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文档简介
1、 第十章圆锥曲线第 节椭圆及其性质1题型 113 椭圆的定义与标准方程( b 0)3x y22+ =1 aa bf f的左、右焦点为 , ,离心率为1.(2014 大纲理 6)已知椭圆c :,12322fafb 的周长为4 3过 的直线l 交 c 于 , 两点,若a b,则 的方程为().c21x y2x2x y2x y2222+ =13 2+ y =1+ =1+ =112 4ab2cd312 8( )0b 0,b 0l y1= x已知双曲线 e,a b22l : y =-2x2.(1)求双曲线 e的离心率;l ,l a, ba, bo(2)如图所示, 为坐标原点,动直线l 分别交直线于两点(
2、分别ox12在第一,四象限),且 oab的面积恒为8 ,试探究:是否存在总与直线l 有且只b有一个公共点的双曲线 ?若存在,求出双曲线e的方程;若不存在,说明理由.e3x2y22()=1 a b 0的离心率为5.(2016 北京理 19(1)已知椭圆,c: +2a2bl2( ) ( ) ( )a a,0 , b 0,b ,o 0,0 ,oab 的面积为 1.求椭圆 的方程;c 5.解析可先作出本题的图形:yc3=ba 2= b + c (a b 0)由题设,可得a222nox1a=1abm2px2a = 2,b =1y .+ =1解得.所以椭圆 的方程是2c43x2y221 ( 0)= a b
3、6.(2016 山东理 21(1)平面直角坐标系中,椭圆 : +的离心率是,xoyc2a2b2 = 2抛物线 : xey 的焦点 是c 的一个顶点.求椭圆c 的方程;f1 12a - b2320,=1,b =6.解析由题意知=,可得:a = 2b .因为抛物线 的焦点为 f ,所以a,e2 a2+ 4y =1.所以椭圆 的方程为 xc22( )x2a2y2 37. (2016 天津理 19(1)设椭 圆+=1 a的 右焦 点为,右顶 点为 ,已知f a3113e+=,其中o为原点, 为椭圆的离心率.求椭圆的方程.e| of | | oa| | fa|113c1 1+ =3c+=of oa fa
4、-c =3c.27.解析由,即,可得a22c a a(a-c)x y22-c = b = 3,所以 c2 =1,因此 a = 4,所以椭圆的方程为+ =1.4 3又 a2222x2y28.(2017 浙江 2)椭圆 +=1的离心率是().9423591335a.b.c.d.3 c58.解析由椭圆方程可得, =a29,b = 4,所以 = - = 5 ,所以 = , =35., = =2c2 a2 b2acea3故选 bx2y2(0)的左、: += 1 a b9.(2017 江苏 17(1)如图所示,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 ea2b21f , f右焦点分别为,离心率为 ,两准线之间的
5、距离为 点 在椭圆 e 上,且位于第一象限,过8p212fpflfpf的垂线 求椭圆 e 的标准方程.l点 作直线的垂线 ,过点 作直线111222yof1f2xc 1e = =a = 2a29.解析设椭圆的半焦距为c ,由题意 ,解得 ,因此2a2=1c= 8cx2y2+= 1b= a - c = 3 ,所以椭圆22的标准方程为e43( b 0)的离心率为2x22y2210.(2017 山东理 2 1(1)在平面直角坐标系xoy 中,椭圆e :+=1 a,2ab焦距为 .求椭圆 的方程.2ec2x210.解析由题意知, 2 = 2 ,所以, =1,因此椭圆 的方程为 + y =1.= 2 b
6、ee = =c2a22axy ()( ) ( )22p 1,1 p 0,1 ,: + =1 a b 011.(2107 全国 1 卷理科 20(1)已知椭圆c,四点,a b1222331, p 1, p 中恰有三点在椭圆c上.求c的方程;,3242 11. 解析根据椭圆对称性,必过 , ,又 横坐标为 1,椭圆必不过 ,所以过p3p4p4p11=1b23 ( )p ,p ,p 三点 p 0 ,1 ,p -1,.将代入椭圆方程得3,解得a= 4 ,322234214 +=1a2b2x2=1b =1,所以椭圆c 的方程为+y224题型 114 椭圆离心率的值及取值范围x22y22xoy+a b ,
