人教版A必修5第一章解三角形备课资料

1、1、1、1备课资料第8页共13页、知识总结1判断三角形解的方法已知两边和其中一边的对角 ”解三角形，这类问题分为一解、二解和无解三种情况一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析设已知A、B、A,则利用正弦定理bsin A sin B,a如果sinB 1,则问题无解.如果sinB = 1,则问题有一解;如果求出的sinBv 1,则可得B的两个值，但要通过 三角形内角和定理”或 大边对大角”等三角形 有关性质进行判断.2.利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC,设 BC= A, CA= B,AB= C,作 AD 丄 BC,垂足为 D. 则 Rt a

2、db 中,sinB AD ,AB/ AD=AB sinB=csinB.11abc= a? ADacsi nB.2211同理，可证 Saabc= absinCbcsin A.221 acsin B.211Saabc= absinCbcsin A22/ abs in c=bcs in A=acs inB,在等式两端同除以ABC,可得 sinCcsin Asin BbCsi nC即 Lsin A sinB3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成a b .小 cA=2RsinA,B=2Rsin B,C=2RsinC 或 sinA=,SinB ,SinC.

3、（RABC 外接圆半径）2R2R2R这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用.二、典型例题1.若 ABC 中(A2+B2)sin(A-B)=(A2-B2)sinC,贝忆ABC 是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D .等腰或直角三角形分析：运用正弦定理 A=2RsinA,B=2RsinB 以及结论 sin2A-sin2B =sin(A+B)sin(A-B), 由( A2+ B2) sin(A-B) = (A2- B2)sinC,(sin2A+sin2B)sin(A-B) =(sin2A-sin2B)sinC=sin(A+B) sin(A-B) sinC.若

4、sin(A-B)= 0,则 A = B.若 sin(A-B)丰(则 sin2A+sin2B=sin2CA2+B2=C2. ABC为等腰三角形或直角三角形.故答案选D.2.在 ABC中,A=45 B : C = 4 : 5，最大边长为10,求角B、C,外接圆半径及面积 S. 分析：由 A+B+C=180 及 B : C=4 : 5,可得 B=4K,C=5K,则 9K=135，故 K=15 .那么 B=60 , C =75由正弦定理R厂哙5出血)，2sin 75由面积公式S】bc?sinA 】c?2RsinB?sinA 75 25 3 .2 2点评：求面积时B未知但可转化为B=2RsinB,从而解

5、决问题.3在 ABC中，已知A=30 A、B分别为角A、B对边，且A=4，B=4 . 3，解此三角形.分析：由正弦定理知-sin Ab_4_sin Bsin30竺 sinBsin B.32，C2=4.那么 Bi=60 Ci=90 Ci=8 或 B2=120 C2=30点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有4.已知 ABC的三个内角成等差数列并且tanA tanC =2+ - 3(1 )求A、B、C的度数;(2)若AB边上的高CD=4 . 3，求三边A、B、C的长.分析：(1)由 2B=A+C，得 B=60 贝U A+C=120 ,tanA?tanC 2, 3c

6、osA?cosC即(2+3)COsA COsC-si nA si nC=0sin A?si nC ?3(1+ . 3 )COsA COsC+ (COsA COsC-sinA sinC)=0A(1+ .3) 1 : COs(A+C)+COs(A-C): +COs(A+C)=0213 -1 +COs(A-C) +COs(A+C)=0. COs(A-C)-3 .2 2 2得|A-C|=30。.又 T A+C=120 . A=45 ,C=75 或 A=75 ,C=45.(2)如图若A v B v C,由正弦定理得A=8, B=4 6 , C=BCOsA+ACOsB=4( 3 +1).同理，若 A B

7、C 时，贝U A=4(3+1) , B=46, C =8. 点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧由三个角成等差得 A+C=120,恒等 变形的目标就是寻找 A与C的关系，用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化.45此题还可以由tanA tanC =2+ , 3求出tanA+tanC =3+ 3 ,运用韦达定理解出 tanA和tanC,这对综合能力的训练大有益处.1、1、2备课资料、向量方法证明三角形中的射影定理在厶ABC中设三内角 A、B、C的对边分别是 A、B、C./ AC CB AB , AC?(AC CB) AB?AC. AC? AC AC?CB AB?AC.2I!Ii

8、 | AC ACCBcos(180 C) AB AC cosA. AC CB cosC aB ?cosA.二 b-acosC=ccosA,即 B=ccosA+acosC.类似地有 C =acosB+bcosA,a=bcosC +ccosB.上述三式称为三角形中的射影定理二、解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：(1)已知两角及其中一个角的对边，如A、B、人,解厶ABC.解：根据A+B+C= n ,求出角C;根据一a

