第二十四届希望杯初二第2试试题及答案解析

1、第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试试题2013年4月14日 上午9：00至11：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日11：00在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：“希望杯”微博：/xiwangbei数理天地官方网站：数理天地微博：/shulitiandi未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。一、选择题(每小题4分，共40分)1在无理数、中，介于与之间的数有(

2、 )(a)1个(b)2个(c)3个(d)4个2已知x+=6(0x1)，则-的值是( )(a)- (b)-2(c)(d)23有3个正整数a，b，c，并且abc，从中任取2个，有3种不同的取法，将每一种取法取出的2个数分别作和及作差，得到如下6个数：42，45，64，87，109，151，则a2+b2+c2的值是( )(a)12532(b)12533(c)12534(d)125354已知有理数a，b，x，y满足ax+by=3，ay-bx=5，那么(a2+b2)(x2+y2)的值是( )(a)225(b)75(c)54(d)345among all the following points，whic

3、h one is on the graph of function y=x2-2x-3?( )(a)(1，-3)(b)(0，3)(c)(-1，0)(d)(-2，1)6下列命题中，正确的是( )(a)如果三角形三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形(b)如果直角三角形的两条直角边的长分别是a和b，那么斜边的长是a2+b2(c)如果三角形三条边长的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形(d)如果直角三角形的两条直角边的长分别是a和b，斜边长是c，那么斜边上的高的长是7甲、乙、丙、丁4名跑步运动员的速度依次是v1，v2，v3，v4 ，且v1v2v3v40，他们沿直跑道进行追逐赛

4、，规则如下：4人在同一起跑线上，同时同向出发；经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁谁就是冠军则( )(a)冠军是甲(b)冠军是乙(c)冠军是丙(d)甲、乙、丙同时遇到丁8已知直线y=kx+b(k0)与x轴的交点在x的正半轴上，则( )(a)k0，b0(b)k0，b0(c)kb0(d)kb09如图1，函数y1=k1x+b和y2=k2x的图象交于点(-1，-2)，则关于x的不等式k1x+bk2x的解集是( )(a)x-1(b)x-1(c)x-2(d)x-210设q=mn，p=+，其中m，n是两个连续的自然数(mn)则p( )(a)总是奇数(b)总是偶数(c)有时是奇数，有时是偶数(d)有

5、时是有理数，有时是无理数二、填空题(每小题4分，共40分)11已知a=+2，b=-2，则a2+b2+7的平方根的值是 1260名学生参加英语测试，若优秀的学生占45%，则在统计图中，表示优秀的扇形的圆心角是 度；若表示良好的扇形的圆心角是120，则良好的学生有 人13若x1，x2都满足2x-1+2x+3=4，且x1x2，则x1-x2的取值范围是 14若直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b= 15已知a，b都是有理数，若不等式(2a-b)x+3a-b0的解集是x，则不等式(a+3b)x+a-2b0的解集是 16如图2，点p在正方形abcd内，pbc是正三角形，若bpd的面积是-1

6、，则正方形abcd的边长是 17直线y=x-1与x轴、y轴分别交于a、b两点，点c在坐标轴上，abc是等腰三角形，则满足条件的点c有 个18已知x2-x-1=0，则= 19如图3，矩形纸片abco平放在xoy坐标系中，将纸片沿对角线ca向左翻折，点b落在点d处，cd交x轴于点e若ce=5，直线ac的解析式为y=-x+m，则点d的坐标的坐标是 20已知正整数x，y满足，则x-y的最小值是 三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)已知m2=n+2，n2=m+2(mn)，求m3-2mn+n3的值22(本题满分15分)as in figure 4 ，both d=e=90 in trape

7、zoid abcdabc is an equilateral triangle with c on deif ad=7 and be=11，find the area of abc(英汉词典：trapezoid 梯形；equilateral 等边三角形；area 面积)23(本题满分15分)有n(n2)个整数a1a2a3an，它们满足下列条件：如果对于其中的任意一个整数am都有-am不在这n个整数中，则称这n个整数满足性质p；若在这n个整数中选两个不同的整数ai，aj，使它们成为一个有序整数对(ai，aj)，并恰好ai+aj也在这n个整数中，则这样的整数对为“和整数对”； 若在这n个整数中选两