7、右=1( 0, 0)1.(2013 江苏 12)在平面直角坐标系中,椭圆c的标准方程为ab焦点为 f ,右准线为l ,短轴的一个端点为b ,设原点到直线bf 的距离为 ,f 到 的距离为dl1d= 6d,则椭圆c的离心率为.,若d221x2a2y2b2(), f 2,焦距为 c ,若直线 与椭2.(2013 福建理 14)椭圆g :+a b=1 0 的左右焦点分别为f12y=3x+cmf f = 2mf f圆g 的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_1221, ff pf =3(. 2014 湖北理 9)已 知 f是椭圆和双曲线的公共焦点,p 是它们的一个公共点,且31212则椭圆和双曲线的离
8、心率的倒数之和的最大值为().4 332 33a.b.c.3d.21-( )1,1xy22( )1 a b 0相交于4.(2014 江西理 15)过点 m作斜率为的直线与椭圆 c : + =2a2b2a, b两点,若 m 是线段 ab 的中点,则椭圆c的离心率等于.5 .(2014 江苏理 17)如图,在平面直角坐标系xoyf f中, ,12yx2 y ( b 0)a b22+ =1 a分别是椭圆的左、右焦点,顶点 b 的坐标b2c( )0,b为 b,连结bf并延长交椭圆于点 a,过点 a作 轴的垂x2ox线交椭圆于另一点c,连结fc1a 4 1,= 2,求椭圆的方程(1)若点 的坐标为 ,且
9、 bfc3 32fc ab(2)若,求椭圆离心率e 的值16.(2014 北京理 19)(本小题 14 分): x + 2 y = 4,已知椭圆c22(1)求椭圆c 的离心率.x y (),点o为坐标原点,点 a的22+ =1 a b 07.(201520)设椭圆 e的方程为安徽理a b22( )a,0( )0,bbm = 2 ma,点 m 在线段 ab 上,满足 ,直线om坐标为,点 b的坐标为5的斜率为.10(1)求椭圆 e的离心率e ;( )0,-b(2)设点c的坐标为, n 为线段的中点,点 n 关于直线 ab 的对称点的纵ac7坐标为 ,求椭圆 e的方程.22 155b, b7.解析
10、(1)由题设条件知,点m 的坐标为 a= ,又k,从而,3 3om102a 10c 2 5e = =即 a =5b,所以 =- = 2 ,故ca2b2ba5xy+ =1(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 ab 的方程为,5bb175b,- b 设点 n 关于直线x ,1点 n 的坐标为的对称点 的坐标为 ,abs22275x1b + 1,- b + 则线段 ns的中点 的坐标为t42 44 5x174 b +- b +1424+=15bbk k = -1又点 在直线t上,且ab,从而有 7 1,+ b2 2nsab= 55x -b21x2y2= 3,所以 a = 3 5 ,所以椭圆
11、e 的方程为+ =1解得b45 9xy (b)2221)如图所示,椭圆 + =1 a b 0的左、右焦点分别为f , f ,8.(2015重庆理12a22fpq pf .过 的直线交椭圆于p ,q 两点,且21= 2 + 2 pf = 2 - 2(1)若 pf,求椭圆的标准方程.12= pq(2)若 pf,求椭圆的离心率e .1ypoxq( ) ( )2a = pf + pf = 2+ 2 + 2- 2 = 42=8.解析(1)由椭圆的定义,故 a12pf pf2 =,因此 c f f=pf+pf=设椭圆的半焦距为c ,由已知22211212(2 + 2) + (2 - 2) = 2 3 ,=
12、 3即c,从而 =a c= 12-222bx2+ y = 1故所求椭圆的标准方程为24pf+ pf = 2a qf + qf = 2a(2)如图所示,连接qf,由椭圆的定义,11212 = pqqf = 4a - 2 pf从而由 pf,有.111pf pq pf = pq= 2 pf,又由因此,从而,知qf11114a - 2 pf = 2 pfpf = 2(2 - 2)a.( ) ( ),得111pf = 2a - pf = 2a - 2 2- 2 a = 2 2 -1 a .21( )pf pf , pf+ pf = ff = 2c2222由知,21121 2( ) ( )pf + pf2
