-2017高考数学真题分类-第10章-圆锥曲线-1-椭圆及其性质(理科)

1、 第十章圆锥曲线第 节椭圆及其性质1题型 113 椭圆的定义与标准方程( b 0)3x y22+ =1 aa bf f的左、右焦点为 ， ，离心率为1.（2014 大纲理 6）已知椭圆c ：，12322fafb 的周长为4 3过 的直线l 交 c 于 ， 两点，若a b，则 的方程为（）.c21x y2x2x y2x y2222+ =13 2+ y =1+ =1+ =112 4ab2cd312 8( )0b 0,b 0l y1= x已知双曲线 e，a b22l : y =-2x2.（1）求双曲线 e的离心率；l ,l a, ba, bo（2）如图所示， 为坐标原点，动直线l 分别交直线于两点（

2、分别ox12在第一，四象限），且 oab的面积恒为8 ，试探究：是否存在总与直线l 有且只b有一个公共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线e的方程；若不存在，说明理由.e3x2y22()=1 a b 0的离心率为5.（2016 北京理 19（1）已知椭圆，c: +2a2bl2( ) ( ) ( )a a,0 ， b 0,b ，o 0,0 ，oab 的面积为 1.求椭圆 的方程；c 5.解析可先作出本题的图形：yc3=ba 2= b + c (a b 0)由题设，可得a222nox1a=1abm2px2a = 2,b =1y .+ =1解得.所以椭圆 的方程是2c43x2y221 ( 0)= a b

3、6.（2016 山东理 21（1）平面直角坐标系中，椭圆 ： +的离心率是，xoyc2a2b2 = 2抛物线 ： xey 的焦点 是c 的一个顶点.求椭圆c 的方程；f1 12a - b2320,=1,b =6.解析由题意知=，可得：a = 2b .因为抛物线 的焦点为 f ，所以a，e2 a2+ 4y =1.所以椭圆 的方程为 xc22( )x2a2y2 37. （2016 天津理 19（1）设椭 圆+=1 a的 右焦 点为，右顶 点为 ，已知f a3113e+=，其中o为原点， 为椭圆的离心率.求椭圆的方程.e| of | | oa| | fa|113c1 1+ =3c+=of oa fa

4、-c =3c.27.解析由，即，可得a22c a a(a-c)x y22-c = b = 3，所以 c2 =1，因此 a = 4，所以椭圆的方程为+ =1.4 3又 a2222x2y28.（2017 浙江 2）椭圆 +=1的离心率是（）.9423591335a.b.c.d.3 c58.解析由椭圆方程可得， =a29,b = 4，所以 = - = 5 ，所以 = ， =35.， = =2c2 a2 b2acea3故选 bx2y2(0)的左、: += 1 a b9.（2017 江苏 17（1）如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 ea2b21f , f右焦点分别为，离心率为 ，两准线之间的

5、距离为 点 在椭圆 e 上，且位于第一象限，过8p212fpflfpf的垂线 求椭圆 e 的标准方程.l点 作直线的垂线 ，过点 作直线111222yof1f2xc 1e = =a = 2a29.解析设椭圆的半焦距为c ，由题意 ，解得 ，因此2a2=1c= 8cx2y2+= 1b= a - c = 3 ，所以椭圆22的标准方程为e43( b 0)的离心率为2x22y2210.（2017 山东理 2 1（1）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆e :+=1 a，2ab焦距为 .求椭圆 的方程.2ec2x210.解析由题意知， 2 = 2 ，所以， =1，因此椭圆 的方程为 + y =1.= 2 b

6、ee = =c2a22axy ()( ) ( )22p 1，1 p 0，1 ，: + =1 a b 011.（2107 全国 1 卷理科 20（1）已知椭圆c，四点，a b1222331， p 1， p 中恰有三点在椭圆c上.求c的方程；，3242 11. 解析根据椭圆对称性，必过 ， ，又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过p3p4p4p11=1b23 ( )p ，p ，p 三点 p 0 ，1 ，p -1，.将代入椭圆方程得3，解得a= 4 ，322234214 +=1a2b2x2=1b =1，所以椭圆c 的方程为+y224题型 114 椭圆离心率的值及取值范围x22y22xoy+a b ，

