2013年考研数学二试题与答案

1、 -word格式-范文 -范例-2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .p1、设cos x -1= xsina (x)，当 时， （ ）x 0a (x)a(x) 2（a）比 高阶的无穷小（b）比 低阶的无穷小x（c）与 同阶但不等价的无穷小x（d）与 是等价无穷小x【答案】（c）x【考点】同阶无穷小【难易度】【详解】，1cos x -1 - x2cos x -1= xsina (x)2，即11xsin (x) - xsin (x) -

2、 xaa22当 时，2，a a(x)sin (x)x 0a (x) 0，即 与 同阶但不等价的无穷小，故选（c）.a (x)1 (x) - xxa22、已知由方程cos(xy) - ln y + x =1确定，则（ ）2y = f (x)lim n f ( ) -1=nn（a）2 （b）1 （c）-1 （d）-2【答案】（a）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】【详解】当 时， .x = 0y =12f ( ) -12f (2x) -1f (2x) - f (0)2xnlimn f ( ) -1= lim= lim= 2lim= 2 f (0)1nxnnx0x0n方程两边同时对 求导，得

3、xcos(xy)- ln y + x = 1专业资料-可修改 -word格式-范文 -范例-1-sin(xy)(y + xy) + y-1= 0y将 ， 代入计算，得x = 0y =1 = =y (0) f (0) 1所以，选（a）.2lim n f ( ) -1= 2nnp3、设sin x 0, ) ，则（ ）f (t)dt=f(x)=xf (x) p p 2 ,2 （a） 为 的跳跃间断点0（b） 为 的可去间ppx =f(x)x =f(x)断点（c） 在 处连续不可导p（d） 在 处可导px =f(x)【答案】（c）x =f(x)【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】【详解】，+

4、 0) = 2，pppf(p - 0) = sin tdt = sin tdt + sin tdt = 2f(p2p00， 在 处连续.2pppx =f( - 0) = f( + 0)f(x)ppx-xf (t)dt-f (t)dtf (t)dtf (t)dt， p =f ( ) lim p =f ( ) lim=0=20000-p，故 在 处不可导.选（c）.x -p-x+xp-xp + p pf ( ) f ( )x= pf(x)-+11 x e4、设函数 -，若反常积分收敛，则（ ）(x 1)a-1=+ f (x)dxf (x) 11x exlna x+1（b）（a）（c）（d）a【答案

5、】（d）aaa 2-2 00 2【考点】无穷限的反常积分【难易度】【详解】f (x)dx f (x)dx+=e+f (x)dx11收敛可知，e由与均收敛.+ e f (x)dxf (x)dxf (x)dx11e， 是瑕点，因为收敛，所 以11e=ex 1=ef (x)dxdxdx(x-1)a-1(x - 1)a-1111专业资料-可修改 -word格式-范文 -范例-aa-11 a 0f (x)dxdx(ln x) a-xlna+1xaeee所以，0 a 0i 0i 0i 01【答案】（b）234【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】【详解】根据对称性可知，.i = i = 01），

6、3（）i = (y - x)dxdy 0y - x 0i = (y - x)dxdy 0y - x 0)vx3x分别是 d 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若v =10v，v求 的值.yyxa【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意，v =a3p53pa51553pa(x ) dx =x =233x00a.676717373ppppav = 2 x x dxa=x=3y00因v =10v ，故.67375pa =10 a a = 7 7335yx17、（本题满分 10 分）设平面区域 d 由直线，x + y = 8围成，求x = 3yy = 3x x dxdy2d【考点】利用

7、直角坐标计算二重积分【难易度】13【详解】根据题意 y = 3xx = 2 ， = = 6xyxx + y = 8 y = 6= 2yx + y = 8专业资料-可修改 -word格式-范文 -范例-故 2328( x31362324163x dxdy = dx x dy23x+6dx8-xx dy2=+-= +128=x4x )4223xx302330d18、（本题满分 10 分）设奇函数 在 上具有二阶导数，且 f (1)=1，证明：f (x)-1,1（）存在x (0,1)，使得（）存在h (-1,1)，使得【考点】罗尔定理；f ( ) =1x.f ( ) + f (h) =1h【难易度】

8、【详解】（）由于 在 上为奇函数，故f (x)-1,1在 上 连 续 ， 在 上 可 导 ， 且f (0) = 0令， 则f(x) = f (x) - xf(x)0,1( 0 , 1 )，f( 1 =) f (-1 )= 1 f(0) = f (0) - 0 = 0.由罗尔定理，存在，使得x (0,1)，即. x =f ( ) 0（）考虑 x =f ( ) 1 + = f (x) f (x) 1 e ( f (x) f (x) e + = (e f (x) e =xxxx e f (x) - e = 0xx令，由于 是奇函数，所以 是偶函数，由（）xg(x) = e f (x) - ef (x

9、)f (x)x的结论可知，.由罗尔定理可知， x = -x =f ( ) f ( ) 1g( ) g( ) 0 x = -x =存在h (-1,1)，使得19、（本题满分 10 分），即.g( ) = 0f ( ) + f (h) =1hh求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最x - xy + y =1(x 0, y 0)33短距离 .【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为m (x, y)d = x + y22构造拉格朗日函数f = x + y + l (x - xy + y -1)2233 = + lf 2x (3x y) 0- =2 =由x得 x 1