13、2c22因此2 - 2 + 2 -1 = 9 - 6 2 = 6 - 3 .e = =12a2aypoxqx2x2:+ y =1(m 1)c :- y =1(n 0)的焦点重合,e ,9(. 2016 浙江理 7)已知椭圆c12与双曲线221m2n2e 分别为c ,c 的离心率,则().212 n1m n1e e 11 2c. m n 且e ed. m 1,因为e21,e22,所以 ee2e2 21 2en+ 2 n2+ 2n2m2n21 2m2n2n42故e e11,故选 a.2 xy ( b 0)的右焦2210.(2016 江苏 10)如图所示,在平面直角坐标系xoy 中,f 是椭圆 +=
14、1 aab22b= 90与椭圆交于 , 两点,且 bfc,则该椭圆的离心率是点,直线 yb c2ycxo6b( )10. 解析由题意得 f c,0 ,直线 = 与椭圆方程联立,y23 3 3 a ba bb -,c, 2 2.由bfc=90 ,可得 , 2 233a ba bbf = c +,-cf = c -,-可得0,bf cf =22223414则 -+= 0 ,由 = - ,ca2b2b a c22223可得412236c,则 = =c2=a2ea3+ bf = 2acf评注另外也可以结合 bc,得cf2 + 2cf bf + bfa= 4 ,22= 3a1cf bf = a22,11
15、112b而=cf bf=a2= =cb h3a ,解得= 3b ,sa2422bcf6进而 = 设 与 轴的交点为 ,则经典转化 以 为直径的圆bcey bfc = 90 bca312过点 0 =bcbfcf =affx22y2211.(2016 全国丙理 11)已知 为坐标原点, 是椭圆 :+=1(a b 0) 的左焦点, ,ofca bab分别为c 的左,右顶点. p为c 上一点,且 pf x 轴.过点 a的直线 与线段y交于点 ,与 轴lpfm交于点 e.若直线经过oe 的中点,则c 的离心率为().bm 13122334a.b.c.d.12oe. a 解析根据题意,作出图像,如图所示.
16、因为点 为 的中点,所以 onoea,又11n=mfa + cmfoea1 aac 1e= =.故选 a.=,所以,得,即a = 3cmf a -c2 a - c a + ca 3x( )1212.(2016 浙江理 19)如图所示,设椭圆 + = a.y1 2ay2= kx +1(1)求直线 y被椭圆截得的线段长(用 a 、 表示);k(2)若任意以点 a(0,1)圆离心率的取值范围 .为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点, 求椭oxy = kx+1被椭圆截得的线段为 ar ,联立方程12.解析(1)设直线ypy = kx+1m,x2+ y =12aobxfa2( )2a k21+a k x
17、 +2a kx = 0x= 0, x= -2 222得,解得11+a k22 22a k2因此 ar = 1+ k x - x = 1+ k 221+ a k1222(2)联立圆与椭圆的方程,观察易知圆与椭圆的公共点至多有4 个.当有 4 个公共点时,由对称性可ara= q 设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ,q ,满足paqaq的方程 0记直线 ar ,的斜率分别为k ,k ,所以k ,k, k k 所以直线 ar ,121212= k x + 1 y = k x + 1.由(1)知,为 y,122a k 1 + k2a k 1 + k2a k 1 + k2a k 1 + k221222
18、221222 ,ap =, aq =,所以=12121 + a k1 + a k1 +1 +2222a2k 21a2k 2212( )k1-k 1+k +k +a (2-a )k k =0.22222222 2变形得2121 1 1 k , k , k 0 1+21222+1+1 = 1+ ( - 2),a a 由于 k得 k+ k + a(2- a )k k = 0,2 2 2因此22121212kk 2212( )1+a a -2 1,k因为式关于k的方程有解的充要条件是22,即 a 2 .12a(0,1)因此,任意以点为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为1 2 ,a2ca2-110 b 013.(2107 全国 3 卷
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