7、右=1( 0, 0)1.（2013 江苏 12）在平面直角坐标系中，椭圆c的标准方程为ab焦点为 f ，右准线为l ，短轴的一个端点为b ，设原点到直线bf 的距离为 ，f 到 的距离为dl1d= 6d，则椭圆c的离心率为.，若d221x2a2y2b2(), f 2,焦距为 c ，若直线 与椭2.(2013 福建理 14）椭圆g :+a b=1 0 的左右焦点分别为f12y=3x+cmf f = 2mf f圆g 的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_1221, ff pf =3（. 2014 湖北理 9）已 知 f是椭圆和双曲线的公共焦点，p 是它们的一个公共点，且31212则椭圆和双曲线的离

8、心率的倒数之和的最大值为（）.4 332 33a.b.c.3d.21-( )1,1xy22( )1 a b 0相交于4.（2014 江西理 15）过点 m作斜率为的直线与椭圆 c ： + =2a2b2a, b两点，若 m 是线段 ab 的中点，则椭圆c的离心率等于.5 .（2014 江苏理 17）如图，在平面直角坐标系xoyf f中， ，12yx2 y ( b 0)a b22+ =1 a分别是椭圆的左、右焦点，顶点 b 的坐标b2c( )0,b为 b，连结bf并延长交椭圆于点 a，过点 a作 轴的垂x2ox线交椭圆于另一点c，连结fc1a 4 1,= 2，求椭圆的方程（1）若点 的坐标为 ，且

9、 bfc3 32fc ab（2）若，求椭圆离心率e 的值16.（2014 北京理 19）（本小题 14 分）: x + 2 y = 4，已知椭圆c22（1）求椭圆c 的离心率.x y ()，点o为坐标原点，点 a的22+ =1 a b 07.（201520）设椭圆 e的方程为安徽理a b22( )a，0( )0，bbm = 2 ma，点 m 在线段 ab 上，满足 ，直线om坐标为，点 b的坐标为5的斜率为.10（1）求椭圆 e的离心率e ；( )0，-b（2）设点c的坐标为， n 为线段的中点，点 n 关于直线 ab 的对称点的纵ac7坐标为 ，求椭圆 e的方程.22 155b, b7.解析

10、（1）由题设条件知，点m 的坐标为 a= ，又k，从而，3 3om102a 10c 2 5e = =即 a =5b，所以 =- = 2 ，故ca2b2ba5xy+ =1（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线 ab 的方程为，5bb175b,- b 设点 n 关于直线x ,1点 n 的坐标为的对称点 的坐标为 ，abs22275x1b + 1,- b + 则线段 ns的中点 的坐标为t42 44 5x174 b +- b +1424+=15bbk k = -1又点 在直线t上，且ab，从而有 7 1，+ b2 2nsab= 55x -b21x2y2= 3，所以 a = 3 5 ，所以椭圆

11、e 的方程为+ =1解得b45 9xy (b)2221）如图所示，椭圆 + =1 a b 0的左、右焦点分别为f ， f ，8.（2015重庆理12a22fpq pf .过 的直线交椭圆于p ，q 两点，且21= 2 + 2 pf = 2 - 2（1）若 pf，求椭圆的标准方程.12= pq（2）若 pf，求椭圆的离心率e .1ypoxq( ) ( )2a = pf + pf = 2+ 2 + 2- 2 = 42=8.解析（1）由椭圆的定义,故 a12pf pf2 =，因此 c f f=pf+pf=设椭圆的半焦距为c ，由已知22211212(2 + 2) + (2 - 2) = 2 3 ,=

12、 3即c，从而 =a c= 12-222bx2+ y = 1故所求椭圆的标准方程为24pf+ pf = 2a qf + qf = 2a（2）如图所示，连接qf，由椭圆的定义，11212 = pqqf = 4a - 2 pf从而由 pf,有.111pf pq pf = pq= 2 pf，又由因此,从而，知qf11114a - 2 pf = 2 pfpf = 2(2 - 2)a.( ) ( ),得111pf = 2a - pf = 2a - 2 2- 2 a = 2 2 -1 a .21( )pf pf , pf+ pf = ff = 2c2222由知，21121 2( ) ( )pf + pf2