9、及一a,求B、C.sin A sinB sin A sinC如果已知的是两角和它们的夹边，如A、B、C,那么先求出第三角 C,然后按照来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.已知两边和它们的夹角，如A、B、。,解厶ABC.解：根据C2=A2+B2-2abcosC,求出边C;b222 根据cosA= cosA-,求出角 A;2bc 由B=180-A-C,求出角B.求出第三边 C后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐 角,应先求A、B较小边所对的角（它一定是锐角）,当然也可以用余弦定理求解.已知两边及其中一条边所对的角，如 a、b、人,解厶ABC.ab解：，经过讨论

10、求出 B;sin A sin B 求出B后，由 A+B+C=180，求角C; 再根据二,求出边C.sin A sinC已知三边 A、B、。,解厶ABC.解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A+B+C=180，求出第三个角 另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角 .（5）已知三角，解厶ABC.解：满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一 三、可解三角形”与 需解三角形”解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容，也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具.但在具体解题时，有些同学面对较为复杂（即图中三角形不止一个

11、）的斜三角形问题, 往往不知如何下手至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量但若明确了可解三角形”和 需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了.所谓可解三角形”是指己经具有三个元素（至少有一边）的三角形；而 需解三角形”则是指 需求边或角所在的三角形当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时，一般来说其中必有一个三角形是可解的，我们就可先求出这个可解三角形”的某些边和角，从而使需解三角形”可 解在确定了可解三角形”和需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型，合理地选择正弦定理 或余弦定理作为解题工具，求出需求元素，并确定解的情况.可解三角形”和 需解

12、三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间.一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析问题的思路也从试试看”做做看”等不大确定的状态而变为 有的放矢”地去挖掘，去探究.1、1、3备课资料、正、余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它，其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决【例1】已知A、B ABC的边，A、B分别是A、B的对角，且3求已丄的值.sin B2 b3 252.A、B、C，且a、b、c成等差

13、数列absin Aa解：sin Asin Bsin Bb又 sin A 2（这是角的关系），sinB 3a 3a b-（这是边的关系）.于是，由合比定理得b 2b【例2】已知 ABC中，三边A、B、C所对的角分别是求证:sinA+sinC=2sinB.证明：/ a、b、c成等差数列， a+c=2B（这是边的关系）.又b，sin A sinB sinCbsi nC - a，sin Bbsi nC csin B将代入，得竺皿竺巴C 2b=2B.sin B sin B整理得sinA+sinC=2sinB（这是角的关系）.二、正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许

14、多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：【例 3】求 sin220 cos280 3 sin20 s80 的值.解：原式=sin220 sin 210 -2sin20 sin10 s150 ；/20+10+150 =180， 20 10 150可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是A、B、C，由余弦定理得a2+b2-2abcos150 C2.(*)而由正弦定理知 A=2Rsin20，B=2Rsin10，C=2Rsin 150，1代入(*)式得 sin220 +sin 210 -2sin20 s10 s150 =sin2150 =-.41原式=.4三、构造正三角

15、通常，我们使用标尺作正三角形以标尺作正三角形，只需相异两点A、B，再配合工具即可分别以A、B点为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于C点， ABC就是正三角形了.因 为，圆A中，AB=AC （半径）；而且圆B中，BA=BC（半径），所以AB=BA=AC.（参见上图）如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢？再者连标尺也没了，那么万能的双手又要如何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成取适当大小的矩形纸张，先对折，取得一边的中垂线；再以 A点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上B点；最后再将B点和A、C点连成三角形（参见右图），就是正三角形了.因为， AC=AB，又B点在中垂 线上

16、，所以，BA=BC，因此，AB=BC=CA.1、2、1备课资料利用余弦定理证明正弦定理在厶 ABC 中，已知 a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,a b csin A sinB sinC证明：由 a2=b+c2-2bccosA，得 cos Ab2c2 a22bcsin2A =1-cos2A =1-(b2c2 a2)2bc2八 222、2(2bc) (b c a )2(2bc)(b c a)(b c a)(a b c)2 24b c2 2 2 2 2 2(2 bc b c a )(2bc b c a )2 24b c2asin B

17、4a2b2c2(a b c)( a b c)(a b c)(a b c)记该式右端为M,同理可得2csin2 C.2 2bc2 M ,2sin B sin C2 .2abM , sin A sin Ba b c sin A sinB sinC1、2、2备课资料备用例题1地平面上有一旗杆 0P，为了测得它的高度 h,在地面上选一基线 AB, AB=20 m,在A点处测 得P点的倾角/ OAP=30,在B点处测得P点的仰角/ OBP=45，又测得/ AOB=60求旗杆的 高度h.（结果保留两个有效数字）思路分析：在看图时要注意结合实际 一一旗杆0P垂直地面，所以 AOP和厶BOP都是直角三 角形.

