是人们对于数学的看法 2 转引自

3、邵光华.作为教育任务的数学思想与方法m，上海：上海教育出版社，2009.003，蔡上鹤认为，数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识 3 蔡上鹤.数学思想和数学方法j.中学数学，1997（9）:15-17.，张奠宙与过伯祥认为：数学思想，尚不成为一种专有名词，人们常用来泛指某些具有重大意义的、内容比较丰富、体系相对完整的数学成果。4 张奠宙，过伯祥.数学方法论稿m.上海：上海教育出版社，1996,3.对于数学思想的认识之所以出现如此大的差异，主要是人们看待数学思想的角度不同，有的学者从数学领域内部来认识数学思想，有

4、的学者从哲学的角度认识数学思想。笔者在研究本课题时，试图从数学教育的角度加以释义，认为数学思想是一种理性认识，是对数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法的抽象概括，也就是把数学思想看成是从某些具体数学内容和方法中提炼上升的数学观点，比一般的数学内容和方法具有更高的抽象和概括水平。2.数学思想在小学数学中的重要性全日制九年义务教育数学课程标准(修改稿)在“总体目标”中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现

5、和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；了解数学的价值，激发好奇心，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。”5在这里，第一次明确提出了数学课程的“四基目标”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，其中的“基本思想”主要就是指“数学思想”，也就是说，数学思想已经成为当前小学数学及其教学的重要目标之一，对于人才素质的培养起着重要的作用。笔者通过对相关文献的阅读、分析、理解,认为数学思想在小学数学中的重要性主要在于：它是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，对发展学生的数学能力、提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表

6、现在：（1）掌握数学思想能更好地理解数学知识。（2）数学思想对数学问题的解决有着重要的作用。（3）加强数学思想的教学是以学生发展为本的必然要求。3.小学数学教材中常见的数学思想小学数学教材16年级共12册，渗透了集合、极限、对应、数形结合、函数、统计、类比、分类、转化、化归等几种常见的数学思想。下面以北师大版小学数学教材为例，浅谈这几种常见数学思想在教材中的具体呈现。3.1集合思想小学数学教材中常见的第一种数学思想是集合思想。将具有某种属性的一些对象看作一个整体，便形成一个集合。6 杨宏权.小学数学教学中集合思想的渗透j.甘肃教育，2000（7-8）:60.它主要包括子集、交集、并集、补集、空

7、集等。3.1.1集合思想的渗透数学一年级上册第5页，在认识110的10个数字时，教材呈现的每个数字都有一张相应的集合图。“1”的集合图里只有一个元素架飞机，“”的集合图里有两个元素只小鸟，引导学生通过这样的对应关系来找相应的集合图，这是学生第一次接触集合思想，很形象地把集合中的元素与数的概念有机地联系起来；第72页 “满十进一”、数学一年级下册第63页“退一当十”，教材把个位上的10个小珠子圈起来对应到十位上的1个小珠子、把十位上的1颗小珠子圈起来对应到个位上的10颗小珠子，这是集合思想在教材中的体现；第52页“整理房间”一课的练习3中，教材出现了一张摆放着各种物品的图，要求学生按照“玩具”、

8、“文具”、“服装鞋帽”这三类分一分，把具有同种属性的东西放在一起，这渗透着集合的整体概念。3.1.2子集思想的渗透数学一年级下册第2页“生活中的数”一课中，教材通过“圈一圈，数一数”的数学活动，渗透了10个十是100这类的集合思想，把同一类物体按照相同的数目分成若干个相同的子集；第7页“动物餐厅”一课中，教材要求学生将一些杂乱排列的数字按照“小于60”、“大于60”分类；第16页“去游乐园”一课中，教材呈现了这样一幅图：身高一米以上的要买票。在这里“一米”是一个分界线，将身高分成了两个子集，即一米以上的集合和一米以下的集合；第27页“练习二”的练习中，教材通过“送信”这一有效的数学情景，要求学