8、个不同的整数ai，aj，使它们成为一个有序整数对(ai，aj)，并恰好ai-aj也在这n个整数中，则这样的整数对为“差整数对”回答下列问题：3个整数-1，2，3是否满足性质p？如果满足性质p，请写出其中所有的“和整数对”和“差整数对”；若n(n2)个整数a1a2a3an满足性质p，其中“差整数对”有k个，试证明kn(n-1)；若n(n2)个整数a1a2a3an满足性质p，其中“和整数对”有l个，“差整数对”有k个，试证明l=k第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试答案与解析一、选择题(每小题4分，共40分)1选：d；【解析】=2与=32选：b；【解析】0x1，则-0，(-)2= x+-2

9、=4，-=-23选：c；【解析】分析大小可得a+b最大，即a+b=151，a+c第二大，即a+c=109，而a-b和b-c都可能最小，由于a-b与a+b具有相同的奇偶性，所以a-b=45，可解得，a=98，b=53，c=114选：d；【解析】(ax+by)2=9，(ay-bx)2=25，两式相加得：a2x2+b2y2+ a2y2+b2x2=34，而(a2+b2)(x2+y2)= a2x2+b2y2+ a2y2+b2x25选：c； 6选：d；7选：c；【解析】同时反向跑的时候，从前向后依次是丙、乙、甲，而它们三人应该同时相遇于出发地所以在遇上丁时，丙还在前面8选：d；【解析】-0，kb0；9选：

10、b；10选：a；【解析】p=+ =+= + = +=m+n，连续整数的和一定是奇数二、填空题(第小题4分，共40分)115； 12162，20；13-2x1-x20；【解析】x-+x+=2，x-+x+可以表示数轴上表示x的点与和-的两点距离的和而和-的距离是2，所以-x，所以，x-=-2，又因为x1x2，x1-x20，所以-2x1-x20144；【解析】与两轴的交点为(0，b)，(，0)，|b|-b |=4，b2=4，b=415x；【解析】由题意得，2a-b0，=，b=a，2a-a0，a0，(a+3b)x+a-2b0，ax-a0，x162；【解析】设正方形的边长为a，sbdp= sbcp+ s

11、cdp-sbcd=a2+a2-a2=-1，a2=4，a=2177；181；【解析】x2= x+1， = = = 119(，-)；【解析】oc=m，oa=2m，ae=ce=5，由m2+(2m-5)2=52，得m=4，ad=oc=4，de=eo=3，可得d(，-)203；【解析】xyx，当x=1时，y，y无整数解；当x=2时，1y1，y无整数解；当x=3时，1y1，y无整数解；当x=4时，2y2，y无整数解；当x=5时，2y3，y无整数解；当x=6时，3y3，y无整数解；当x=7时，3y4， y=4，x-y=3三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)解： -=(m-n)(m+n)=n-

12、m，mn，m+n=-1m3-2mn+n3=m(n+2)-2mn+n(m+2)=2m+2n=-222(本题满分15分) 解：作afbe于f，dc=x，ce=yab=ac=bc，根据勾股定理：x2+72=y2+112=(x+y)2+42 35-11得：35x2+48xy-11y2=0，(5y-x)(7y+11x)=0，x0，y0x=5y代入：得y2=3，y=，x=5，ab2=(6)2+42=124，sabc= ab2=3123(本题满分15分)解： -1，2，3的相反数分别是1，-2，-3，它们都不在这3个整数中，所以满足性质p其中“和整数对”为(-1，3)和(3，-1)；“差整数对”为(2，-1)和(2，3) 设am是这n个整数中的任意一个，(am，ap)是一个有序数对，其中pm，这样的数对共有n-1个所以，这n个数一共有n(n-1)个有序数对若(am，ap)是一个差整数对，则(ap，am)一定不是差整数对，否则不满足