矿井通风系统的稳定性分析

1、毕业论文 矿井通风系统的稳定性分析 摘要 由于矿产资源不可再生，人们为获取更多的资源，将向深部开采发展，矿井通风 网络势必越来越复杂。矿产资源的大规模开采与综合利用，给人类带来了大量的物质财富， 同时也给矿井通风系统提出了许多急需要解决的问题，如井下工作面空气质量，深部通风， 矿井降温，井下劳动保护等问题，这些问题的解决都要依托于对矿井通风系统深入研究。一 个工作稳定的矿井通风系统是解决这类问题的前提，因此，对矿井通风系统稳定性进行分析 具有特别重要的理论意义和现实意义。 当矿井通风系统的特征参数发生变化时，矿井通风系统的风流状态也会发生变化，这些 变化是否会影响矿井通风系统的稳定工作，对这个

2、问题进行研究有利于确保安全生产。本文 首先分析影响矿井通风系统稳定性的因素，如自然风压、通风网络等展开分析，然后提出了 矿井通风系统的稳定性理论，根据lyapunov稳定性理论和对自然风压、通风网络建立数学模 型对矿井通风系统的稳定性进行分析，得到矿井通风系统在其正常的工作区段，系统特征参 数发生一定的变化时，其状态是稳定的；当变化超过一定的界限后，系统变得不稳定，不利 于系统正常功能的实现。 关键词 矿井通风系统 自然风压 角联分支 通风网络 风阻 lyapunov 稳定性 理论 毕业论文 1 the stability analyses of mine ventilation system

3、 abstract because the mineral resource is non-renewable, the people for gaining more resources, to the depth portion mining development, and the mine ventilation network inevitably will be complex. mineral resource large-scale mining and the comprehensive utilization have brought the massive materia

4、l wealth to the humanity, but the mine ventilation systems urgent needs need to solve the question, like the mine shaft working surface air quality, the depth portion ventilates, the mine pit temperature decrease, questions and so on underground labor protection, and these question solutions all mus

5、t depend on the research of the mine ventilation system .a work stable mine ventilation system can solve this kind of question , therefore it has the specially important theory significance and the practical significance on the analyses about the stability of mine ventilation system. when the charac

6、teristics of mine ventilation system parameters change, the mine ventilation system will be the romantic state of change, these changes will affect the stability of the mine ventilation system work, researching on this question will help to ensure safety in production. this article first analyze the

7、 impact of the mine ventilation system stability factors, such as natural air pressure, ventilation network analyses carried out, and then putting forward a mine ventilation system stability theory, and it carried out the analyses on the system of mine ventilation depending on the lyapunovs theory a

8、nd the model of natural pressure and the model of networks on the mine ventilation, receiving the normal working section about the mine ventilation system. in certain parameters is stable ,but changes in the boundaries more than a certain level, the system becomes unstable, and it does not conducive

9、 to the realization of the normal function of the system. key words mine ventilation system natural wind pressure diagonal branch ventilation network drag lyapunov stability theory 毕业论文 2 目 录 第一章 绪论.1 1.1 矿井通风系统稳定性研究综述 .1 1.2 矿井通风稳定性国内外研究的现状 .1 1.3 矿井通风稳定性研究内容与方法 .2 1.4 矿井通风系统稳定性研究中存在的问题 .3 第二章 矿井通风

10、系统稳定性影响因素分析.4 2.1 矿井通风系统特点 .4 2.2 自然风压 .6 2.2.1 矿井自然风压形成 .6 2.2.2 矿井自然风压原理 .6 2.3 矿井通风网络 .7 2.3.1 串联通风网络 .7 2.3.2 并联通风网络 .8 2.3.3 角联结构 .8 第三章 矿井通风系统稳定性及敏感度理论.11 3.1 李亚普诺夫稳定性的基本概念 .11 3.2 范数 .12 3.3 李亚普诺夫稳定性定义 .13 3.3.1 李亚普诺夫意义下稳定 .13 3.3.2 渐近稳定 .14 3.3.3 大范围渐近稳定性 .15 3.3.4 不稳定性 .15 3.4 李亚普诺夫稳定性定理 .1

11、6 3.4.1 二次型函数及二次型的矩阵表达式 .16 3.4.2 标量函数 xv 的符号和性质 .17 3.5 矿井通风系统中的李亚谱诺夫稳定性 .17 第四章 矿井通风系统稳定性分析应用.19 4.1 基于 lyapunov的矿井通风系统稳定性分析 .19 4.1.1 通风网络的集合表示 .19 4.1.2 通风系统状态方程 .22 4.1.3 矿井通风系统模型 .23 4.1.4 矿井通风系统 lyapunov 稳定性 .24 4.2 基于通风网络的矿井通风系统稳定性分析 .26 4.2.1 简单角联网络 .26 4.2.2 角联巷道风流的稳定性分析 .27 4.3 自然风压对矿井通风系