9、生将信封中的算式与邮筒上的数字连接起来。这相当于是把整个数集中的元素,按要求分别把他们放入三个子集中。数学四年级下册第22页、24页、32页，教材分别呈现图形的分类方法、三角形的分类方法、四边形的分类方法，根据不同的条件，母集可以分化为不同的子集，即集合思想中整体与部分的关系。数学六年级下册第40页，教材运用母集与子集之间的关系图将小学阶段学过的数进行了梳理，把“数”分为“整数”和“分数”（小数），把“整数”分为“正整数”、“零”、“负整数”，把“正整数”与“0”归纳为“自然数”；第68页，教材运用母集与子集之间的关系形象地表达了各图形间的联系：三角形等腰三角形等边三角形 正方形长方形平行四边

10、形3.1.3交集思想的渗透数学三年级上册第75页，要求学生从日历上找出“父亲的休息日”、“母亲的休息日”、“飞飞的休息日”填入自己的韦恩图中，再找出“父子共同的休息日”、“母子共同的休息日”、“父母共同的休息日”、“全家共同的休息日”，在这里渗透交集思想，即共同的部分。数学五年级上册第45页，要求学生找12和18的最大公因数：先分别找出各自的因数填在相应的集合里，再将12和18公有的因数填入阴影的位置，再从阴影中找出最大公因数。在这里12和18的公因数所组成的集合，正是12的因数的集合与18的因数的集合的交集，交集被用于公因数的求解中。12的因数18的因数3.1.4并集思想的渗透数学一年级上册

11、第22页，在教学加法时，教材安排了这样一个生动的场景：左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，把两只手放在一起，即得2+3=5支铅笔。在这里，并集被用于说明加法的意义。3.1.5补集思想的渗透数学一年级上册第26页，在教学减法时，教材同样安排了这样一个生动的场景：有5个果子，摘走2个果子，还剩5-2=3个果子。在这里，补集被用于说明减法的意义。3.1.6空集思想的渗透数学一年级上册第8页“小猫钓鱼”一课中，教材通过四个圆圈图（即四个集合）里分别有3只小鱼、2只小鱼、1只小鱼、没有小鱼，在这里没有小鱼的圆圈图其实渗透着空集”的概念。这样既使学生对数字“0”有一些感性的认识，又将集合思想中的“空集”这

12、一概念渗透到学生的知识储备库里。3.2极限思想小学数学教材中常见的第二种数学思想是极限思想。极限思想是从量变到质变的转化思想,是事物转化过程中的重要环节,是数学分析中最基本的概念之一,它表示某个无限变化过程的终极状态。7 朱亮尧.数学思想方法举隅j.云南教育，1999（6）:21.小学数学没有专门介绍极限知识，但在教材中有所体现。3.2.1极限思想在数与代数领域中的渗透从“自然数有无限多个”渗透无穷大的思想，进一步推导可以得出“奇（偶）数没有最大的”、“奇（偶）数有无限多个”、“一个数的倍数有无限多个”、“几个数的公倍数有无限多个”、“没有最小的分数单位”等结论。 数学四年级下册第69-70页

13、，通过除法引出“无限循环小数”，每个循环小数实际上是一个无穷级数的和，可以将无限循环小数转化为分数，即将这个无穷级数的和表示为分数。五年级上册第36页第6题，从图中可知，整体等分的份数越多，所得的每份所表示的分数越小，一直分到无数多份，所得的每份就是无穷小的分数单位。由于无论怎么分不能达到极值，所以不存在最小的分数单位；第44页第2题，8/12=（ ）/（ ），暗示学生分数值相同的分数有无限多个，这既是一种发散性思维的训练，又能让学生认识“有限与无限”。3.2.2极限思想在空间与图形领域中的渗透数学四年级上册第16页“线的认识”，“线段-射线-直线”的序列符合学生的认知规律，从有限到无限，这是

