1-6 极限运算法则、1-7两个重要极限[优教课堂]

1、二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第六节极限运算法则 1课堂教育 时, 有,min 21 一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则 定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证证: 考虑两个无穷小的和 .设 ,0lim 0 xx ,0lim 0 xx ,0,0 1 当 10 0 xx时 , 有 2 , 0 2 当 20 0 xx时 , 有 2 取则当 0 0 xx 22 因此 .0)(lim 0 xx 这说明当 0 xx 时,为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2课堂

2、教育 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 ! 例如，例如， nnnn n n 222 1 2 11 lim 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 1 ,n n 时是又如无穷小， .1 1 不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但 n n 3课堂教育 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设 , ),( 10 xx Mu 又设 ,0lim 0 xx 即,0 ,0 2 当),( 20 xx 时, 有 M 取,min 21 则当),( 0 xx 时 , 就有 uu M M 故,0lim 0 u xx 即u是

3、 0 xx 时的无穷小 . 推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4课堂教育 o y x 例例1. 求. sin lim x x x 解解: 1sinx 0 1 lim xx 由定理 2 可知.0 sin lim x x x x x y sin 说明说明 : y = 0 是 x x y sin 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5课堂教育 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 ,)(lim,)(limBxgAxf则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxf 证

4、证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有 BxgAxf)(,)( (其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf )()(BA 由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小 BA 的关系定理 , 知定理结论成立 .可推广到有限个. 定理定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6课堂教育 定理定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf则有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxf 提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC(

5、 C 为常数 ) 推论推论 2 . nn xfxf )(lim)(lim( n 为正整数 ) 例例2. 设 n 次多项式,)( 10 n nn xaxaaxP试证 ).()(lim 0 0 xPxP nn xx 证证: )(lim 0 xP n xx 0 a xa xx 0 lim 1 n xx n xa 0 lim )( 0 xP n BA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7课堂教育 为无穷小 (详见详见P44) B 2 B 1 )( 1 xg )( 0 xx 定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有 )( )( lim xg xf )(lim )(li

6、m xg xf 证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有 ,)(,)(BxgAxf其中, 设 B A xg xf )( )( B A B A )( 1 BB )(AB B A 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 B A xg xf )( )( lim )(lim )(lim xg xf B A xg xf )( )( 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8课堂教育 定理定理6 . 若,lim,limByAx n n n n 则有 )(lim) 1 ( nn n yx nn n yx lim)2( ,00)3(时且当Byn B A y x n n n lim BA BA 提

7、示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9课堂教育 3 1 lim 3 x x x 例例3. 设有分式函数, )( )( )( xQ xP xR其中)(, )(xQxP都是 多项式 ,0)( 0 xQ试证: . )()(lim 0 0 xRxR xx 证证: )(lim 0 xR xx )(lim )(lim 0 0 xQ xP xx xx )( )( 0 0 xQ xP )( 0 xR 说明说明: 若,0)( 0 xQ 不能直接用商的运算法则 . 例例4. 9 34 lim 2 2 3 x xx x

8、)3)(3( ) 1)(3( lim 3 xx xx x 6 2 3 1 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10课堂教育 例例5 . 求 . 45 32 lim 2 1 xx x x 解解: x = 1 时 32 45 lim 2 1 x xx x 0 312 41512 45 32 lim 2 1 xx x x 分母 = 0 , 分子0 ,但因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11课堂教育 例例6 . 求. 125 934 lim 2 2 xx xx x 解解: x时,分子. 2 2 11 11 25 934 lim x x x x x 分子分母同除以 , 2 x 则 5 4 分母

9、 “ 抓大头抓大头” 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12课堂教育 一般有如下结果：一般有如下结果： 为非负常数 )nmba,0( 00 mn 当 m mm x axaxa 1 10 lim n nn bxbxb 1 10 , 0 0 b a ,0 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当 mn 当 13课堂教育 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 定理定理7. 设 0 lim( ), xx xa 且 x 满足 10 0 xx时, ( ),xa又,)(limAuf au 则有 0 lim ( ) xx fx Auf au )(lim 证证: Auf au

10、)(lim,0,0当au0 时, 有 Auf)( 0 lim( ) xx xa ,0,0 2 当 20 0 xx时, 有( ) xa 对上述 取,min 21 则当 0 0 xx时 ( ) xaau 故 0 Axf)(Auf)( , 因此式成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 14课堂教育 定理定理7. 设,)(lim 0 ax xx 且 x 满足 10 0 xx时, ,)(ax 又,)(limAuf au 则有 )(lim 0 xf xx Auf au )(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim 0 x xx 则类似可得 )(lim 0 xf xx Auf u )(lim 机

11、动 目录 上页 下页 返回 结束 15课堂教育 例例7. 求求 解解: 令 . 9 3 lim 2 3 x x x 9 3 2 x x u 已知 u x3 lim 6 1 原式 = u u 6 1 lim 6 1 6 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16课堂教育 例例8 . 求求 解解: . 1 1 lim 1 x x x 1 1 lim 1 x x x 1 ) 1)(1( lim 1 x xx x ) 1(lim 1 x x 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 17课堂教育 内容小结内容小结 1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极

12、限运算法则 注意使用条件！使用条件！ 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 0 ) 1xx 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 0 )2xx 时, 对 0 0 型 , 约去公因子 x)3时 , 分子分母同除最高次幂 (2) 复合函数极限求法设中间变量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18课堂教育 思考题思考题 若若0)( xf，且且Axf x )(lim， 问问：能能否否保保证证有有0 A的的结结论论？试试举举例例说说明明. 19课堂教育 思考题解答思考题解答 不能保证不能保证. 例例 x xf 1 )( , 0 x有有0 1 )( x xf )(limxf x . 0 1