12、统稳定性的分析 .28 结论.31 致谢语.32 参考文献.33 毕业论文 3 第一章 绪论 1.11.1 矿井通风系统稳定性研究综述矿井通风系统稳定性研究综述 矿井通风中的系统稳定性与控制论中的系统稳定性是两个不同的概念，系统稳定性分析 是控制论中一个很重要的概念，控制论中的系统稳定性，主要是研究系统受瞬时外力影响而 偏离平衡状态后，系统回到原平衡状态的能力。矿井通风中的系统稳定性分析的是在持续的 外力、通风结构或通风参数等变化时，系统中各参数的变化情况。国内外学者对此做了大量 的研究工作，有很多研究成果，其中以前苏联学者李亚普诺夫稳定性理论最为突出。国内外 矿井通风专家对矿井通风系统稳定性

13、分析做了大量研究，分析方法大多采用数学分析法1。 刘剑认为矿井通风系统是一个动态过程，系统内各参数是随时间而变化的，研究它们的 变化过程与变化规律就是稳定性分析。同时针对不同的矿井通风网络形式，不同的矿井通风 网络规模，建立其稳定性分析的数学模型。网路中的每一次变化都遵循风流流动的基本规律， 即符合阻力定律、风量平衡定律和风压平衡定律。对矿井通风网络的稳定性研究主要讨论网 路中风流稳定性，它包括风量和风流方向两部分。吴超教授认为，矿井通风网络中某一分支 风阻的变化可能导致自身或相关分支、甚至网络中所有分支的风量变化，变化程度的度量指 标为灵敏度。在对矿井通风网络分支灵敏度进行深入分析的基础上，

14、给出了使某一条分支风 流保持稳定、整个矿井通风网络保持稳定的判别式，进行了两分支之间稳定性比较和两矿井 通风网络稳定性比较，对于通风系统稳定性分析、提高日常通风管理具有重要意义。 由于资源开采向深处发展，出现了许多新问题，作为矿山传统八大系统之一的通风系 统与劳动者的身心健康密切相关，得到了高度重视，新的形势呼唤新的解决问题的途径。同 时，深部开采环境发生了根本变化，从经典场转化为耗散场，系统内部变化难以把握。耗散 结构理论在其他的非线性领域得到了较好的应用，取得了丰硕的成果。 1.21.2 矿井通风稳定性国内外研究的现状矿井通风稳定性国内外研究的现状 早期的矿井通风系统的研究中，矿井通风系统

15、稳定性和可靠性没有明确界定。为比较全 面了解矿井通风系统稳定性的研究现状，把矿井通风系统可靠性也纳入综述范围，可以为矿 井通风系统稳定性影响因素分析提供指南2。 20世纪30年代初可靠性理论作为一门独立的工程基础学科于率先在美国形成。最初， 毕业论文 4 它运用统计方法于工业产品的质量控制中。第二次世界大战期间，许多复杂系统，如航空电 子设备、通信系统以及武器系统，都暴露出低下的可靠性水平，特别是于20世纪五六十年代 着手实施各类太空研究计划，成为了推动可靠性工程兴起和发展的主要动力。1965年，国际 电工委员会（iec）可靠性专业委员会的成立，标志着可靠性技术成为了一门国际化技术。 目前，可

16、靠性工程技术理论已逐渐渗透到了宇航、电子、化工、机械、建筑等许多大型系统 领域，形成了一门较为新兴的学科可靠性工程。如工业现代化程度较高的日本，其可靠性技 术发展是在第二次世界大战以后开始进行的，他们专门设立了对策委员会来管理产品及设备 的质量问题，使得其工业设备能更加安全可靠的运转，工业技术、特别是机电产品技术逐渐 处于国际领先地位。而德国发展可靠性工程是从系统可靠性研究开始的，为了提高德国火箭 的可靠性，发展了定量的、用统计方法处理的基本原理。 前苏联在这方面研究的较早，他们将矿井通风系统的可靠性定义为：矿井通风系统在运 转过程中保持其工作参数值的能力，以维持井下所必须清洁风量的供应。并将

17、通风系统的失 效按重要性分为三级：一级失效是指整个矿井失效；二级失效是指矿井的很大部分失效（一 个煤层、一翼、一个矿层）；三级失效是指矿井的个别采区失效。他们所采用的评定方法主 要有结构法、模拟模型法以及统计评价法等。 我国矿井通风领域可靠性研究也是从20世纪80年代开始的。北京理工大学、中国矿业 大学、中国煤炭科学研究总院的抚顺分院、东北大学和辽宁工程技术大学等科研院所与现场 实际相结合，在矿井通风系统可靠性指标确定、通风系统可靠性基础理论研究以及不确定性 环境下矿井通风网络分风理论研究等方面都进行了有益探讨。以上研究在一定程度上借鉴了 机械、电子等领域的可靠性研究成果和结论。目前对矿井通风

18、系统稳定性进行的定性研究多， 定量研究少，尚无一个统一的标准来衡量矿井通风系统稳定性。 1.31.3 矿井通风稳定性研究内容与方法矿井通风稳定性研究内容与方法 在矿井通风系统稳定性方面，主要集中在角联风向的判断上，对整个矿井通风系统稳定 性分析不深入，特别是正常生产时期。矿井通风系统的复杂性、动态性、通风外部条件和通 风参数的多变性，对矿井通风系统稳定性有很大影响。矿井通风系统风流稳定性依然是一个 困扰着矿井通风界的比较复杂的研究课题。特别是随着全社会安全意识的加强，对矿井通风 带来的灾害的关注程度也相应地提高。矿井通风系统稳定性及其灾害研究所面临的形势仍很 严峻，开展这方面的研究无论对矿井通

