y=ax2+bx+c的图像与性质[向阳教学]

1、 22 2 4 6 44 8 2 1 2 yx 2 2yx 2 yx X 22.2 二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0) 的图象和性质的图象和性质 1基础教学 函数表达式函数表达式 开口开口 方向方向 增减性增减性对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标 2 axy caxy 2 2 hxay a0,a0, 开口开口 向上向上; ; a0,a0,a0,在对称轴在对称轴 左侧左侧,y,y都随都随x x 的增大而减小的增大而减小, , 在对称轴右在对称轴右 侧侧,y,y都随都随 x x的的 增大而增大增大而增大.;.; a0,a0,a= 0, 开口向上开口向上; ; 对称

2、轴对称轴: :直线直线x=6;x=6; 顶点坐标顶点坐标:(6,3).:(6,3). 直接画函数 的图象 216 2 1 2 xxy 2 1 36 2 1 2 xy 4基础教学 直接画函数 的图象 216 2 1 2 xxy 描点、连线，画出函数描点、连线，画出函数 图像图像. . （6,3） O x 5 510 216 2 1 2 xxy 36 2 1 2 xy 问题：问题： 1.看图像说说抛物线 的增减性。 2.怎样平移抛物线 可以得到抛物线 ？ 216 2 1 2 xxy 216 2 1 2 xxy 2 2 1 xy 5基础教学 你学会了吗？你学会了吗？ 研究二次函数研究二次函数y=ax

3、y=ax2 2+bx+c+bx+c的图象，关键是找到的图象，关键是找到 对称轴和顶点坐标对称轴和顶点坐标。通常利用。通常利用配方法配方法把二次把二次 函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c转化为转化为y=a(x-h)y=a(x-h)+k+k的形式，然后确的形式，然后确 定抛物线的开口方向、对称轴和顶点。定抛物线的开口方向、对称轴和顶点。 6基础教学 用配方法求二次函数用配方法求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标的对称轴和顶点坐标 cbxaxy 2 a c x a b xa 2 a c a b a b x a b xa 22 2 22 2 2 2 4 4 2a bac a

4、b xa . 4 4 2 2 2 a bac a b xa . 4 4 2 2 2 a bac a b xay 函数y=ax2+bx+c的顶点式 a2 b -x 对称轴：对称轴：x 顶点坐标：顶点坐标： ） a ac-b ， a b （- 4 4 2 2 7基础教学 函数y=ax2+bx+c的顶点式 . 4 4 2 2 2 a bac a b xay ），（ a4 b-ac4 a2 b - 2 快速反应：根据公式确定下列抛物线的对称轴和顶点快速反应：根据公式确定下列抛物线的对称轴和顶点 坐标。坐标。 1. y=-x2-2x 2. y=-2x2+8x-8 直线直线x=-1（-1,1） 直线直线x

5、=2 （2,0） 8基础教学 一般地，因为抛物线一般地，因为抛物线 的顶点是最低（高）点，的顶点是最低（高）点， 所以当所以当 时，二次函数时，二次函数 有最小（大）值有最小（大）值 cbxaxy 2 a b x 2 a bac 4 4 2 cbxaxy 2 9基础教学 例：指出抛物线例：指出抛物线: : 2 54yxx 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与标、与y轴的交点坐标、与轴的交点坐标、与x轴的交点坐轴的交点坐 标。并画出草图。标。并画出草图。 总结：总结：1、“五点五点”： 顶点坐标顶点坐标 与与y轴的交点坐标轴的交点坐标 与与y轴的交点坐标关

6、于对称轴的对称点轴的交点坐标关于对称轴的对称点 与与x轴的交点坐标（有交点时），轴的交点坐标（有交点时）， 这样就可以画出它的大致图象。这样就可以画出它的大致图象。 ),(c a b 10基础教学 y=2x2-5x+3y=(x-3)(x+2) 求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴 请画出草图请画出草图: 11基础教学 1写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标当写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标当x为何值时为何值时y的的 值最小（大）？值最小（大）？ xxy23 2 xxy2 2 882 2 xxy 34 2 1 2 xxy （4） （3） （

7、2） （1） 练习练习 解解: (1) a = 3 0抛物线开口向上抛物线开口向上 21 2 33 x 顶 2 21 4 33 y 顶 11 , 33 顶点坐标为 1 3 x 对称轴 11 33 xy 最小值 当时，- 12基础教学 解解: a = 1 0抛物线开口向下抛物线开口向下 2 1 21 x 顶 2 2 1 41 y 顶 1,1顶点坐标为 1x 对称轴 11xy 最大值 当时， xxy2 2 （2） 13基础教学 解解: a = 2 0抛物线开口向上抛物线开口向上 4 4 2 0.5 x 顶 2 4 0.5 34 5 4 0.5 y 顶 4, 5顶点坐标为 4x 对称轴 45xy 最

8、小值 当时，- 34 2 1 2 xxy （4） 15基础教学 归纳知识点：归纳知识点： 抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题： （1）a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定 开口向上开口向上 a0 开口向下开口向下a0 交点在交点在x轴下方轴下方c0 与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0 与与x轴无交点轴无交点 b2-4ac0 a- 2a b x- 2a b x- 2a b 最最 值值 当当x= - 时，时， 2a b y有最有最小小值：值： 4a 4ac-b2 当当x= - 时，时， 2a b y有最有最大大值：值： 4a 4ac-b2

9、直线直线x=- 2a b 4a 4ac-b2 - 2a b （ ， ） 30基础教学 矩形场地的周长是矩形场地的周长是60m，一边长为，一边长为l， 则另一边长为则另一边长为 ，场地的面积，场地的面积 探究探究 用总长为用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长随矩形一边长 l 的变化的变化 而变化，当而变化，当 l 是多少时，场地的面积是多少时，场地的面积S最大？最大？ 即即 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是 函数的图象的最高点，也就是说，当函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大取顶点的横坐标时，这个函数有最大 值由公式可求出顶点的横坐标值由公式可求出顶点的横坐标 m l 2 60 分析：先写出分析：先写出S与与 l 的函数关系式，再求出使的函数关系式，再求出使S最大的最大的l值值 Sl ( 30l ) Sl 2 +30l ( 0 l 30 ) l s O 5 10 100 200 15 20 25