14、学生第一次明确地接触“无限”这一数学名词。第26页“角的度量”，由于角是由两条射线组成的，射线具有无限延伸的特性，因此可以把角的两条边延长再进行测量。数学六年级上册第14页“圆周率的历史”：古希腊数学家阿基米德发现，当正多边形的边数增加时，它的形状就越接近圆，这一发现与第10页中“数学万花筒”所表达的意思是一样的；我国魏晋时期的数学家刘微用“割圆术”一直算到圆内接正192边形，得到圆周率的近似值是3.14。以上两位数学家都是采用极限的数学思想来计算圆周率的值，求得的结果为近似值。第17页“探索圆的面积公式”，先将圆形纸片分成8等份，将每份剪下后再将其拼接为近似的平行四边形，再将圆纸片分成16等

15、份，用同样的方法拼接，推出这样的问题：如果圆等分的份数越多，拼出的图形越接近什么形状？这部分知识涉及到“化圆为方”的极限思想，圆等分的份数越多，拼出的图形越逼近于长方形，从而由长方形的面积公式推导出圆形的面积公式。3.3对应思想小学数学教材中常见的第三种数学思想是对应思想，对应思想是指在两类事物（集合）之间建立某种联系的思维方法，是数学的基本思想方法之一。8 虞婉青.谈谈小学数学对应思想的渗透j.教育实践与研究（小学版），2008（11-a）:44.对应思想的建立是人的认识的突出表现。3.3.1对应思想在数数中的渗透数学一年级上册第4-11页，10以内数的认识，就是利用了一一对应的数学思想。教

16、材采用直观形象的方式，借助于物与物、物与形的对应，由数数过渡到认识自然数。例如，由两个小朋友、两只飞机模型、两只小鸟等过渡到与数字“2”的对应。数学一年级上册第12页“动物乐园”，教材安排4只小熊对应数字“4”、4只小鹿对应数字“4”，5只小兔对应数字“5”，3只小猴对应数字“3”，通过这样形象易懂的方式，由数数过渡到数字比大小。第90页“认识钟表”，也是一一对应的数学思想在教材中的体现。时针上的数字对应“时”，分针上的数字乘以5对应“分”，由数数过渡到认识钟表。例如，时针指向数字7，分针指向数字6，就是对应早上7时30分。3.3.2对应思想在计算中的渗透数学一年级上册第29页“算一算”，5-

17、1=4，5-2=3，5-3=2，5-4=1，5-5=0，每个算式都是根据不同的要求算出的对应的结果，教材将其编排为两个纵列，帮助学生理解其中的“一一对应”关系。一年级下册51页“找帽子”、第55页“找朋友”、 第60页“乘车”、第64页“老虎山”、第65页 “连一连”等，都是通过“相等”建立对应的关系，把每道题和它的得数用线段连起来。这种连线的练习在小学数学中的应用十分广泛，几乎覆盖了小学阶段的12册教材，可见对应思想对于学生学习数学的重要性，能够帮助学生复习已学的计算方法；一年级下册第29页“练一练”第6题，通过表格的方式让学生填出相应的被减数、减数或差；三年级上册第59页“练一练”第1题，

18、通过表格的方式让学生填出相应的被除数、除数或商。这是对应思想应用在小学数学计算中的另一种表现形式，既渗透了数与算式，算式与算式之间的对应关系，又改变了过去教材中计算题的题型单调这一不足之处。3.3.3对应思想在数轴中的渗透数学六年级下册第40页“数的认识”第1题，用数轴上的点表示所学的数。这里渗透了小学数学中所学过的数都是与数轴上的相应位置一一对应的，为学生进一步学习实数都是与数轴上的相应位置一一对应的埋下伏笔。3.3.4对应思想在图形中的渗透数学一年级上册第65页“找朋友”，要求学生把形状是长方体、正方体、圆柱和球的物体用线分别与长方体、正方体、圆柱和球的立体图形连起来。这里要求学生把实物和