19、风理论发展，还是对矿山矿井通风应用的意义都是不 毕业论文 5 言而喻的。要提高正常生产时期矿井通风系统稳定性，确保井下用风安全，预防矿井通风事 故的发生，设计出更加稳定的矿井通风系统，提高日常通风管理工作水平2,3。 通风系统的稳定性，是指当系统的某些参数(主要是风阻)发生变化时，引起系统的状 态变量发生变化的程度，当改变通风网络中的分支风阻时，不仅会使风量和风压的大小发生 变化，而且可能会使某些分支的风向也发生变化，不能满足生产的需要。长期以来，对通风 系统稳定性问题一般采用传统的方法进行研究，如基于敏感性和灵敏度的通风系统稳定性分 析。这些方法对解决矿井通风系统稳定性分析有一定的指导意义，

20、但在处理非线性通风系统 时，显得不足。为解决这个问题，国内外学者很早就开始采用非线性系统科学方法对稳定性 问题进行研究，特别是近十年来，非线性系统科学方法已成为复杂系统研究的主要热点之一。 虽然稳定性的概念并不十分复杂，但要确定由非线性方程组所描述的体系的稳定性却并不是 一件容易的事。因为大多数非线性微分方程组(尤其是偏微分方程组)是不可能或很难精确求 出其解的解析表达式，这使得直接从特定的动力学方程组作稳定性分析十分困难，通常采用 数值计算的方法来逼近真实解。文章应用lyapunov稳定性理论对复杂矿井通风系统进行分析， 得到矿井通风网络的稳定性情况，为矿井通风的高效、可靠工作提供依据。 1

21、.41.4 矿井通风系统稳定性研究中存在的问题矿井通风系统稳定性研究中存在的问题 目前，我国对矿井通风实践中的某些稳定性技术指标尚无统一的标准，如火与瓦斯事故、 主要通风机故障、通风构筑物故障以及主要用风场所供风不足等发生的最小允许概率等。如 何具体确定这些数值，目前在国内还是一项空白，无相关资料可参考借鉴。而我国对电子元 器件故障率等指标已有了统一规定，这也是矿井可靠性研究应努力的方向。当然由于煤矿不 确定因素较多，要确定一些具体的可靠性指标存在一定困难。 对矿井通风系统可靠性的分析研究从“热”到“冷”，至今已从事多年，尽管各科研 院所的科技人员在长期的从事矿井通风系统可靠性研究方面取得了一

22、些成果，但由于系统本 身突出的随机特性、时变特性及各影响因素之间的强耦合特性，使得许多实际问题未能从理 论和技术上很好地解决，一定程度上限制了可靠性研究的推广和应用。 毕业论文 6 第二章 矿井通风系统稳定性影响因素分析 由于矿产资源不可再生，人们为获取更多的资源，将向深部开采发展，矿井通风网络势 必越来越复杂。矿产资源的大规模开采与综合利用，给人类带来了大量的物质财富，同时也 给矿井通风系统提出了许多急需要解决的问题，如井下工作面空气质量，深部通风，矿井降 温，井下劳动保护等问题，这些问题的解决都要依托于对矿井通风系统深入研究。一个工作 稳定的矿井通风系统是解决这类问题的前提，因此，对矿井通

23、风系统稳定性进行分析具有特 别重要的理论意义和现实意义4。 在矿井内风流质量符合规程要求时,矿井通风系统的不稳定就直接表现为分支中风 流的不稳定。矿井通风系统风流不稳定表现为井巷中风流方向发生变化或风量大小发生变化， 且其变化幅度超过了允许范围。矿内风流的不稳定现象可分为正常生产时期与灾变时期的不 稳定现象。正常时期风流不稳定现象按其产生原因又分为由于动力工作不稳定引起的不稳定 和由于通风网络引起的不稳定现象。自然风压是引起通风动力工作不稳定的一个因素，稳定 性分析中，矿井通风系统是一种非线性动态变化系统，矿井通风系统的通风网络复杂程度是 决定矿井通风系统风路稳定性的根本因素，而角联分支则是划

24、分网络为简单网络还是复杂网 络的标志（我们把含有角联分支的网络称为复杂网络，反之则为简单网络）。所以通风系统 稳定性评价问题可以归结为通风系统网络复杂度判别问题，也就是说可以通过角联结构的判 别评价矿井通风系统的稳定性。 2.2.1 1 矿井通风系统特点矿井通风系统特点 随着开采深度的增加，矿井通风系统愈来愈复杂，这是矿业发展的必然结果。矿井通风 系统的目的就在于为井下工作面提供一个最低限度的、确保生产人员健康、安全的工作环境， 因此，矿井通风系统的运行状态对确保生产安全极为重要。矿井通风系统是一个复杂、随机、 不稳定、开放的动态系统5。 （1）矿井通风系统的复杂性 矿井通风系统是由诸多变量组

