解析几何(圆锥曲线)全国名校高中数学模拟试题汇编

1、2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编圆锥曲线1、已知椭圆c过点是椭圆的左焦点，p、q是椭圆c上的两个动点，且|pf|、|mf|、|qf|成等差数列。（1）求椭圆c的标准方程；（2）求证：线段pq的垂直平分线经过一个定点a；（3）设点a关于原点o的对称点是b，求|pb|的最小值及相应点p的坐标。解：（1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得所以椭圆的标准方程为（2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知同理4分，5分当时，由，得从而有设线段的中点为，由6分得线段的中垂线方程为7分，该直线恒过一定点8分当时，或线段的中垂线是轴，也过点，线段的中垂线过点（3）由，得。又，时，点的坐标为2、如图，在

2、直角坐标系中，已知椭圆的离心率e，左右两个焦分别为过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交m、n两点，且|mn|=1 () 求椭圆的方程；() 设椭圆的左顶点为a,下顶点为b，动点p满足，（）试求点p的轨迹方程，使点b关于该轨迹的对称点落在椭圆上. 解：()轴，,由椭圆的定义得： （2分）， （4分）又得 ， 所求椭圆c的方程为 ()由（）知点a(2,0)，点b为（0，1），设点p的坐标为则，,由4得，点p的轨迹方程为. 设点b关于p的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，解得：， 点在椭圆上， ，整理得解得或 点p的轨迹方程为或， 经检验和都符合题设，满足条件的点p的轨迹方程为或 （15分）3、

3、(上海市张堰中学高2009届第一学期期中考试)椭圆：的两个焦点为、，点在椭圆上，且，且，.（1）求椭圆的方程.（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.解：(1)又（2） 即4、在直角坐标平面内，已知点， 是平面内一动点，直线、斜率之积为. ()求动点的轨迹的方程；()过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.解: ()设点的坐标为，依题意，有 . 化简并整理，得.动点的轨迹的方程是. ()解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为, 6分由方程组 消去，并整理得 设,则 , (1)当时，； (2)当时,.且 . 综合(1)、(2)可

4、知直线的斜率的取值范围是：. 14分解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.(1) 当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； 6分(2) 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, (3) 由方程组 消去，并整理得 设,则 , .且 . 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.5、在直角坐标系xoy中，椭圆c1：=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2f2也是抛物线c2：的焦点，点m为c1与c2在第一象限的交点，且mf2=（）求c1的方程；（）平面上的点n满足，直线lmn，且与c1交于a，b两点，若，求直线l的方程解：（）由：知设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整

5、理得 ， 解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由 消去并化简得 设，因为，所以 所以此时，故所求直线的方程为，或6、已知双曲线，p是其右支上任一点，f1、f2分别是双曲线的左、右焦点，q是p f1上的点，n是f2q上的一点。且有 求q点的轨迹方程。7、已知在平面直角坐标系中，向量，且 .（1）设的取值范围；（2）设以原点o为中心，对称轴在坐标轴上，以f为右焦点的椭圆经过点m，且取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由，得 夹角的取值范围是（）（2） 当且仅当椭圆长轴故所求椭圆方程为.8、椭圆c的中心为坐标原点

6、o，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1, 直线l与y轴交于点p（0，m），与椭圆c交于相异两点a、b，且 （1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围解：（1）设c：1（ab0），设c0，c2a2b2，由条件知ac，a1，bc，故c的方程为：y21 5（2）由，14，3或o点与p点重合= 7当o点与p点重合=时，m=0当3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。设l与椭圆c交点为a（x1，y1），b（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 113 x13x2 消去x2，得3（x1x2

7、）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 13m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m1容易验证k22m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1）0 9、已知一动圆m,恒过点f，且总与直线相切,（）求动圆圆心m的轨迹c的方程；（）探究在曲线c上,是否存在异于原点的两点,当时,直线ab恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解: (1) 因为动圆m,过点f且与直线相切,所以圆心m到f的距离等于到直线的距离.所以,点m的轨迹是以f为焦点, 为准线的抛物线,且,所以所求的轨迹方程为 (2) 假设存在a,b在上,所以,直线ab

8、的方程:,即 即ab的方程为:,即 即:，令,得，所以,无论为何值,直线ab过定点(4,0)10、(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点m(2,1)，平行于om的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于a、b两个不同点.（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线ma、mb与轴始终围成一个等腰三角形. 解：（1）设椭圆方程为则椭圆方程 （2）直线l平行于om，且在轴上的截距为m又l的方程为：由直线l与椭圆交于a、b两个不同点，m的取值范围是 （3）设直线ma、mb的斜率分别为k1，k2，只需证明k1k2=0即