13、lim A x x 20课堂教育 作业作业 P20 .A:1,3，5,7,9 B:2 21课堂教育 二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、极限存在准则一、极限存在准则 第七节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 22课堂教育 一、极限存在准则 1.夹逼准则夹逼准则 准则准则 如果数列如果数列 nn yx ,及及 n z满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2( )3 , 2 , 1()1( azay nzxy n n n n nnn 那那么么数列数列 n x的极限存在的极限存在, , 且且axn n lim. . 证证,azay nn 使得使得, 0

14、, 0, 0 21 NN 23课堂教育 , 1 ayNn n 时恒有时恒有当当 ,max 21 NNN 取取 恒有恒有时时当当,Nn , aya n 即即 , 2 azNn n 时恒有时恒有当当 , aza n 上两式同时成立上两式同时成立, , azxya nnn ,成立成立即即 axn.limaxn n 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 24课堂教育 准则准则 如果当如果当 0 ()xU x ,( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2( ),()()()1( )()( 00 AxhAxg xhxfxg x xx

15、x xx 那么那么)(lim )( 0 xf x xx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: : . , 的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且 与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关 nn nn zy zy 准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则. 25课堂教育 例例1 1 ). 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn n 求求 解解 , 1 1 1 1 2222 n n nnnnn n n nn n nn 1 1 1 limlim 2 又又 , 1 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n nn , 1 由夹逼定理得由

16、夹逼定理得 . 1) 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn n 26课堂教育 x 1 x 2 x 3 x 1 n x n x 2.单调有界准则单调有界准则 满足条件满足条件如果数列如果数列 n x , 121 nn xxxx单调增加单调增加 , 121 nn xxxx单调减少单调减少 单调数列单调数列 准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 几何解释几何解释: AM 27课堂教育 例例2 2 .) (333 的极限存在的极限存在式式 重根重根证明数列证明数列nxn 证证 , 1nn xx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的 n x , 33 1 x又又, 3 k x假

17、定假定 kk xx 3 1 33 , 3 ;是有界的是有界的 n x .lim存在存在 n n x ,3 1nn xx ,3 2 1nn xx ),3(limlim 2 1n n n n xx ,3 2 AA 2 131 , 2 131 AA解得解得(舍去舍去) . 2 131 lim n n x 28课堂教育 A C 二、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 x x x ) 2 0(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆 ,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有 x o B D .ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线 ,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形

18、,BDOAB的高为的高为 29课堂教育 ,tansinxxx , 1 sin cos x x x即即 .0 2 也成立也成立上式对于上式对于 x, 2 0时时当当 x xxcos11cos0 2 sin2 2 x 2 ) 2 (2 x , 2 2 x , 0 2 lim 2 0 x x , 0)cos1(lim 0 x x , 1coslim 0 x x , 11lim 0 x 又又. 1 sin lim 0 x x x 30课堂教育 例例3 3. cos1 lim 2 0 x x x 求求 解解 2 2 0 2 sin2 lim x x x 原式原式 2 2 0 ) 2 ( 2 sin li

19、m 2 1 x x x 2 0 ) 2 2 sin (lim 2 1 x x x 2 1 2 1 . 2 1 31课堂教育 (2)e x x x ) 1 1(lim 定义定义 e n n n ) 1 1(lim n n n x) 1 1( 设设 2 1 ! 2 )1(1 ! 1 1 n nn n n ). 1 1() 2 1)( 1 1( ! 1 ) 1 1( ! 2 1 11 n n nnnn n nn nnnn1 ! )1()1( 32课堂教育 ). 1 1() 2 2 1)( 1 1 1( )!1( 1 ) 1 1 1() 2 2 1)( 1 1 1( ! 1 ) 1 1 1( ! 2

20、1 11 1 n n nnn n n nnn n xn , 1nn xx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的 n x ! 1 ! 2 1 11 n xn 1 2 1 2 1 11 n 1 2 1 3 n , 3 ;是有界的是有界的 n x .lim存在存在 n n x e n n n ) 1 1(lim记为记为)71828. 2( e 类似地类似地, 33课堂教育 ,1时时当当 x, 1 xxx有有 ,) 1 1() 1 1() 1 1 1( 1 xxx xxx ) 1 1(lim) 1 1(lim) 1 1(lim 1 xxx x x x x x 而而, e 11 ) 1 1 1(lim)

21、 1 1 1(lim ) 1 1 1(lim xx x x x x x x , e .) 1 1(lime x x x 34课堂教育 , xt 令令 t t x x tx ) 1 1(lim) 1 1(lim t t t ) 1 1 1(lim ) 1 1 1() 1 1 1(lim 1 tt t t . e e x x x ) 1 1(lim , 1 x t 令令 t t x x t x) 1 1(lim)1(lim 1 0 . e ex x x 1 0 )1(lim 35课堂教育 例例4 4.) 1 1(lim x x x 求求 解解 x x x ) 1 1( 1 lim 1 ) 1 1(

22、lim x x x 原式原式 . 1 e 例例5 5.) 2 3 (lim 2x x x x 求求 解解 422 ) 2 1 1() 2 1 1(lim xx x x 原式原式. 2 e 36课堂教育 lim x 例例6.6. 求 .)cos(sinlim 11 x xx x 解解: 原式 = 2 )cos(sinlim 2 11 x xx x 2 )sin1 (lim 2 x x x )sin1( 2 x e x x 2 2 sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 2 sin 1 37课堂教育 三、小结 1.两个准则两个准则 2.两个重要极限两个重要极限 夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 . ; 1 sin lim10 某过程某过程 .)1(lim2 1 0 e 某过程某过程 ,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 38课堂教育 思考题思考题 求极限求极限 x xx x 1