25、成的一个复杂大系统，对我国大型矿井通风系统而言，网 络分支可达上千条，网络节点数近千个，角联分支数约占总分支数 15%45%，全矿巷道长 度约为 50200km，矿井通风设施数目数几十个，用风地点一般有 1540 个，甚至上百个， 开采深度从 40100 多米不等，大多数矿山开采的自然条件恶劣、褶曲、断层、沉陷等地质 毕业论文 7 构造复杂，通风系统中的构、建筑物，设备、运输设备运行，巷道变形等诸多因素使通风系 统成为一个复杂的系统。 （2）矿井通风的随机性 矿井通风系统在运行过程中，有些特征参量的变化是随机的，无法进行精确预测，即特 征参量变化没有确定的规律。通风系统动态变化的随机性，往往是

26、由于某些突发性由矿井通 风系统定性影响因素分析事故和灾害引起的，如由于供电网电压波动而引起的风机不稳定运 转，网路与风机不匹配而引发的风机喘振和谐振，生产过程中一些非人为能控制的过程，如 井筒中箕斗、罐笼上下运行的活塞效应、运矿运料运输设备在巷道中运行对风流的扰动、下 风门通行过程中的开、闭，两道风门同时频繁地开闭而引起的风流振荡短路等现象，高冒、 突然坍塌阻塞和矿井火灾等事故。这些现象一般通过改变矿井通风系统中的分支风阻来影响 矿井通风系统的稳定性。这些现象和事故多半是以瞬变性为特点，对矿井通风系统造成扰动 和冲击，在严重的情况下甚至会损毁通风系统，致使通风系统陷于瘫痪。 (3)矿井通风统的

27、开放性 一个矿井通风系统假设没有自然风压的作用或没有风机运转，即系统没有与外界有物质 和能量交换，可以视为一个封闭系统。处于这种状态的通风系统，没有风流存在，无法给工 作面提供新鲜空气，排出被污染的空气，故不能满足生产通风的需要。当矿井通风系统受到 自然风压作用或者通风系统中有风机运转时，风机消耗了大量能量，新鲜空气经通风系统的 进风段，到达用风工作面，污浊气体经回风道排出系统，维持着一个输入、输出的体系结构， 故可以把通风系统看成一个开放系统。 (4)矿井通风系统的非稳定性 由于矿井通风系统的开放性，系统受到内外条件的影响，使矿井通风系统的输入参数发 生变化，使运行状态变得不稳定。如当外界电

28、网波动时，导致矿井主风机工况点变化，势必 会影响整个通风系统的有效风量和工作风压;巷道的变形导致风阻的变化，影响矿井通风系 统的风量分配，影响工作面的有效供风量，通风构、建筑物状态的变化，提升系统中产生的 活塞风速等对矿井通风系统的稳定性必然会有或多或少的影响。 (5)矿井通风系统的动态性 矿井通风系统网络结构随着生产的进行而不断发生变化。采掘工作面不断推进、接替、 采区准备、投产、结束与接替，矿井开拓延伸，通风构筑物的砌筑和拆除等工程的不断进展 使矿井通风系统的网络结构随时间发生变化，也引起矿井通风参数，如风量分配等发生变化。 此外，由于采矿活动的影响，通风巷道受压 毕业论文 8 变形、断面

29、变化，冒顶事故时有发生;通风设施变形，漏风率增大;各种通风设备也因磨损、 锈蚀导致功能衰退;随着时间的推进，通风机性能也逐渐衰退，从而使系统的通风参数发生 变化，而且各参数变化是随机的。可见矿井通风系统是一个动态的随机系统。 2.22.2 自然风压自然风压 2.2.1 矿井自然风压形成 风流从气温较低的井筒进入矿井，从气温较高的井筒流出。不仅如此，在正在开凿的立 井井筒中，冬季风流会沿井筒中心一带进入井下，而沿井壁流出井外；夏季风流方向正好相 反。这是由于空气温度与井筒围岩温度存在差异，空气与围岩进行热交换，造成进风井筒与 回风井筒、井筒中心一带与井壁附近空气存在温度差，气温低处的空气密度比气

30、温高处的空 气密度大，使得不同地方的相同高度空气柱重量不等，从而使风流发生流动，形成了自然通 风现象6。 2.2.2 矿井自然风压原理 由于矿井空气与大气相通，因此大气的变化也影响到井下通风系统，特别是地面空气 的温度直接影响矿井空气的温度从而影响矿井空气的密度，由于进回风侧空气柱的密度不同 造成重力差，形成了矿井自然风压。一般情况下，在夏天，自然风压为负，不利于矿井通风;在 冬天，自然风压为正，有利于矿井通风。 图2-1 自然风压原理图 毕业论文 9 2.32.3 矿井通风网络矿井通风网络 矿井通风网络分为串联通风网络、并联通风网络、角联通风网络，下面分别介绍一下矿 井通风网络。它们对矿井通

31、风系统稳定性应用将在第四章介绍7。 2.3.1 串联通风网络 由两条或两条以上的分支彼此首尾相连，中间没有分节点的线路称为串联网络。 串联网络有如下特性： (1)总风量等于各分支的风量，即 n mmmmsm 321 当各分支的空气密度相等时，或将所有风量换算为同一标准状态的风量后，即 ,m3/s n321 qqqqqs (2)总风压等于各分支风压之和，即 n i in hhhhhhs 1 321 (3)总风阻等于各分支风阻之和，即 n i in s s rrrrr q h rs 1 3212 图2-2 串联通风网络 毕业论文 10 2.3.2 并联通风网络 （1）总风量等于各分支风量之和，即