19、它所对应的几何图形用线连起来，目的是帮助学生辨认所学的几何形体，并渗透对应的数学。二年级下册第67页“认识角”，把生活中“剪刀张开时的夹角”、“3时所成的时针与分针的夹角”、“红领巾最大的角”与数学中的锐角、直角、钝角一一对应起来，加深了学生对这三个种角的认识和理解。3.4数形结合思想小学数学教材中常见的第四种数学思想是数形结合思想。所谓数形结合，就是通过数与形之间的对应来研究问题及解决问题的思想。9 10沙志云.小学数学教学中的对应数学思想方法j.教育科研论坛，2009（8）:22. 在小学数学教学中采用数形结合的方法，往往能达到化难为易的教学效果。纵观整个小学数学教材,从一年级到六年级,无

20、不充分体现数与形的有机结合,帮助学生从直观到抽象、逐步建立整个数学知识体系,培养学生的思维能力。在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与形的对应关系，使学生初步建立起数的基本概念，然后，学习数的加减法；通过具体的“形”帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼,在培养学生空间观念的同时，也初步培养学生数形结合的思想，帮助学生把数与形有机结合起来。在五年级各种图形面积的教学中，先要求学生能熟练地寻找每条底边，并找出与这条底边对应的高。当学生学会简单的图形面积计算时，教师要利用图形的动态变换，使学生理解一个面积的数量，对应了无数多个图形，从而

21、发散学生的思维。如三角形的面积中，同底等高的三角形有无数多个，再如，平行四边形的面积中，同底等高的平行四边形也有无数多个。在小学数学应用题教学中，常常用线段图使数量关系形象化，其实质就是用线段图的长短表示数量的大小，借助线段长度的和、差、倍、分的关系来表示数量关系。由于蕴涵在题中的数量关系能通过线段图直观地表示，这样学生就能在形象思维的支持下，提高逻辑推理活动的有效性，有利于学生分析题意，较快地找到解决问题的途径。如数学三年级下册第61页，运用直观的线段图帮助学生理解同分母分数的加减法这一抽象的数学知识。3.5函数思想小学数学教材中常见的第五种数学思想是函数思想。所谓函数，是设在某变化过程中有

22、两个相关联的变量x和y，如果变量x在某一范围内每取一个确定的值时，变量y都有一个确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作：y=f（x）或y=y（x）等。其中x称为自变量，y称为因变量，x的取值范围称为函数的定义域。与x相对应的y的值称为函数值，其全体称为函数的值域。10函数思想在小学数学教材中是普通存在的，它是一种基础的数学思想，数学概念、法则、公式、性质等知识都与函数思想密不可分。3.5.1函数思想在加、减法中的渗透数学一年级上册第46页“找朋友”，“和”为10不变时，两个“加数”之间呈一次函数关系：10=x+b,即y=-x+10，x为19的整数；第46页“打靶比赛”，“被减数”为10不变时

23、，“差”与“减数”之间呈一次函数关系：y=10-x，x为110的整数；第81页“练一练”第3题，“减数”为9不变时，“差”与“被减数”之间呈一次函数关系：y=x-9，x为1218的整数；第81页“练一练”第3题，“加数”为6不变时，“和”与“另一个加数”之间呈一次函数关系：y=x+6，x为59的整数。3.5.2函数思想在乘、除法中的渗透数学二年级上册第10页“5的乘法口诀”、第14页“2的乘法口诀”、第16页“3的乘法口诀”、第20页“4的乘法口诀”、第72页“6的乘法口诀”、第74页“7的乘法口诀”、第76页“8和9的乘法口诀”，都蕴藏了正比例函数的数学思想，即y=kx,其中k是19的常数，