18、又这两个三角形中各已知一个锐角，那么其他各边均可用h的代数式表示.在 AOB中，已知一边及其对角，另两边均为h的代数式，可利用余弦定理构造方程，解这个方程即求出旗杆高h.解：在 Rt AOP 中，/ OAP=30 , OP=h, OA=OP cot30 3h.在 Rt BOP 中，/ OBP=45 , OB=OP cot45 h.在厶 AOB 中，AB=20 ,Z AOB=60 ,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2 QA8B cos60 即 202=（ . 3h ）13.2+h2-2 3h h 丄，解得 h2= 400 - 176.4/. h-24寸3答：旗杆高度约为13 m.点评：（1）

19、仰角和俯角是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为 仰角，当视线在水平线之下时称为俯角.（2）由余弦定理（正弦定理）构造方程，是解决此问题的关键方程思想是解决问题的一种常用思想方法.2在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时 40千米的速度向东北方向直 线前进，以台风中心为圆心、 300千米为半径的圆称为 台风圈”从此时刻算起，经过多长时 间A进入台风圈？ A处在台风圈中的时间有多长？解：如图，以AB为边，（点P在B点的东北方向上），射线BP即台风中心B的移动方向，以 A点为圆心、300千米 为半径画弧交射线 BP于C、D两点，显然当台风中心从B点到达C点

20、时，A点开始进入台风圈，台风中心在CD上移动的时间即为 A处在台风圈中的时间.设台风中心由B到C要t小时, 在厶ABC中，AB=400 （千米），AC=300 （千米），BC=40t （千米），/ ABC=45由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB BC cos/ ABC, 即 3002=4002+（40t） 2-2 肖00 40t cos45 二 4t2-402t+175=0.t2-tl =40 .220810、2 5210 一 25210 2525（ 一21） =4.6 （小时）10,252=5 （小时）1、2、3备课资料第9页共13页答：经过4.6小时A进入台风圈，A处在台风圈中的时

21、间为 5小时.tanA1(Pa)(Pb)(Pc)2P a ,PB1(Pa)(Pb)(Pc)2P b ,PC1(Pa)(Pb)(Pc)1半角定理在厶ABC中，三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系C ,PPtantan2,其中P= 1 ( a+b+c).A证明：tan 2.A sin _2A cos2因为 si nA 0,cos- 0,2 2所以Asin 2h cosA 卩(1 丄 j22bc 4bc2bc因为所以1P =(a+b+c),2a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c).所以A sin2(P b)(p c)bcAcos2.1 cosA.； 2 2 2 x 2(1 2b

22、c9a b c)(a b c)4bc(b c)2 a24bc(b c a)(b c a)4bcP(P a)bc.AAsi n所以tan22 A cos 2(P b)(p c)bcP(P a)bc(P b)(P c)P(P a)1 (P a)(P b)(P c) P a ,A 1 所以tan2 P(P a)(p b)(p c)B同理，可得tan B21 (P a)(p b)(p c) P b ,第15页共13页C 1(p a)(p b)( p c)tan从上面的证明过程中，我们可以得到用三角形的三条2 P cP边表示半角的正弦和半角的余弦的公式：心 A (p b)(p c) cos A sin,

23、cos 2】 be2同理可得B (p a)(p c) C sin, si n 2, ac2p(p a) bc(p a)(p b),cosB ab2p(p b) cosC ac22用三角形的三边表示它的内角平分线设在 ABC中(如右图),已知三边a、b、c,如果三个角 A、B和C的平分线分别是 tA tB和tc， 那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：ti x- d y cta -Vbcp( p a)； b ctb -vacp(p b);a ctc Jabp(p c) a b证明：设AD是角A的平分线，并且BD=x，DC=y,那么，在 ADC中，由余弦定理，得tA 2=b2+y2-2byco

24、sC,根据三角形内角平分线的性质，得c -,b y所以J gb y因为x+y=a, 所以ab所以y仁2 2将代入，得tab2诜)22bab)cosC b cb222bc a 2a(b c) cosC.2 .2 2因为 cosC a b bc所以ta2_b2(bc22bc 2a(b2c)?-b2 c22abbc(b c)2(b2c2 2bca2)L(a(b c)2b c)(ba)诜严p?2(p a)42 ?bcp(p (b c)a),所以ta、bcp(p a). c口2 2同理，可得 tb： acp( p b) ,tc . abp( p c).a ca b这就是已知三边求三角形内角平分线的公式.

25、3用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在 ABC中,已知三边a、b、c,那么用已知边表示外接圆半径R的公式是abcR.p(p a)(p b)(p c)证明：因为所以sin AR-,S 1bcsi nA,2si nA 22Sbc所以R2sin Aabc4Sabc、P(Pa)(p b)(p c)1、3备课资料 备用例题A、B两点间有小山和小河，为了求A、B两点间的距离，选择一点D,使AD可以直接测量且 B、D两点可以通视，再在AD上选一点C,使B、C两点也可通视，测量下列数据：AC =m,CD=n, / ADB= a / ACB= 3 求 AB.(1) 计算方法如图所示，在 BCD中,CD= n, / CDB=a,DBC = - a.由正弦定理可得bc CD ?sin BDC nsin sin DBC sin( )在厶ABC中，再由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC C COsZ ACB.其中BC可求，AC=m, Z ACB=3故AB可求.(2)