32、=ms n321 mmmm n i i m 1 当各分支的空气密度相同时，或将所有分量换算成同一标准状态的分量后， =qs n321 qqqq n i i q 1 （2） 总风压等于各分支风压，即 n hhhhhs 321 （3） 并联风网总风阻与各分支风阻的关系: rs= 2 321 2 1111 1 n rrrr qs hs 2 1 1 1 n i i r 图2-3 并联通风网络 一个矿井通风网络中，都同时存在着串联风网和并联风网。在同样的分支风阻和总风量 条件下，若干分支并联时的总阻力也远小于他们串联时的总阻力。因此在有条件的情况下， 应尽量采用并联风网，以降低矿井通风阻力。 2.3.3

33、 角联结构 我们引出角联分支在矿井通风网络中的定义：在矿井通风网络g =(v, e)中，当某些分 毕业论文 11 支e 的风阻r在(0,+)区间发生变化时，能引起网络中的另一些分支e 的流向 e e 发生变化，则集合中的分支叫做角联分支,集合e中的分支称为角联分支的关联分支。 e 角联网络分为简单角联网络和复杂角联网络。 图2-4 角联通风网络 图2-5 结构图 我们把网络g =(v,e)中与图2-4同构，亦即具有相同拓扑关系的子图称作角联结构，因 为它形如“”，所以也称结构。拓扑关系完全与结构相同的子图并不多见，为此我们 把图2-4中的分支用相应的通路代替，构造一个广义的结构七元组，如图2-

34、5所示。图中， 是节点集合，表示有任意多个节点，也可以是0 个。图2-4和图2-5的对照关系如表2-1所 示。 通常把角联结构写成= (pl , pr , pd , z, , , ) zv v 表2-1 角联结构七元组 左分支右分支角联分流汇流左关联点右关联点 图2-43, 1 ee4, 2 ee5e1v4v2v3v 图2-5plprpdz z v v 毕业论文 12 图2-6 结构相似图 角联分支的特点是流向不稳定，所以复杂网络稳定性的核心问题归结为角联结构问题。 角联分支在火灾、风阻变化等条件下可能发生风流方向的改变，这对正常通风条件下的风流 稳定性及通风管理是不利的。大量角联分支的存在，

35、势必使得网路变得复杂，因此这里用角 联分支占分支总数的百分比作为通风网路的复杂度指标。即通风网路复杂度指标rf z 为： = fz r n nj 式中 角联分支数； j n n通风网路分支总数。 毕业论文 13 第三章 矿井通风系统稳定性及敏感度理论 如前所述，矿井通风系统是一个复杂非线性动态系统，开展矿井通风系统稳定性分析， 必需系统稳定性理论作指导。定性理论和稳定性理论的共同特点是在不求出方程的解的情况 下，直接根据微分方程本身的结构和特点，来研究其解的性质。由于这种方法的有效性，近 一百多年来，已经称为常微分方程发展的主流。本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概 念和基本方法作简单介绍，

36、并将在第四章内作为矿井通风系统稳定性分析的基础理论8。 3.13.1 李亚普诺夫稳定性的基本概念李亚普诺夫稳定性的基本概念 稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。对 于系统自由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入，系统的齐次0u 状态方程为 （3-),(txfx 1） 式中，x 为 n 维状态向量，且显含时间变量 t；为线性或非线性，定常或时变的 n 维),(txf 函数，其展开式为 ， （3- 12 (, ) iin xf x xx tni, 1 2） 式（3-1）的解为 （3-3） 00, ;txttx 式中，为初始时刻，为状态向量的初始值

37、。 0 t 00 xtx 式（3-3）描述了系统式（3-1）在 n 维状态空间的状态轨迹。若在式（3-1）所描述的系统 中，存在状态点，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化， e x 即，该类状态点即为系统的平衡状态，即：若系统式（3-1）存在状态向量,0 e xx x e x e x 对所有时间 t,都使 （3-0,txf e 毕业论文 14 4） 成立，则称为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确定的点，成为平衡点。 e x 式（3-4）为确定式（3-1）所描述系统平衡状态的方程。 对于线性定常系统 （3-axx 5） 其平衡状态应满足代数方程，如果 a 非奇异

38、，则系统存在唯一的平衡状态 e x0 e ax ，即状态空间原点为系统唯一的平衡点；但若 a 奇异，则系统存在无穷多个平衡状态。0 e x 对非线性系统，平衡方程式（3-4）的解可能有多个，视系统放出那个而定。 【例例 3-13-1】设系统的状态方程为，求其平衡状态。 3 2212 11 xxxx xx 解 其平衡方程满足平衡方程式（3-4） ，即 ，即 0 0 3 2212 11 xxxx xx 0 0 3 221 1 xxx x 解之，得系统存在 3 个孤立的平衡状态 ， 0 0 1e x 1 0 2e x 1 0 3e x 3.23.2 范数范数 n 维状态空间中，向量的长度（即到坐标原