9、可9分设可得而k1k2=0故直线ma、mb与x轴始终围成一个等腰三角形.11、(成都市2009届高三入学测试)已知椭圆的两个焦点、，直线是它的一条准线，、分别是椭圆的上、下两个顶点（）求椭圆的方程；（）设以原点为顶点，为焦点的抛物线为，若过点的直线与相交于不同、的两点、，求线段的中点的轨迹方程，令，消去参数，得到为所求轨迹方程解：（）设椭圆方程为=1(ab0)由题意，得c1，4 a2，从而b23椭圆的方程；（）设抛物线c的方程为x22py(p0)由2 p4抛物线方程为x28y设线段mn的中点q(x,y)，直线l的方程为ykx1由得，（这里0恒成立），设m(x1,y1),n(x2,y2)由韦达定

10、理，得，所以中点坐标为q，x4k,y4k21消去k得q点轨迹方程为：x24(y1)12、如图，设f是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点p，线段mn为椭圆的长轴，已知 （1）求椭圆c的标准方程； （2）若过点p的直线与椭圆相交于不同两点a、b求证：afm=bfn； （3）（理科）求三角形abf面积的最大值。解（1） （2）当ab的斜率为0时，显然满足题意当ab的斜率不为0时，设，ab方程为代入椭圆方程整理得则综上可知：恒有.（3）（理科）当且仅当（此时适合0的条件）取得等号.三角形abf面积的最大值是313、已知圆方程为：.（）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（）过

11、圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为 满足题意 若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得 ， 故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 （）设点的坐标为（），点坐标为则点坐标是 ， 即， 又， 点的轨迹方程是， 轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。 12分14、若为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线左支上，点在右准线上，且满足：. (1)求此双曲线的离心率； (2)若此双曲线过点，且其虚轴端点分别为(在轴正半轴上)，点在双曲线

12、上，且当时，求直线的方程.解：(i)由，知四边形pf，om为平行四边形，又op为f1om的角平分线.则pf1om为菱形.即(ii)由e2有：，双曲线方程可设为，又点n(2，)在双曲线上，双曲线方程为从而b1(0，3)，b2(0，3).共线.设ab的方程为：ykx3且设由， 又：，由得：.15、设椭圆c：的左焦点为f，上顶点为a，过点a与af垂直的直线分别交椭圆c与x轴正半轴于点p、q，且. 求椭圆c的离心率；若过a、q、f三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆c的方程.foapqyx解：设q（x0，0），由f（c，0）a（0，b）知 设，得 因为点p在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2c

13、2)=3ac，,故椭圆的离心率e=由知， 于是f（a，0） q，aqf的外接圆圆心为（a，0），半径r=|fq|=a 所以，解得a=2，c=1，b=，所求椭圆方程为16、设椭圆方程为=1，求点m（0，1）的直线l交椭圆于点a、b，o为坐标原点，点p满足，当l绕点m旋转时，求动点p的轨迹方程.解：设p（x，y）是所求轨迹上的任一点，当斜率存在时，直线l的方程为y=kx1，a（x1，y1），b（x2，y2），联立并消元得：（4k2）x22kx3=0， x1x2=y1y2=，由 得：（x，y）=（x1x2，y1y2），即：消去k得：4x2y2y=0当斜率不存在时，ab的中点为坐标原点，也适合方程所以

14、动点p的轨迹方程为：4x2y2y= 017、已知椭圆c:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.解：（）设椭圆的半焦距为，依题意 ， 所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述 当最大时，面积取最大值18、已知长方形abcd, ab=2, bc=1. 以ab的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以a、b为焦点，且过c、d两点的椭圆的标准方程;oabcd图8()过点p(0,2)的直线交(

15、)中椭圆于m,n两点,是否存在直线,使得以弦mn为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解：()由题意可得点a,b,c的坐标分别为.1分设椭圆的标准方程是.2分则4分.5分椭圆的标准方程是 ()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.7分oabcd图8设m,n两点的坐标分别为联立方程: 消去整理得,有若以mn为直径的圆恰好过原点,则,所以,10分所以,即所以,即11分 得所以直线的方程为,或.所以存在过p(0,2)的直线:使得以弦mn为直径的圆恰好过原点. 14分19、已知向量，经过定点且方向向量为的直线与经过定点且方向向量为的直线交于点m，其中r，常数a0.（1）求

16、点m的轨迹方程；（2）若，过点的直线与点m的轨迹交于c、d两点，求的取值范围.设点，又，故，消去参数，整理得点的轨迹方程为（除去点）（2）由得点m轨迹方程为（除去点），若设直线cd的方程为，则由消去y得，显然，于是，设，因此，即若直线轴，则，于是，综上可知.20、如图，已知直线的右焦点f，且交椭圆c于a，b两点，点a，f，b在直线上的射影依次为点d，k，e. （1）若抛物线的焦点为椭圆c的上顶点，求椭圆c的方程； （2）对于（1）中的椭圆c，若直线l交y轴于点m，且，当m变化时，求的值； （3）连接ae，bd，试探索当m变化时，直线ae、bd是否相交于一定点n？若交于定点n，请求出n点的坐标，

