数学建模试卷及答案20套

1、第 147 页 共 147 页试题 1一、 填空题1. nls是（ ）估计。2. 引入虚拟变量时，有5个互斥的属性变量，应设置（ ）个虚拟变量。3. 杜宾两步法用于修正（ ）模型（answer in english）。4. 的无偏估计是（ ）。5. 克服自变量与随机扰动项相关影响的一种参数估计方法是（ ）。二、 判断题1. 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。 （ ）2. 若是某线性规划问题的可行解，则也必是该问题的可行解。 （ ）3. 数学模型为线性规划模型。 （ ）4. 数学模型为线性规划模型。 （ ）5. 表达形式是正确的。 （ ）6. 表达形式是正确的。 （ ）7. 表达形式是正确的

2、。 （ ）8. 表达形式是正确的。 （ ）9. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（ols）估计量是有偏的和无效的。 （ ）10. 如果存在异方差，通常使用的t检验和f检验是无效的。 （ ）三、 问答题1. 简述古典回归模型的基本假定。2. 试举出三个模糊集合的例子。3. 叙述leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。4. 静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点？为什么？5. 有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈基本上是相同的，这种论述是否正确？四、 计算题1. 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生们要

3、组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。（2）2.1节中的q值方法。（3）dhondt方法：将a，b，c各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，相除，其商数如下表：12345a235117.578.358.75b333166.511183.25c43221614410886.4将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列

4、表比较。（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。2. 本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，以便对这些问题做出回答。3. 某企业的三种产品要经过三种不同的工序加工。各种产品每一件在各工序所需的加工时间，每天各道工序的加工能力和每一种产品的单位利润如下表所示：工序 每件加工时间/min 工序加工能力（min/d）产品1 产品2 产品311 2 1 43023 1 2 460 31 4 1 420每件利润/元3 2 5 试建

5、立使总利润达到最大的线性规划模型。（不需求解） 4. 给定问题其中为正常数，证明目标函数的最优值由给出。5. 求出下列博弈的所有纳什均衡 博弈方2左 中 右2，01，14，23，41，22，31，30，23，0上中下 博 弈 方 1 6. 我们给定一个三角形，测得三个内角的读数为a=80、b=55、c=45。令i表示“近似等腰三角形”，r表示“近似直角三角形”，e表示“近似正三角形”，它们都是u上的fuzzy集，其隶属函数规定如下：问给定的三角形属于哪一类？7. 判断下列各图是不是欧拉图或半欧拉图？如果是，请找出其中的欧拉通路或欧拉回路。（a） （b） （c）8. 对于古典线形回归模型，证明：

6、 （1） （2） （3） 参考答案试题 1一、 填空题1 非线性最小二乘估计2 43 autocorrlation45 工具变量法或tls二、 判断题1. 错。2. 错。3. 错。4. 对。5. 错。6. 错。7. 对。8. 错。9. 错。异方差不影响无偏性。10. 对。三、 问答题1.1)解释变量x为非随机变量，即在重复抽样过程中，x取值是可控的、固定的。2)零均值假定：e（）=0，即随机误差项的平均值为零。3)同方差假定：d（）=2（常数），即各随机误差项的离散程度（或波动幅度）是相同的。4)非自相关假定：cov（，）=0（ij），即随机误差项之间是互不相关、互不影响的。5)解释变量与随机

7、误差项不相关假定，cov（xi，）=0（或e（xi）=0），即解释变量与随机误差项互不相关，彼此独立的对y产生影响。6)无多重共线性假定，即解释变量之间不存在完全的线性关系。2. 答案略。3. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1), 是一种差分方程模型. 4. 答案：静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略是他们针对自己各种可能的类型如何作相应的完整计划。或者换句话说，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略就是类型空间到行为空间的一个函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是离散函数，当博弈方的类型空间是连续区间或空间时则是连续函数。只有一种