39、点的距离）称为的范数，并用表示，xxxx 即 （3-2 1 22 2 2 1 xxxxxx t n 6） 毕业论文 15 而向量的长度（即到的距离）称为为的范数，并用表示， e xxx e x e xx e xx （3- 22 22 2 11enneee xxxxxxxx 7） 在 n 维系统的平衡状态，若用点集表示以为中心、为半径的超球域，那么， s e x ，则表示 sx （3- 22 22 2 11enneee xxxxxxxx 8） 设为系统的平衡状态，有扰动使系统在时的状态为，若用点集表 e x 0 tt 00 xtx s 示以为中心、为半径的闭球域，那么，系统的初始条件,则可用初始

40、偏差向量 e x sx 0 的范数表示，即 e xx （3- e xx0 9） 另外，用点集表示以为中心、为半径的闭球域，那么，若式（3-1）的解 s e x ,即系统式（3-1）在 n 维状态空间中从初始条件出发的运动轨 stxttx 00, ; 00,x t 迹均位于闭球域内，则可用范数表示为 s （3-10） 000 ,;ttxtxt e 3.33.3 李亚普诺夫稳定性定义李亚普诺夫稳定性定义 3.3.1 李亚普诺夫意义下稳定 设为动力学系统式（3-1）的平衡状态，若对任意实数，都对应存在另一实数 e x0 ，使当0),( 0 t （3- 00 ,txx e 11） 毕业论文 16 时，

41、系统式(3-1)从任意初始状态出发的解都满足 00 xtx （3-ttxtxt e000 ,; 12） 则称平衡状态为李亚普诺夫意义下稳定，其中，与和有关；若与和 e x 0 ,t 0 t 0 ,t 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。对定常系统而言，和无关，稳定的平衡状 0 t e x 0 t 态一定为一致稳定9,10。 上述稳定性的定义中，范数表示式（3-1）的解表示式 e xtxt 00, ; 00, ;txt （3-1）的解的所有各点均位于以为中心、为半径的闭球域内；与 00, ;txttx e x s 此相应，可找到另一个以为中心、为半径的闭球域,其限制了初始状态允许取值 e x s

42、 0 x 的范围，即。李亚普诺夫意义下的稳定是指当 无限增加时，从初始状态 e xx0t 出发的状态轨迹总不会超出闭球域,即系统状态响应的幅值是有界的。在二维 sx 0 s 状态空间中，上述李亚普诺夫意义下稳定的集合解释如图 3-1 所示。 3.3.2 渐近稳定 设为动力学系统式（3-1）的平衡状态，若对任意实数，对应存在另一实数 e x0 ，使当时，从任意初始状态出发的解都满足0, 0 t 00 ,txx e 00 xtx 000 ,;ttxtxt e 且对于任意小量，总有0 ， (3-13) e xtxt 00, ;limt 则称平衡状态是渐近稳定的。若与无关，则称这种平衡状态是一致渐近稳

43、定的。 e x 0 t e x 渐近稳定的几何意义可理解为：如果平衡状态为李亚普诺夫意义下的稳定，且从球 e x 域内发出的状态轨迹（即式（3-1）的解） ，当时，不仅不超出球域之外，而 st s 且最终收敛于，则平衡状态为渐近稳定。在二维空间中，渐近稳定的几何解释如图 3-2 e x e x 毕业论文 17 所示。 图 3-1 李亚普诺夫意义下的稳定性 图 3-2 渐近稳定性 图 3-3 不稳定性 3.3.3 大范围渐近稳定性 若初始条件扩展至整个状态空间，即，且平衡状态均具有渐近稳)(s e x 定性时，则称此平衡状态是大范围内渐近稳定的。若大范围内渐近稳定，当时， e x e xt 由状

44、态空间中任一初始状态出发的状态轨迹都收敛于。显然，大范围内渐近稳定的必 0 x e x 要条件是在整个状态空间唯一平衡状态。 在控制工程中确定渐近稳定性的范围是很重要的。对于严格线性的系统，如果平衡状 态是渐近稳定的，那必定是大范围内渐近稳定的，这是因为线性系统的稳定性只取决于系统 的结构和参数，而与初始条件的大小无关，因此，线性系统的稳定性是全局性的。而对于非 线性系统，稳定性与初始条件大小密切相关，使平衡状态为渐近稳定的闭球域一般 e x)(s 是不大的，对多个平衡点的情况更是如此，故通常只能在小范围内渐近稳定。因此，非线性 系统的稳定性是局域性的。一般来说，渐近稳定性是个局部的性质，知道

45、渐近稳定性的范围， 才能明了这一系统的抗干扰程度，从而可以设法抑制干扰的大小，使它能满足系统稳定性的 要求。 3.3.4 不稳定性 设为动力学系统式（3-1）的平衡状态，若对某个实数和另一实数，当 e x00 时，总存在一个初始状态，使 e xx0 00 xtx 毕业论文 18 (3-14) 000 ,;ttxtxt e 则称平衡状态是不稳定的。 e x 不稳定的几何意义可理解为：对于某个给定的球域,无论球域取得多么小，内 s s 部总存在一个初始状态，使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域。在二维 00 xtx s 状态空间中，不稳定的几何解释如图 3-3 所示。 应该指出，对于不稳定平衡状