17、并给予证明；否则说明理由.解：（1）易知 （2）设又由同理 （3）先探索，当m=0时，直线lox轴，则abed为矩形，由对称性知，ae与bd相交fk中点n，且猜想：当m变化时，ae与bd相交于定点证明：设当m变化时首先ae过定点na、n、e三点共线同理可得b、n、d三点共线ae与bd相交于定点21、设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程；（2）椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.解:(1)依题意知, . 所求椭圆的方程为. （2） 点关于直线的对称点为， 解得：，. . 点在椭圆:上, 则.的取值范围为. 22、设动点到定点的距离比它

18、到轴的距离大记点的轨迹为曲线（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在的轨迹上，是圆在轴上截得的弦，当运动时弦长是否为定值?请说明理由解：（1）依题意，到距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线（2分） 曲线方程是（2）设圆心，因为圆过故设圆的方程令得：设圆与轴的两交点为，则 在抛物线上， （13分） 所以，当运动时，弦长为定值2 24已知双曲线g的中心在原点，它的渐近线与圆相切，过点p(4,0)作斜率为的直线l，使得l和g交于a、b两点，和y轴交于点c，并且点p在线段ab上，又满足（1）求双曲线g的渐近线方程（2）求双曲线g的方程（3）椭圆s的中心在原点，它的短轴是g的实轴

19、，如果s中垂直于l的平行弦的中点轨迹恰好是g的渐近线截在s内的部分，求椭圆s的方程。解：(1)设双曲线g的渐近线方程为y=kx，则由渐近线与圆相切可得，所以，故渐近线方程为(2)由（1）可设双曲线g的方程为，把直线l的方程代入双曲线并整理得则 （1）,p、a、b、c共线且在线段ab上即整理得将（1）式带入得m=8故双曲线g的方程为(3)由提议可设椭圆方程为设弦的端点分别为，mn的中点为，则，作差得故垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线截在内的部分。又由题意，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分即25设点动圆p经过点f且和直线相切，记动圆的圆心p的轨迹为曲线w.()求曲线w的方程；()过点f作互相垂直

20、的直线，分别交曲线w于a，b和c，d.求四边形abcd面积的最小值.解：()过点p作pn垂直于直线于点n,依题意得 所以动点p的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线 3分 即曲线w的方程是 ()依题意，直线l1,l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为 6分由l1l2得l2的方程为 将 设 同理可得 四边形abcd的面积当且仅当故四边形acbd面积的最小值是72 26、已知a、b、c是椭圆上的三点，其中点a的坐标为，bc过椭圆m的中心，且。（）求椭圆的方程；（）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点p，q，设d为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围。解（）过（0，0） 则oca

21、=90， 即 又将c点坐标代入得 解得 c2=8，b2=4椭圆m： （）由条件d（0，2） m（0，t）1当k=0时，显然2t2 2当k0时，设 消y得 由0 可得 设则 11分由 t1 将代入得 1t4t的范围是（1，4）综上t（2，4） 27、已知圆o：，点o为坐标原点,一条直线：与圆o相切并与椭圆交于不同的两点a、b （1）设,求的表达式； （2）若，求直线的方程； （3）若，求三角形oab面积的取值范围.解 （1）与圆相切,则,即,所以.（2）设则由，消去得:又，所以 5分则由, 所以所以 7分所以. 8分（3）由（2）知： 所以10分由弦长公式得所以解得12分28、已知点p与定点f的

22、距离和它到定直线l: 的距离之比是1 : 2.(1)求点p的轨迹c方程;(2)过点f的直线交曲线c于a, b两点, a, b在l上的射影分别为m, n. 求证an与bm的公共点在x轴上.解：(1) 如图(1) 设p点的坐标为, 则由题设得:,化简得: , 即即. 点p的轨迹c的方程是.(2) 当ab轴时, a、b的坐标分别为, ,an与bm的交点为在x轴上.当ab不垂直于x轴时,设直线ab的方程为,代入椭圆,得设, , 则, ,且 直线an方程是, 直线bm方程是.联列, 得, 消去y, 得: .即 即,把代入直线an的方程得 an与bm交于点是x轴上一定点. (2) 解法二: 如图(2) 当

23、ab不垂直于x轴时,设afn, 则am2n, 设bfm, 则bn2m,在abn和bam中, fham, fh1bn,abnafh和bambfh1同理可推, , ,h与h1重合，an与bm交点是x轴上一定点. 29、已知ab是椭圆上两点，o是坐标原点，定点，向量在向量方向上的投影分别是mn ，且7mn ，动点p满足（）求点p的轨迹c的方程；（）设过点e的直线l与c交于两个不同的点mn，求的取值范围。解（）设 ，向量在向量方向上的投影分别是mn,且，m=，n=由于7mn ，所以，即 点p的轨迹c的方程是。 6分（）点p的轨迹c的方程是，轴时，l与c没有交点，可设l：,再设,8分由得，解得，且有，,

