定积分和微积分

1、类型一：利用定积分的几何定义求定积分1说明定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。 解析： 设，则，表示半径为 2 的个圆，由定积分的概念可知，表示如图所示的以 2 为半径的圆的面积 , 所以总结升华： 利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。举一反三：【变式 1】由，以及轴围成的图形的面积写成定积分是 ；【答案】【变式 2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）（ 1） （2）【答案】（1），（2）【变式 3】说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。 （ 1）；（2）；【答案】（1）设，则表示由直线， ，以及轴围成的梯形的面积，该梯形面积为o（2）设，

2、则表示由直线， ，以及轴围成的矩形的面积，该矩形面积为 , 所以。变式 4】利用定积分的几何定义求定积分：2)1)；【答案】( 1)设，则表示个圆， 由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积 , 所以(2)设，则表示如图的曲边形，其面积 , 故.类型二：运用微积分定理求定积分2运用微积分定理求定积分( 1)， (2)， (3)思路点拨： 根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用 微积分基本定理求解 .解析：(1) T；(2) v,a；(3) v,a .总结升华： 求定积分最常用的方法是微积分基本定理， 其关键是找出使得的原函数。 通 常我们可以运用基本函数的求导公式和四

3、则运算法则从反方向求， 即利用求导函数与求原函 数互为逆运算。有时需要将原式化简后再求解， 有时不易找到原函数，此时可以用其他方法(如： 定积 分的几何定义) .举一反三：【变式 1 】计算下列定积分的值：(1)；(2)；(3) .答案】(1) T,；(2) v,(3) t,；变式 2】计算下列定积分的值：1) ，(2)，(3)答案】1)2)3)类型三：运用积分的性质求定积分3求定积分： ；思路点拨： 对于含有绝对值符号的被积函数， 要去掉绝对值符号才能积分， 根据定积分 对区间的可加性，对给定的积分区间适当分成几个积分区间， 计算各个积分，最后求和，得 出结果 .解析：=+=+总结升华：对于

4、图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质=+进行化简对于含绝对值的函数求积分，一般先把绝对值号去掉，写成分段函数，合理地确定积分区间，再进行积分 .举一反三：【变式 1】设是连续函数，若， ，则 ；【答案】；【变式 2】已知函数，计算 .【答案】=+=+=+4求定积分： ；思路点拨： 利用定积分的性质求解解析：是奇函数，是偶函数，总结升华： 利用被积式函数的奇偶性求积分。举一反三： 【变式 1】设是偶函数，若，则 【答案】是偶函数，【变式 2 】求定积分：【答案】是偶函数，类型四：利用定积分求平面图形面积5求直线与抛物线所围成的图形面积.思路点拨： 画出简图，结合图形确定积分区间。解析：

5、 如图，由得交点， ，所求面积：总结升华： 求平面图形的面积体现了数形结合的思想，求图形的面积的一般步骤是：（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分 上下限）；（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；（ 5）计算各个定积分，求出所求的面积 .举一反三： 【变式 1】求由曲线（） ，围成的平面图形的面积 .【答案】 如图，由（）和，得交点；法一：所求面积为矩形面积减去由曲线（） ，围成的平面图形的面积 .故所求面积为法二：所求面积为。【变式 2

6、】求由曲线围成的平面图形的面积 .【答案】 由 得； 由 得 .所求面积：【变式 3】求抛物线与直线所围成的图形的面积 .【答案】 解方程组得或即交点 .由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。过点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和需要指出的是，积分变量不一定是，有时根据平面图形的特点，也可选作为积分变量，以简化计算。但要注意积分上限、下限的确定 .若选为积分变量，则上限、下限分别为1 和 3，所以要求的面积为：类型五：利用定积分解决物理问题6汽车以每小时 36公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度米 /

7、 秒 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？思路点拨：因为距离=速度时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度 变化函数式成为该题的关键 .解析：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间， 当时，汽车速度公里/小时=米/秒=10米/秒. 刹车后汽车减速行驶，其速度为 . 当汽车停车时，速度， 故从到用的时间秒 .于是在这段时间内，汽车所走过的距离是=（米）即在刹车后，汽车需走过 25.总结升华： 解决实际应用问题， 解题的关键是弄清事物变化发展的规律， 再根据规律变 化找到相应的函数式 .举一反三：【变式 1】两地相距 25 千米, 甲以速度千米 /小时从到直线行驶 ,同时乙以速度千米 /小 时从到直线行驶 , 则甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为（ ）A. 60分钟B. 100分钟C . 120分钟D.