46、态，虽然越出了,但并不意味着轨迹一定趋向无穷远 s 处，例如对于非线性系统，轨迹可能趋于以外的某个平衡点。不过对于线性系统，从不 s 稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋于无穷远。 从上述李亚普诺夫稳定性定义可以看出，只要系统自由运动的状态轨迹不超出闭球域 （即系统自由响应有界） ，则称平衡状态为李亚普诺夫意义下稳定。 s 00, ;txttx e x 经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性定义对应。在经典控制理论中，只有渐近稳定的 系统才称为稳定系统。只有李亚普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界稳定系 统，这在工程上属于不稳定系统。 3.43.4 李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫稳定

47、性定理 李亚普诺夫稳定性理论提出了判断系统稳定性的两种方法，即李氏第一法和李氏第二 法。李氏第一法利用状态方程解的性质来判断系统的稳定性，其适用于线性定常、线性时变 及非线性函数可线性化的情况。李氏第二法无须求解状态方程而借助于象征广义能量的李亚 普诺夫函数及其对时间的导数的符号特征，直接判断平衡状态的稳定性，其提txv,txv, . 供了判别所有系统稳定性的通用方法，即李氏第二法8。 3.4.1 二次型函数及二次型的矩阵表达式 二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表示为 毕业论文 19 （3- pxx x x x a a a a a a a a a xxxxxaxv t nnn n n nn

48、 n j i njiij 2 1 2 1 2 22 12 1 21 11 1 1 21 15） 式中，p 为二次型各项的系数构成的实对称矩阵，称为二次型式（3-15）的权矩阵，即 nn （3-16） nn n n nn a a a a a a a a a p 2 1 2 22 12 1 21 11 式中，为实数，且，j=1,2,，n。 ij a jiij aa 式（3-15）表明，二次型函数和其权矩阵 p 一一对应，可将二次型函数的定号性扩展到 xv 其对应权矩阵的定号性。 3.4.2 标量函数 xv 的符号和性质 设为由 n 维状态向量所定义的标量函数，且在处，恒有。 xvxx0 x 0 x

49、v 对所有在域中的任何非零向量，如果：x （1），则称为正定的。例如，正定。 0 xv xv 2 2 2 1 2xxxv （2），则称为半正定的。例如，半正定。 0 xv xv 2 21 )(xxxv （3），即为正定的，则称为负定的。例如， 0 xv xv xv 2 21 )2(xxxv （4），即为半正定的，则称为半负定的。例如， 0 xv xv xv 2 21 )(xxxv （5）既可为正值也可为负值，则称为不定的。例如，不定。 xv xv 2 221 xxxxv 3.53.5 矿井通风系统中的李亚谱诺夫稳定性矿井通风系统中的李亚谱诺夫稳定性 当矿井通风系统的特征参数发生变化时，矿井通风

50、系统的风流状态也会发生变化，这些 变化是否会影响矿井通风系统的稳定工作，对这个问题进行研究有利于确保安全生产。 lyapunov 稳定性理论对矿井通风系统的稳定 毕业论文 20 性进行分析，得到矿井通风系统在其正常的工作区段，系统特征参数发生一定的变化时，其 状态是稳定的；当变化超过一定的界限后，系统变得不稳定，不利于系统正常功能的实现。 设 v(x1，x2， ，xn )为在坐标原点(x1=x2= =xn =0)某个邻域内定义的连续的单位 函 数，v(0，0， ，0)=0。如果v在域内不变号,则称在域内是定号的；如果v在域内恒 有v0，则称v在域内为半正定的；如果v在域内除原点以外都有v0，则

51、称函数v是正 定的，如果一v是正定的(或常正的)，则称v是负定的(或常负的)1。 假定方程组(或通过坐标变换后的方程组) （3-17）nixxxf dt dx n i , 2 , 1, 21 有零解(x1=x2= =xn =0),并设函数v(x1，x2， ，xn )关于所有xi(i=1,2,n) 的偏导数存 在且连续，以方程组(3-17)的解代入，然后对t求导数： （3-18） n21 x, xxf xi v dt dxi xi v dt dv i ii 这样求得的导数称为函数v通过方程组(3-17)的全导数。lyapunov稳定性理论的主要思 dt dv 想是利用函数v及其全导数的性质来确定

52、方程组的解的稳定性。具有这种特性的函数 dt dv v(x1，x2， ，xn )称为lyapunov函数。lyapunov确立了如下一个稳定性定理：定理如果对 微分方程组(3-17)可以找到一个正定函数v(x1，x2， ，xn ),其通过(3-17)的全导数为常负 的或恒等于零，则方程组(3-17)的零解(x1=x2= =xn =0)为稳定的；如果 为负定的, 则 dt dv 零解是渐近稳定的。 如果在除原点以外的某个邻域内恒有 ，则零解是不稳定的。如果方程组(3-17)有0 dt dv v 非零定态解(甚至其它特解)，可以通过坐标变换把方程组(3-17)的某个定态解选作新坐标系 的坐标原点，