8、类型的博弈方的策略仍然是一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数。静态贝叶斯博弈中博弈方的策略之所以必须是针对自己所有可能类型的函数，原因是博弈方相互会认为其他博弈方可能属于每种类型，因此会考虑其他博弈方所有可能类型下的行为选择，并以此作为自己行为选择的根据。因此各个博弈方必须设定自己在所有各种可能类型下的最优行为，而不仅仅只考虑针对真实类型的行为选择。5. 答案：正确。事实上，不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈本质上常常是相同的，是一种博弈问题的两种不同理解方法，而把它们联系起来的桥梁就是海萨尼转换。 四、 计算题1. 按照题目所给方法（1），（2），（3）的席位分配结果如下

9、表：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）a322443b333555c455667总计1010101515152. 这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是一般地讨论传染病的蔓延过程。下面分三步讨论这个问题。 模型i 假设病人(带菌者)通过接触(空气、食物、)将病菌传播给健康者。单位时间内一个病人能传播的人数是常数。记时刻的病人数为，由假设可知即 (1)设开始时有个病人,即(2)方程(1)在初始条件(2)下的解为(3)这个结果表明，病人人数将按指数规律无限增加，与实际情况明显地不相符合。事实上，一个地区的总人数大致可视为常数(不考虑瘟疫流行时期出生和迁移的人数），而在瘟疫流行期间，

10、一个病人单位时间能传播的人数则是在改变的。在传染病流行的初期，较大，随着病人的增多，健康者的减少，被传染的机会也将减少，于是变小。所以应该对本模型的假设进行修改。我们进一步讨论下面的模型。模型ii 记时刻的健康者人数为，当总人数不变时，应随着的减少而变小。假设：i）总人数为常数，且(4)ii) 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 ，称传染系数。根据假设ii)，方程(1)中的应为，即 (5)将以(4)式代入得(6)初始条件仍用(2)式，用分离变量法不难求出方程(6)满足条件(2)的解为(7)根据(7)式，单调增加，并且当时，这意味着所有的人最终都要被传染。事实上，由

11、于被传染的病人或者经治愈后而免疫，或者死亡，所以病人人数最终将趋于零。 在模型中也要考虑这个因素。模型ii在传染病流行的前期还是可以应用的，传染病学专家用它来预报传染病高潮到来的时刻，即病人人数增加最快的时刻，为此，利用（6）和（7）式求出(8)达到最大值的时刻即是传染病高潮时刻。由不难得到(9)式中传染系数可由经验和统计数据估计。3. 设分别表示产品1、产品2、产品3的产量，模型为：4. 证明：原问题显然为凸规划问题，故kt点即为极小点。 ，kt条件为：（1） 等价为：，由（2）得 ，故： ，从而因为，所以故5. 答案：首先，运用严格下策反复消去法的思想，不难发现在博弈方1的策略中，下是相对

12、于上的严格下策，因此可以把该策略从博弈方1策略空间中消去。把博弈方1的下策略消去后又可以发现，博弈方2的策略中中是相对于右的严格下策，从而也可以消去。在下面的得益矩阵中相应策略和得益处划水平线和垂直线表示消去了这些策略。两个博弈方中各消去一个策略后的博弈是两人博弈，已经不存在任何严格下策。再应用划线法或箭头法，很容易发现这个博弈中有两个纯策略纳什均衡（4，2），（3，4）。6. 答案：计算按最大隶属原则，这个三角形应归入“近似直角三角形”。7. 答：（a）半欧拉图；（b）欧拉图；（c）都不是。8. 证明：（1）（2）（3）试题 2一、 填空题1. 引入虚拟变量时，有5个互斥的属性变量，应设置（

13、 ）个虚拟变量。2. 杜宾两步法用于修正（ ）模型（answer in english）。3. 的无偏估计是（ ）。4. 克服自变量与随机扰动项相关影响的一种参数估计方法是（ ）。5. granger原因最优滞后期的选择基于（ ）准则。二、 判断题1. 若是某线性规划问题的最优解，则也是该问题的最优解。 （ ）2. 用单纯形法求解标准型的线性规划问题，当所有检验数时，即可判定表中解即为最优解。 （ ）3. 数学模型为线性规划模型。 （ ）4. 表达形式是正确的。 （ ）5. 表达形式是正确的。 （ ）6. 表达形式是正确的。 （ ）7. 表达形式是正确的。 （ ）8. 在存在异方差情况下，常用