13、2c22因此2 - 2 + 2 -1 = 9 - 6 2 = 6 - 3 .e = =12a2aypoxqx2x2:+ y =1(m 1)c :- y =1(n 0)的焦点重合，e ，9（. 2016 浙江理 7）已知椭圆c12与双曲线221m2n2e 分别为c ，c 的离心率，则（）.212 n1m n1e e 11 2c. m n 且e ed. m 1，因为e21，e22，所以 ee2e2 21 2en+ 2 n2+ 2n2m2n21 2m2n2n42故e e11，故选 a.2 xy ( b 0)的右焦2210.（2016 江苏 10）如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，f 是椭圆 +=

14、1 aab22b= 90与椭圆交于 , 两点，且 bfc，则该椭圆的离心率是点，直线 yb c2ycxo6b( )10. 解析由题意得 f c,0 ，直线 = 与椭圆方程联立，y23 3 3 a ba bb -,c, 2 2.由bfc=90 ，可得 ， 2 233a ba bbf = c +,-cf = c -,-可得0，bf cf =22223414则 -+= 0 ，由 = - ，ca2b2b a c22223可得412236c，则 = =c2=a2ea3+ bf = 2acf评注另外也可以结合 bc，得cf2 + 2cf bf + bfa= 4 ，22= 3a1cf bf = a22，11

15、112b而=cf bf=a2= =cb h3a ，解得= 3b ，sa2422bcf6进而 = 设 与 轴的交点为 ，则经典转化 以 为直径的圆bcey bfc = 90 bca312过点 0 =bcbfcf =affx22y2211.（2016 全国丙理 11）已知 为坐标原点， 是椭圆 :+=1(a b 0) 的左焦点， ，ofca bab分别为c 的左，右顶点. p为c 上一点，且 pf x 轴.过点 a的直线 与线段y交于点 ，与 轴lpfm交于点 e.若直线经过oe 的中点，则c 的离心率为（）.bm 13122334a.b.c.d.12oe. a 解析根据题意，作出图像，如图所示.

16、因为点 为 的中点，所以 onoea，又11n=mfa + cmfoea1 aac 1e= =.故选 a.=，所以，得，即a = 3cmf a -c2 a - c a + ca 3x( )1212.（2016 浙江理 19）如图所示，设椭圆 + = a.y1 2ay2= kx +1（1）求直线 y被椭圆截得的线段长（用 a 、 表示）；k（2）若任意以点 a(0,1)圆离心率的取值范围 .为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点， 求椭oxy = kx+1被椭圆截得的线段为 ar ，联立方程12.解析（1）设直线ypy = kx+1m，x2+ y =12aobxfa2( )2a k21+a k x

17、 +2a kx = 0x= 0， x= -2 222得，解得11+a k22 22a k2因此 ar = 1+ k x - x = 1+ k 221+ a k1222（2）联立圆与椭圆的方程，观察易知圆与椭圆的公共点至多有4 个.当有 4 个公共点时，由对称性可ara= q 设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ，q ，满足paqaq的方程 0记直线 ar ，的斜率分别为k ，k ，所以k ，k， k k 所以直线 ar ，121212= k x + 1 y = k x + 1.由（1）知，为 y，122a k 1 + k2a k 1 + k2a k 1 + k2a k 1 + k221222

18、221222 ，ap =, aq =，所以=12121 + a k1 + a k1 +1 +2222a2k 21a2k 2212( )k1-k 1+k +k +a (2-a )k k =0.22222222 2变形得2121 1 1 k , k , k 0 1+21222+1+1 = 1+ ( - 2),a a 由于 k得 k+ k + a(2- a )k k = 0,2 2 2因此22121212kk 2212( )1+a a -2 1,k因为式关于k的方程有解的充要条件是22，即 a 2 .12a(0,1)因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为1 2 ，a2ca2-110 b 013.（2107 全国 3 卷