(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析.

1、 基本不等式应用一基本不等式1.（1）若 a,b r ，则 a + b 2ab (2)若a,b r ，则a2 + b2 （当且仅当 a = b 时取“=”）22ab 2a + b2. (1)若 a,b r* ，则(2)若a,b r* ，则a + b 2 ab （当且仅当a = b时取“=”）ab22 a + b (3)若 a,b r* ，则ab = b(当且仅当a时取“=”）2113.若 x 0 ，则 x+ 2(当且仅当 x =1时取“=”）;若x 0a b3.若 ab+ 2b aa ba ba b 0(当且仅当a = b 时取“=”），则 + b a2即+ b a2或+ b a-2若 aba

2、 + ba2 + b24.若 a,b r ，则（当且仅当a= b时取“=”）() 222注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域11（1）y3x22x（2）yxx212x12x解：（1）y3x 22 3x 2 6 值域为 6 ，+）221x1x（2）当 x0 时，yx 2 x 2；1x1x1x当 x0 时， yx = （ x ）2

3、 x =2值域为（，22，+）解题技巧：技巧一：凑项541例 1：已知 x，求函数的最大值。y = 4x - 2 +4x - 514x - 5 0不是常数，所以对4x - 2要进行拆、凑项，解 ：因，所以首先要“调整”符号，又(4 2)x -4x - 5511 -2 + 3 =1，x 0 y =4x - 2 += - 5- 4x + 344x -55 4- x 1当且仅当5- 4x =，即 x=1时，上式等号成立，故当 x =1时， y =1。5- 4xmax评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数 = x(8- 2x)例 1. 当时，求 y的最大值。解析：由

4、知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子2x + (8- 2x) = 8为定值，故只需将 y = x(8- 2x)积的形式，但其和不是定值。注意到凑上一个系数即可。= x(8- 2x)的最大值为 8。当，即 x2 时取等号 当 x2 时， y评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。3，求函数 y变式：设0 x x x 的最大值。= 4 (3 - 2 )23222x + 3 - 2x92解：0 x 0 = 4 (3 - 2 ) = 2 2 (3 - 2 ) 2 =yxxxx23322x = 3 - 2x, x = 0,

5、当且仅当即时等号成立。4技巧三： 分离x2+ 7x +10x +1y =(x -1)的值域。例 3. 求解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。4 2（x +1)+ 5 = 9（当且仅当 x1 时取“”号）。当,即时, yx +1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。(t -1) + 7(t -1）+10 t + 5t + 4422y = t + + 5ttt4 2 t + 5 = 9当,即 t=时, y（当 t=2 即 x1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或

6、将分母换元后将式子分开再利用不等式求最ay = mg(x) + b(a 0,b 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。值。即化为g(x)a(x) = x +技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 f的单调性。xx2+ 5+ 4=例：求函数 y的值域。x211解：令 x2 + 4 = t(t 2)，则+ 5+ 4x2=x+ 4 +t t= + ( 2)y =2tx2+ 4x211 )= 1不在区间 2,+ 0,t =1，但t =因t解得t，故等号不成立，考虑单调性。tt152 )1,+ )2,+= t +y 为单调递增函数，故因为 y在区间单

7、调递增，所以在其子区间。t5,+所以，所求函数的值域为。2 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x2 +3x +1,( x 0)x(3)y = 2sin x +, x(0, )y =y（2）=2x +, x 3p（1）x -3sin x23y= x(1-x)y x(2-3x)=2已知0 x 1，求函数条件求最值的最大值.；30，求函数的最大值. x 0, y 0+ =1x + y，求 的最小值。2：已知 x，且x y1 9( )+ =12x y 1 9 9 0, y 0( )x + y 2错解： x，且 + =1，x y故。x + y =+2 xy =12min x y x

8、y+ y 2 xyx = y1 9，在9错因：解法中两次连用基本不等式，在 x等号成立条件是等号成立+ 2x yxy1 9=x yy = 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出条件是即等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。1 9 1 9 9x= + +10 6 +10 =16( )y正解： 0, 0, + =1， + = +xyx y x y x y x y x y9x1 9+ =x yy( )+ =161=x y= 4, y =12当且仅当时，上式等号成立，又，可得 x时， x y。minx, y r+2x + y = 1，求1

9、 1+x y变式： （1）若且的最小值x + y(2)已知a,b, x, y r+且 a b，求的最小值+ = 1x y2技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2y1，求 x 1y 2 的最大值.a 2b 22分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。2121 212yy2同时还应化简 1y 2 中 y2 前面的系数为， x 1y 2 x2 2 x22 1 y22下面将 x，1 y分别看成两个因式：21 y2y122x ()2 x 22222341 y23422x即 x 1y 2 2 x2222221技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y 的最小值.ab分析：这

10、是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。302bb1302bb12 b 30b2法一：a，abbb1由 a0 得，0b152t 234t3116t16t16t令 tb+1，1t16，ab2（t ）34t 2 t8t1 ab18 y当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。18法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab则 u2

11、2 2 u300， 5 2 u3 2令 u ab1 ab 3 2 ，ab18，y18a + b a b（a,b r ）点评：本题考查不等式+ 的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等2ab = a + 2b + 30（a,b r ）ab 的范围，关键是寻找到a + b与ab式式+ 出发求得之间的关系，由此想到不等ab 的不等式，进而解得aba + b ab（a,b r ）+ ，这样将已知条件转换为含的范围.2变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 w 3x

12、 2y 的最值.ab a b22解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单223x 2y 2 （ 3x ） （ 2y ） 2 3x2y 2 522解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。w0，w 3x2y2 3x 2y 102 3x 2y 10( 3x ) ( 2y ) 10(3x2y)20222 w 20 2 515变式: 求函数的最大值。y = 2x -1 + 5 - 2x( x 0，所以0 ab + bc + ca为两两不相等的实数，求证：2221已知1）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)

13、(1b)(1c)8abc111-1例 6：已知 a、b、c ra + b + c =1。求证： -1-1 8，且+ a b c 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又11- a b+ c 2 bc，可由此变形入手。-1 =aaaa12 ac11- a b + c 2 bc12ab解： a、b、c r，a + b + c =1 。同理-1， -1。-1=+aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得11112 bc 2 ac 2 ab-1-1-1 = 8。当且仅当a = b = c = 时取等号。3 a b c abc应用三：基本不等式与恒成立问题1 9 0, y 0+ =1，求使不等式 x + y m恒成立的实数 的取值范围。例：已知 x且mx y1 9x + y 9x + 9y10 y 9x=1. + + =1k kx kyx + y = k, x 0, y 0, + =1 +解：令，