53、这样方程组(3-17)的定态解即为变换后的方程组的零解，因此同样可以用上述 稳定性理用来讨论它的稳定性。 毕业论文 21 第四章 矿井通风系统稳定性分析应用 矿井通风系统是矿井生产的命脉,其稳定性直接关系到矿井的安全生产,研究矿井通风系 统的稳定性,具有特别重要的意义。长期以来,对通风系统稳定性问题一般采用传统的方法进 行研究,如基于敏感性和灵敏度的通风系统稳定性分析。这些方法对解决矿井通风系统稳定 性分析有一定的指导意义,但在处理非线性通风系统时,显得不足。为解决这个问题,国内外 学者很早就开始采用非线性系统科学方法对稳定性问题进行研究,特别是近十年来,非线性系 统科学方法已成为复杂系统研究

54、的主要热点之一。虽然稳定性的概念并不十分复杂,但要确 定由非线性方程组所描述的体系的稳定性却并不是一件容易的事。因为大多数非线性微分方 程组(尤其是偏微分方程组) 是不可能或很难精确求出其解的解析表达式,这使得直接从特定 的动力学方程组作稳定性分析十分困难。通常采用数值计算的方法来逼近真实解。本章应用 lyapunov稳定性理论、通风网络、自然风压对矿井通风系统进行分析,建立了大量的数学模 型，得到矿井通风网络的稳定性情况,为矿井通风的高效、可靠工作提供依据1。 毕业论文 22 4.14.1 基于基于 lyapunovlyapunov 的矿井通风系统稳定性分析的矿井通风系统稳定性分析 4.1.

55、1 通风网络的集合表示 设通风网络的节点号的集合为 ，为节点数；分支号的集合为 m21 ,vvvv，vm ，为分支数；则通风网络可表示为,如图所示简单通风网 n eeee , 21, en evg, 络图，其节点集合 v=(1,2,3,4,5),m=5;分支集合 e=(1,2,3,4,5,6,7),n=7 （1）节点邻接矩阵 表示节点、之间邻接关系的矩阵，对于具有 m 个节点的网络， i v j v 节点邻接矩阵为 a= mm ij a 其中，,若与邻接，且1 ij a i v j v i v j v ,当=或与不邻接时。0 ij a i v j v i v j v 图 4-1 简单通风网络

56、如图 4-1 所示，其节点邻接矩阵为 毕业论文 23 a= 5554535251 4544434241 3534333231 2524232221 1514131211 aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 00001 10000 11000 01100 00010 （2）基本关联矩阵 表示网络中分支和关系的矩阵。基本关联矩阵的各行均为线性 j e i v 无关。 nm ij bb 1 其中,节点与分支关联，且为始节点；1 ij b i v j e ，节点与分支关联，且为末节点； 1 ij b i v j e ，节点与分支不关联。0 ij b i v j e 图 4-1

57、其基本关联矩阵为 b= 47464544434241 37363534333231 27262524232221 17161514131211 bbbbbbb bbbbbbb bbbbbbb bbbbbbb 0101100 0011010 0000111 1000001 (3)独立回路矩阵 任取通风网络图的一棵生成树，以与余数枝为独立分支，得到一组 线性无关的基本回路，称为独立回路，并以独立分支的方向作为独立回路的方向。独立回路 的个数 n=n-m+1。独立回路中分支构成可用独立回路矩阵表示： 其中,，分支在回路 i 中，且与回路同向；1 ij c j e ,分支在回路 i 中，且与回路反向；

58、1 ij c j e ，分支不在回路 i 中。0 ij c j e 若选生成树 t=(1,2,3,7),则相应的独立回路矩阵为 = 37363534333231 27262524232221 17161514131211 ccccccc ccccccc ccccccc c 1100101 1010011 0001110 若将独立回路矩阵的列，按余数枝在前，树枝在后的顺序排列，则可分为两部分，前面 的余数枝子阵为单位矩阵 ic, 即 毕业论文 24 （4-1） 12 ,cic c 将基本关联矩阵也按上述顺序排列，得到 （4-2） 1211,b bb 基本关联矩阵 b 与独立回路矩阵 c 间有如下

59、关系 （4-3）0 t bc 将(4-1)和（4-2）代入（4-3） ，整理得 (4-4) t t c bbic 1 1211 , （4）风量平衡定律矩阵表示 风量平衡定律是指在稳态通风条件下，单位时间流入节 点的空气质量等于流出该节点的空气质量；或者说，流入与流出节点的各分支的质量流量的 代数和等于零，即 (4-5) 0 i m 若不考虑风流密度的变化，则流入与流出某节点的各分支的体积流量（风量）的代数和 等于零，即 (4-6) 0 i q 如图 4-1 所示,当不考虑风流密度的变化时，图中节点 4 处的风量平衡方程为 0 544342 qqq 对于整个通风网络，风量平衡定律可表示成如下矩阵

60、方程 （4-0bq 7） 式中 b基本关联矩阵； q分支风量列向量， t n21 q,qqq 将 q 按余数枝在前，树枝风量在后的顺序排列，即 y q s q （4- qs q q y 8） 由式（4-7）和（4-8） ，得 毕业论文 25 （4- y t ys qcqbbq 1211 1 12 9） 将 qs代入（4-9） ，得 (4-10) y tq cq 如图 4-1 所示网络图， , t s qqqqq 7321 , t y qqqq 654 , (4-11) 1101 1011 0110 12 c 由式（4-10）有 = （4- 4 3 2 1 q q q q 110 101 011