24、x是19的整数。三年级上册第3页“数学游戏”，“积”为120不变时，两个因数之间呈反比例函数的关系：120=xy,即y=120/x，x为1120的整数。四年级上册第79页“填一填”， “因数”为21不变时，积与另一个因数呈正比例函数的关系：y=kx，其中k为常数21，x为正整数。第79页“填一填”，“除数”为14不变时，商与被除数呈正比例函数的关系：y=kx,其中k为常数1/14，x为正整数。3.5.3函数思想在面积公式中的渗透数学三年级上册第47页，长方形的周长=（长+宽）2，长方形的周长保持不变时，长与宽呈一次函数的关系：y=-x+b,其中b为常数，即周长值的一半，x为宽，是正数。第48页

25、，正方形的周长=边长4，正方形的周长与边长呈正比例函数的关系：y=4x,其中x表示边长，是正数。第45页，长方形的面积=长宽，长方形的面积保持不变时，长与宽呈反比例函数的关系：y=k/x,其中k为常数，即面积值，x为宽，是正数。数学三年级下册第46页，正方形的面积=边长边长，正方形的面积与边长呈一元二次函数的关系：y=x2，其中x表示边长，是正数。数学五年级上册第23页，平行四边形的面积=底高，平行四边形的面积保持不变时，底与高呈反比例函数的关系：y=k/x，其中k为常数，即面积值，x为高，是正数。第25页，三角形的面积=（底高）/2，三角形的面积保持不变时，底与高呈反比例函数的关系：y=k/

26、x，其中k为常数，即面积值，x为高，是正数。第27页，梯形的面积=（上底+下底）高/2，梯形的面积保持不变时，高与（上底+下底）呈反比例函数的关系。数学六年级上册第18页，圆形的面积=r2，圆形的面积与半径呈一元二次函数的关系，即，这里的表示圆的面积，表示圆的半径。3.5.4函数思想在数量关系中的渗透数学三年级上册第4页，总价=单价数量，数量不变时，总价与单价呈正比例函数的关系：y=kx，其中k即为数量值，x为单价值，是正数。四年级上册第63页，速度=路程时间，速度不变时，路程与时间呈正比例函数的关系：y=kx，其中k即速度值，x为时间值，是正数。六年级下册第25页，路程=速度时间，路程为12

27、0不变时，速度与时间呈反比例函数的关系：y=120/x,x为1120的整数；第26页，总页数=平均每天看的页数总天数，总页数为120不变时，总天数与平均每天看的页数呈反比例函数的关系：y=120/x，x为平均每天看的页数，是1120的整数。 3.5.5函数思想在找规律中的渗透数学四年级下册第100页“图形中的规律”，教材通过“摆10个三角形需要多少根小棒”鼓励学生“列表试试看”，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根小棒，摆4个三角形需要9根小棒，引导学生找出这样的规律：摆n个三角形需要（2n+1）根小棒。这里渗透了函数思想，引导学生通过函数思想解决数学问题。

28、3.6统计思想小学数学教材中常见的第六种数学思想是统计思想。“统计与概率”是义务教育阶段数学课程的四个领域之一，全日制九年义务教育数学课程标准(实验稿)在“总体目标”中指出：经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。11统计思想是统计活动得以顺利完成的重要保障，离开统计思想，发展统计观念这一目标就无从谈起。统计思想是指收集、描述和分析数据的各种思维方法、技能和策略的总和。它包含两层含义：一是通过对数据初步整理,科学揭示随机现象背后的某些规律性思想；二是从局部出发探究总体的思想。12 潘小明.小学生统计观念的发展与培养j.教育实践与研究（小学版），2005（9）:11.3.6.1统计思

29、想在统计知识中的渗透数学一年级上册第9499页，教材借助形象的物体，将统计表、统计图简化为“数数、比较”，要求学生能按照数量对物体进行比较，鼓励学生从中提出其他的数学问题，并试着解答。这是学生第一次接触“统计与概率”的知识，这样的安排既符合一年级学生的认知发展规律，又能为今后进一步认识统计表、统计图打好基础。一年级下册第85页，教材首先创设了“为组织比赛而调查同学们最喜欢的活动”的情境，使学生初步感受到统计的必要性；然后设计了“小调查”活动，鼓励学生在班里开展调查，并全班合作运用统计图展示调查结果；最后通过分析调查结果，获得全班同学最喜欢的活动的情况，并以此决定组织什么比赛好。这样的安排展示了