14、的ols法总是高估了估计量的标准差。 （ ）9. 当存在序列相关时，ols估计量是有偏的并且也是无效的。 （ ）10. 消除序列相关的一阶差分变换假定自相关系数必须等于1。 （ ）三、 问答题1. 试述戈德菲尔德匡特（goldfeld-quandt）检验的原理和目的。2. 模糊性和随机性有哪些异同？3. 考虑有三个政党参加每次的选举，每次参加投票的选民总人数t=40000保持不变。通常情况下，由于社会、经济、各党的政治主张等多种因素的影响，原来投某党票的选民可能改投其它政党。 随着选民人数喜好的变化，判断选举的趋势。4. 判断下列论述是否正确，并作简单讨论。古玩市场的交易中买卖双方的后悔都来源

15、于自己对古玩价值判断的失误，若预先对价值的判断是正确的，那么交易者肯定不会后悔。5. 判断下列论述是否正确，并作简单讨论。教育程度在劳动力市场招聘员工时受到重视的理由是，经济学已经证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。四、 计算题1. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。（1）分析商品价格c与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。（2）给出单位重

16、量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。2. 某生产车间内有一台机器不断排出co2，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风机通入新鲜空气来降低车间空气中的co2含量，那么，上述做法的清洁效果如何呢？3. 某工厂在计划期内要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及a、b两种原材料的消耗，如下表所示. 设备 1 2 8台时原材料a 4 0 16kg原材料b 0 4 12kg该工厂每生产一件产品可获利2元，每生产一件产品可获利3元.问应如何安排计划使该工厂获利最大？试建立数学模型.4. 企业1的需求函数为，企业2的需求函数为，假

17、设两个企业的生产成本为0，求两个企业同时决策的纳什均衡？5. 设求6. 请找出此无向带权图中顶点a到其余各顶点的最短路径。7. 对于多元线形回归模型，证明：（1）（2）参考答案试题 2一、 填空题1 42 autocorrlation34 工具变量法或tls5 sc施瓦兹准则、或者aic赤池信息准则二、 判断题1. 对。2. 错。3. 对。4. 错。5. 对。6. 错。7. 对。8. 对。9. 错。序列相关不影响无偏性。10. 错。不是必须等于1。三、 问答题1. 目的：检验模型的异方差性。原理：为了检验异方差性，将样本按解释变量后分成两部分，再利用样本1和样本2分别建立回归模型，并求出各自的

18、残差平方和rss1和rss2。如果误差项的离散程度相同（即为同方差的），则rss1与rss2的值应该大致相同；若两者之间存在显著差异，则表明存在异方差性。检验过程中为了“夸大”残差的差异性，一般先在样本中部去掉c个数据（通常取c=n/4），再利用f统计量判断差异的显著性。评价：gq检验适用于检验样本容量较大、异方差性呈递增或递减的情况，而且检验结果与数据剔除个数c的选取有关。2. 答案略。3. 长期来看，各党支持比例趋向稳定向量.4. 答案：错误。即使自己对古玩价值的判断是完全正确的，仍然有可能后悔。因为古玩交易的价格和利益不仅取决于古玩的实际价值和自己的估价，还取决于对方的估价和愿意接受的成

19、交价格，因此仅仅自己作出正确的估价并不等于实现了最大的潜在利益。5. 答案：错误。事实上经济学并没有证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。此外，我们之所以认为教育对劳动力市场招聘员工有重要参考价值，是因为教育除了（很可能）对提高劳动力素质有作用以外，还具有重要的信号机制的作用。也就是说，即使教育并不能提高劳动力素质，往往也可以反映劳动力的素质。四、 计算题1. （1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又因为形状一定时一般有，故商品的价格可表为（为大于0的常数）。（2）单位重量价格，其简图