10、= + l- =f 2y (3y x) 02y =1y = - + - =f x xy y 1 033l专业资料-可修改 -word格式-范文 -范例-点 到原点的距离为(1,1)，然后考虑边界点，即 ，(1,0)d = 1 +1 = 222(0,1)，它们到原点的距离都是 1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 ，最短距离为 1.220、（本题满分 11分）设函数1f (x) = ln x +x（）求 的最小值；f (x)（）设数列 满足 ，证明 存在，并求此极限.lim x1xln x + 0 f (x) = - =xx xx22令，得唯一驻点 =f (x) 0=x 1；当 时，当0 x

11、 1时，. f (x) 0所以 是 的极小值点，即最小值点，最小值为 f (1)=1.x =1f (x)（）由（）知，又由已知ln x +，可知，1111ln x + 1xnxn+1xnxn+1nn即x xn+1故数列 单调递增.n xn又由1，故ln x 1 0 x e ，所以数列 有上界.1 ln x +xxnnnnn+1所以 存在，设为 a.lim xnn在ln x +1两边取极限得ln a+ 111xn+1an在两边取极限得11ln a+ 1aln x + 1xnn所以即ln a+ =1 a = 1 lim x =1.1ann21、（本题满分 11分）设曲线 的方程为l满足1y = x

12、41- ln x(1 x e)22专业资料-可修改 -word格式-范文 -范例-（）求 的弧长；l（）设 d 是由曲线 ，直线 ， 及 x 轴所围平面图形，lx =1x = e求 d 的形心的横坐标.【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长；定积分的物理应用形心【难易度】【详解】（）设弧长为 ，由弧长的计算公式，得s11 ( x111 ( x1 1( x+1s =e+1 (y ) dx=e+-) dx2=e+-) dx2=e) dx2222x22x22x11111111e1+ e2=e( x + )dx = ( x + ln x) =222x42（）由形心的计算公式，得411 11 xdxdy

13、141ex( x - ln x)dx1x2- ln xdxxdydy2242x =1ddxdy00 11 141e-ln x)dx1x2 - ln x( xdx22421d0011 111e - - (e - e + )4223(e - 2e -3).1616 4121 1242=4(e 7)-3e - -312 12 222、（本题满分 11 分）设 1 a ， 0 1 ，当 为何值时，存在矩阵 c 使得1 0 1 b并求所有矩阵 c.，a =b =a,bac -ca = b【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】 x x 【详解】由题意可知矩阵 c 为 2 阶矩阵，故可设c =

14、.由1x x234可得ac -ca = b1 a x x x x 0 1 0 1 整 理 后 可 得 方 程 组- =12 12 1 0 x xx x 1 b 1 b3434专业资料-可修改 -word格式-范文 -范例-x + ax =023-ax + a + ax =1124x - x - x =1134x - ax = b由于矩阵 c 存在，故方程组有解.对的增广矩阵进行初等行23变换：-1a - -1 0 1 1 1 - -1 0 1 1 100 0-a 1 0 a 11 0 -1 -1 10 1 -a 000 1 -a 00 0 1 -a 0 a +10 0 0 0 a +1-a 0

15、 b0 0 0 0b0 0 0 0b 0 1方程组有解，故， ，即， .a +1= 0b = 0a = -1 b = 01 0 1 1 1- -当， 时，增广矩阵变为0 1 1 0 0a = -1b = 00 0 0 0 00 0 0 0 0为自由变量，令x =1,x = 0 ，代入相应齐次方程组，得x , xx = -1,x =13令43，代入相应齐次方程组，得421x = 0, x =1x = 0, x =1342，得特解1故x，令= (1,-1,1,0)t= (1,0,0,1)tx = 0, x = 0= (1,0,0,0)h（ 为任意常xt1234方程组的通解为数）x1 1x hx =

16、 k + k + = (k + k +1,-k ,k ,k )k ,kt221211212k + k + -k 所以c =1.112kk1223、（本题满分 11 分） a 设二次型，记 ，1f (x , x , x ) = 2(a x + a x + a x ) + (b x + b x + b x )a = a2 21231 122331 12233a3 b 1= bb 2b （）证明二次型 f 对应的矩阵为3；taa bb2+t专业资料-可修改 -word格式-范文 -范例-（）若 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准a b,形为2y + y2221【考点】二次型的矩阵表示；

17、用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩【难易度】【详解】（）证明：f (x , x , x ) = 2(a x + a x + a x ) + (b x + b x + b x )21231 122331 1223 3 a x b x 1111= 2(x , x , x ) a (a ,a ,a ) x + (x , x , x ) b (b ,b ,b ) x 1232123212321232axb x 3333 x 1，其中aa bbaa bb+t t= (x , x , x )(2+) x = x ax=a 2ttt 1232x 所以二次型 f 对应的矩阵为3.aa bb2+tt（）由于 正交，故a ba b ab= = 0t t,因 均为单位向量，故，即.同理ta ba = a a =a ab b=1,t1t