30、收集数据、分析数据、作出判断的过程。数学二年级上册第9091页，教材为学生安排了两个调查活动，一是“调查班里同学的生日在什么季节”，二是“调查班里同学最喜欢哪些图书”，两个调查活动都是鼓励学生运用统计图展示调查结果，再填入统计表里，通过分析调查结果，回答相应的问题，即“班里某个同学的生日最有可能在哪个季节？”、“如何为班级买书？”。这样的安排同样展示了收集数据、分析数据、作出判断的过程。二年级下册第89页，教材安排了“读统计图表”活动，其中出现了两幅统计图：二（1）班同学最喜欢的电视节目统计图、二（2）班同学最喜欢的体育项目统计图。对于这两幅图，教材的提示语是：“这些统计图表告诉你什么？你又想

31、到了什么？与同伴说一说。”学生要回答上述的问题，首先要理解图中条形图的实际意义，这样就把统计图的认识与学生的生活经验结合起来；其次，每个学生可以从不同的感受中，以不同的理解来分析统计图中的数据意义，也可以得出不同的结论。数学三年级下册第69页“比一比”，教材第一次给出了“平均数”这一重要的统计概念，通过“移多补少”将“平均数”这一抽象的概念形象化。第7172页，要求学生根据统计图或统计表提供的数学信息计算相应的“平均数”，这样的安排有助于学生从形象的感知中抽象出“平均数”的计算方法。数学四年级上册第94页，要求学生在统计表中记录蒜苗的生长情况，并根据所得数据制作条形统计图（一格表示多个单位）。

32、制作条形统计图，能够帮助学生从“比较不同数量的多少”这一角度来处理数据。第97页，教材安排了“折线统计图”的认识，引导学生从“观察事物发展的趋势”这一角度来处理数据。数学五年级下册第84页85页，教材安排了“扇形统计图”的认识，引导学生从“各类事物占总体的百分比”这一角度来处理数据。第8889页，教材安排了中位数、众数的学习。“平均数”、“众数”、“中位数”都是描述一组数据的集中趋势的量。平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何数据的变化都会引起平均数发生变化；众数着眼于各数据重复出现次数的考查，其大小只与这组数据部分数据有关；中位数则与数据的排列位置有关，有时某些数据的变化对中位

33、数没有影响。数学六年级上册第5962页，教材安排了“复式条形统计图”、“复式折线统计图”的认识，使学生能对两组数据进行比较、分析，进一步丰富学生的统计思想。3.6.2统计思想在概率知识中的渗透概率本身是对大量随机事件和随机现象所进行的一种统计，是对随机事件发生的结果的归纳。概率的知识是比较抽象的，学生在学习这方面的内容时，存在着一定的困难。数学二年级上册第9293页，教材安排了抛硬币和摸彩球的活动，使学生初步意识到事件发生的不确定性，学会用“一定”“不可能”和“可能”描述生活中的不确定现象，在抛硬币和摸彩球的过程中，需要将具体的结果进行必要的统计，这里不仅蕴含着概率的内容，同时渗透着统计的思想

34、。数学三年级上册第8485页，教材进一步安排摸彩球的内容（两种彩球的数量不同），使学生体验摸到某一种彩球的可能性大小不同，学生能够列出简单试验所有可能发生的结果、知道事件发生的可能性是有大小的，在摸彩球的过程中，需要将具体的结果进行必要的统计，这里同样蕴含着概率的内容和统计的思想。三年级下册第7374页，教材安排了旋转转盘的活动，转盘有两种颜色等分的，也有两种颜色不等分的，使学生体会到指针停在两种颜色上的可能性有大有小。在操作转盘的过程中，需要将具体的结果进行必要的统计，渗透着统计和概率的思想。数学五年级上册第87页，教材又一次安排了摸彩球的活动，要求学生用分数明确地表示出摸出某种球的概率，使