24、的取值范围是tesoon天星om权天星om权t 天星版权tesoontesoontesoon天星30、设a，b分别是直线和上的两个动点，并且，动点p满足记动点p的轨迹为c（i） 求轨迹c的方程；（ii）若点d的坐标为（0，16），m、n是曲线c上的两个动点，且，求实数的取值范围解：（i）设p（x，y），因为a、b分别为直线和上的点，故可设，又，即曲线c的方程为（ii） 设n（s，t），m（x，y），则由，可得（x，y16）= (s，t16) 故， m、n在曲线c上， 消去s得 由题意知，且， 解得 又 ， 解得 （） 故实数的取值范围是（）31、已知a、b分别是椭圆的左右两个

25、焦点，o为坐标原点，点p）在椭圆上，线段pb与y轴的交点m为线段pb的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点c是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于abc，求的值。解：（1）点是线段的中点 是的中位线又 2分 椭圆的标准方程为=16分（2）点c在椭圆上，a、b是椭圆的两个焦点acbc2a，ab2c2 在abc中，由正弦定理， 10分 12分32、(七中2009届高三零诊模拟考试)已知抛物线y=x2上的两点a、b满足=l,l0,其中点p坐标为(0,1),=,o为坐标原点.(i) 求四边形oamb的面积的最小值;(ii) 求点m的轨迹方程.解:()由=l知a、p、b三点在同一条直线上,设该直线方程为

26、y=kx1,a(x1,x12),b(x2,x22).由得x2kx1=0,x1x2=k,x1x2=1,=x1x2x12x22=1(1)2=0,.又oamb是平行四边形,四边形oamb是矩形,s=|=x1x2=.当k=0时,s取得最小值是2. 6分()设m(x,y),消去x1和x2得x2=y2,点m的轨迹是y=x22 6分33、(成都市高三年级期末综合测试)已知椭圆的一个顶点为a（0，1），焦点在x轴上.若右焦点到直线 的距离为3.求椭圆的方程;设椭圆与直线相交于不同的两点m、n.当时，求m的取值范围.解（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点f（）由题设 解得 故所求椭圆的方程为（2）设p为弦mn

27、的中点，由 得 由于直线与椭圆有两个交点，即 从而 又，则 即 把代入得 解得 由得 解得 .故所求m的取范围是（）34、已知抛物线y=x2上的两点a、b满足=l,l0,其中点p坐标为(0,1),=,o为坐标原点.(1)求四边形oamb的面积的最小值;(2)求点m的轨迹方程.解:()由=l知a、p、b三点在同一条直线上,设该直线方程为y=kx1,a(x1,x12),b(x2,x22).由得x2kx1=0,x1x2=k,x1x2=1,=x1x2x12x22=1(1)2=0,.又oamb是平行四边形,四边形oamb是矩形,s=|=x1x2=.当k=0时,s取得最小值是2. ()设m(x,y),消去

28、x1和x2得x2=y2,点m的轨迹是y=x22 35、已知，动点满足.（）求动点的轨迹的方程；（）过点作直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；（）设为曲线在第一象限内的一点，曲线在处的切线与轴分别交于点，求面积的最小值.解：（）动点的轨迹的方程为 ； （）解法1 当直线的斜率不存在时，,，不合题意；当直线的斜率存在时,设过的直线：，代入曲线的方程得设，则， 解得 故所求的直线的方程为；解法2 当直线为轴时， ， 不合题意；当直线不为轴时，设过的直线：，代入曲线的方程得设，则 = 解得 故所求的直线的方程为；（）设由得处曲线的切线方程为 令得 ； 令得 .由 ， 得.故面积的最小值为236、如图

29、所示，已知圆为圆上一动点，点p在am上，点n在cm上，且满足的轨迹为曲线e.（i）求曲线e的方程；（ii）若过定点f（0，2）的直线交曲线e于不同的两点g、h（点g在点f、h之间）， 且满足，求的取值范围.(解)（1）np为am的垂直平分线，|na|=|nm|.又动点n的轨迹是以点c（1，0），a（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线e的方程为（2）当直线gh斜率存在时，设直线gh方程为得设，又当直线gh斜率不存在，方程为37、已知定点a（2，0），动点b是圆（f为圆心）上一点，线段ab的垂直平分线交bf于p. （1）求动点p的轨迹方程； （2）是否存在过点e（0，4）的直线l交p点的轨迹于点r，t，且满足 （o为原点），若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.(解)22解：（