35、学生对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由。这需要一定的概率知识的积累，渗透着统计的思想。3.7类比思想小学数学教材中常见的第七种数学思想是类比思想，所谓类比，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或类似之处，推断出它们在其它方面也可能相同或类似的一种推理方法。13 冯利琼.类比思想在高中数学中的应用j.黑龙江科技信息，2009（7）:141.温故而知新，就是类比思想的体现。3.7.1类比思想在数学概念中的渗透数学二年级下册第72页“长方形与正方形”，第74页“平行四边行”，由长方形的知识类比到正方形的知识和平行四边形的知识，有助于学生建构知识

36、网络。五年级下册第13页“长方体的认识”，类比长方形的知识，有助于发展学生的空间概念。六年级上册第48页“比的认识”，类比倍数与分数的知识，能够帮助学生理解“比”这一抽象的概念。六年级下册第2页“面的旋转”，类比平面的知识，通过面的旋转认识立体图形；第24页“反比例”，类比正比例的知识，能够加深学生对“反比例”这一新概念的理解。3.7.2类比思想在数学计算中的渗透数学一年级上册第22页“有几支铅笔”，2+3=5，要求学生掌握10以内的加法；第68页“捆小棒”，10+1=11（从右边起，第一位是个位，第二位是十位），要求学生掌握个位的“一”表示“1”，十位的“一”表示“10”，类比到10以内的数

37、的加法，是个位和十位上进行的10以内加法的运算，从个位算起；第72页“有几瓶牛奶”，9+5=14，类比到数位的知识，是个位上所进行10以内加法的运算，从个位算起，个位满“十”往十位进“一”；一年级下册第20页“小兔请客”，20+30=50，整十数的加法，类比到数位的知识，是十位上所进行的10以内加法的运算，个位为“0”；第22页“采松果”，25+4=29，类比到数位的知识，是个位和十位同时进行的10以内加法的运算，从个位算起；第49页“图书馆”，28+4=32，类比到数位知识及“满十进一”的知识，是个位和十位同时进行的10以内加法的运算，从个位算起，个位满“十”往十位进“一”；第76页“套圈游

38、戏”，24+29+44=97，类比到数位的知识及“满十进一”的知识，三个100以内的数相加，从个位算起，个位满“十”往十位进“一”，十位满“十”往“百”位进“一”。数学一年级上册第26页“摘果子”，5-2=3，要求学生掌握10以内的数的减法；第70页，“搭积木”，17-6=1（从右边起，第一位是个位，第二位是十位），要求学生掌握个位的“一”表示“1”，十位的“一”表示“1”，类比到10以内的减法，是个位和十位上进行的10以内减法的运算，从个位算起；一年级下册第20页“小兔请客”，50-10=40，整十数的减法，类比到数位的知识，是十位上所进行的10以内减法的运算，个位为“0”；第22页“采松果

39、”，25-4=21，类比到数位的知识，是个位和十位同时进行的10以内减法的运算，从个位算起；第59页“小小图书馆”，33-7=26，类比到数位知识，是个位和十位同时进行的10以内减法的运算，从个位算起，个位不够减就从十位借“一”当“十”。二年级下册第59页，236-118=118，类比到数位知识及“退一当十”的知识，是个位、十位、百位上所进行的10以内减法的运算，从个位算起。五年级上册第39页“分数与除法”，教材提供这样的情景：“把1块蛋糕平均分给2个小朋友，每人可以分到几块蛋糕？”，紧接着给出“1/2”这一答案，再问“你发现分数与除法有什么关系？”通过除法知识的类比，得出分数的分子与分母的意

40、义，进而学习假分数与带分数之间的相互转化、约分。五年级下册第2页“分数乘法”，将分子与分子相乘，分母与分母相乘，类比到整数乘法的知识，解决分数乘法的问题；第25页“分数除法”，通过倒数的知识类比到分数乘法的知识，解决分数除法的问题。3.8分类思想小学数学教材中常见的第八种数学思想是分类思想，分类是以比较为基础,按照研究对象的相同点和不同点,根据一定的标准将对象区分为若干类别的思维方法。14 张再良.“分类”在数学教学中的妙用j.新课程研究（基础教育），2008（1）:91. 分类思想，贯穿于整个小学数学的知识内容中。当知识积累到一定的程度就需要运用分类、归纳的思想来帮助学生建构自己的知识网络。

41、数学一年级上册第52-55页，教材把“分类”作为一个独立的单元，要求学生按照事物的不同属性进行分类，如按照是否具有飞行能力、是蔬菜还是水果、是文具还是玩具等进行分类，初步培养学生的分类意识；第64-65页“认识物体”,通过学生的分类活动来认识长方体、正方体、圆柱和球等立体图形。二年级下册第69页“比一比”，将 0180的角按小于90、等于90和大于90的标准分为三类：锐角、直角、钝角。四年级下册第22页“图形分类”，教材用两种方式引导学生分一分，一是提供分类依据让学生给出分类结果，二是提供分类结果，让学生给出分类依据；第24页“三角形分类”，教材先给出分类的结果，引导学生将根据三个角的特征把三

42、角形分为“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝角三角形”；第89页，教材将方程定义为含有未知数的等式，指出对所有的式子两层分类就可以得出方程：第一层是按照是否是等式分为等式和非等式，第二层是将等式按照是否含有未知数分为方程和非方程。六年级下册第40页，教材将学生在小学阶段所学过的数按照是否是整数分为整数和分数（小数），把整数按照大于0、等于0和小于0分为正整数、零和负整数；第68页，教材将学生在小学阶段学过的图形按照平面或立体分为平面图形和立体图形，把平面图形按照曲线或线段围成分为多边形和圆，把多边形按照边的数目分为三角形、四边形、五边形等。3.9转化思想小学数学教材中常见的第九种数学思想是转化

43、思想。转化就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将一个问题转化成为另外一个问题来解决。一般是将复杂问题转化为简单问题，将难解问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，将不规范的问题转化为规范的问题。15 张卫星.转化思想在小学数学教学中的运用j.教学与管理，2009（20）:40.加法与减法的转化、乘法与除法的转化；分数与小数的转化；立体向平面的转化、数与形的转化；抽象与直观的转化；未知向已知的转化等，在小学数学中无处不在。数学四年级下册第61页“精打细算”，运用商不变的性质，教材提出“只要商的小数点与被除数的小数点对齐”，就能把小数除法转化为整数除法。五年级上册第23

44、页“平行四边形的面积”，将平行四边形转化为长方形，运用长方形的面积公式求得平行四边形的面积公式；第25页“三角形的面积”，将三角形转化为平行四边形，运用平行四边形的面积公式求得三角形的面积公式；第27页“梯形的面积”，将梯形转化为平行四边形，运用平行四边形的面积公式求得梯形的面积公式。五年级下册第41页“体积与容积”，体现了由未知到已知的转化思想：土豆与红薯比大小，无法直接测量，将两者放入同体积的放有等量不的量杯中，观察液面上升的高度，就能比较两者的体积。六年级下册第8页“圆柱的体积”，将圆柱体转化为长方体，运用长方体的体积公式求得圆柱体的体积公式；第11页“圆椎的体积”，将圆椎转化为1/3长

45、方体，运用长方体的体积公式乘以1/3，求得圆椎体的体积。3.10化归思想小学数学教材中常见的第十种数学思想是化归思想。从字面意思上讲，“化归”可以理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。16 沈华斌.“化归”思想及其在小学数学教学中的渗透j.教育科研论坛，2010（2）:38. common mathematical thoughts in primary math textbooks education science college quanzhou normal universityprimary education 070401005 chen yantingtutor su mingqiang associate professor【abstract】in recent years,mathematical tho