20、如下：显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。2. 问题分析与假设 清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其co2含量尽管也有但较低。新鲜空气与车间内空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低co2含量。为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同风量排出车间。此问题中的主要变量及参数设为：车间体积：v（单位：立方米），时间：t（单位：分钟），机器产生co2速度：r（单位：立方米/分钟），鼓风机风量：k（单位：立方米/分钟）新鲜空气中co2含量：m%，开始时刻车间空气中co2含量

21、：x0%，t时刻车间空气中co2含量：x(t)%.模型建立 考虑时间区间t，t+t，并利用质量守恒定律：t，t+t内车间空气中co2含量的“增加”等于t，时间内，通入的新鲜空气中co2的量加上机器产生的co2的量减去鼓风机排出的co2的量，即:co2增加量=新鲜空气中含有co2 量+机器产生的co2量排出的co2 量数学上表示出来就是其中. 于是令，取极限便得 其中. 模型求解与分析 此问题是一阶线性非齐次常微分方程的初值问题。 解之得 这就是t时刻车间空气中含co2的百分比。显然，, 否则co2含量只能增加。 令, 则有这说明了，车间空气中co2的含量最多只能降到。由此可见，鼓风机风量越大(

22、k越大)，新鲜空气中co2含量越低(m越小)，净化效果越好。模型的优缺点分析及改进方向：优点：模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的结果与常识基本一致。缺点：建立数学模型时所作出的假设过于简单。改进方向：（1） 考虑新鲜空气和车间内的空气的混合扩散过程重新建模；（2）若要使得车间空气中的co2含量达到一定的指标，确定最优的实施方案。3. 设生产、两种产品分别为件.使利润最大就是使最大；受原材料的限制得到如下不等式： 受设备台时的限制得不等式： 生产量非负：于是得到生产方案的数学模型：，4. 答案：根据问题的假设，两企业的利润函数分别为：各自对自己的价格求偏导

23、数，并令其为0得：分别得到两个企业的反应函数为：联立两个反应函数可解得该博弈得纳什均衡为。5. 答案：6. 答：a到b的最短路为acb，其权为3；a到c的最短路为ac，其权为1；a到d的最短路为acd，其权为3；a到e的最短路为acfe，其权为8；a到f的最短路为acf，其权为6；a到g的最短路为acdg，其权为6；a到h的最短路为acfh，其权为8；7. 答：回归模型用最小二乘法得回归直线q要取得最小值要满足以下条件得：综上所述，得：试题 3一、 填空题1. 杜宾两步法用于修正（ ）模型（answer in english）。2. 的无偏估计是（ ）。3. 克服自变量与随机扰动项相关影响的一

24、种参数估计方法是（ ）。4. granger原因最优滞后期的选择基于（ ）准则。5. 已知f0.01（4，35）=36.8，则r2=_。二、 判断题1. 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。 （ ）2. 若是某线性规划问题的可行解，则也必是该问题的可行解。 （ ）3. 数学模型为线性规划模型。 （ ）4. 数学模型为线性规划模型。 （ ）5. 表达形式是正确的。 （ ）6. 表达形式是正确的。 （ ）7. 表达形式是正确的。 （ ）8. 表达形式是正确的。 （ ）9. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（ols）估计量是有偏的和无效的。 （ ）10. 如果存在异方差，通常使用的t检验和f检验

25、是无效的。 （ ）三、 问答题1. 简述虚拟变量的作用和设置原则。2. 养老保险一般对起保年龄不作太多限制，投保到达退休年龄截止。因此起保年龄越大，每月投保金额越多。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。客户应当如何选择最适合自己的养老金计划？3. 金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额t=5400万的基金,分开放置在位于a城和b城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而a城公司有10%支付基金流动到b城公

26、司,b城公司则有12%支付基金流动到a城公司。其初a城公司基金额为2600万,b城公司基金为2800万。1）按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?2）如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于s=2200万，那么是否需要在必要时调动基金?4. 静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点？为什么？5. 有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈基本上是相同的，这种论述是否正确？四、 计算题1. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如

27、下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454胸围（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析建立模型，再用数据确定参数2. 从事猪的商业性饲养和销售自然是希望获得尽可能大的利润，因此，养猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须首先考虑的问题。如果把饲养技术水平，猪的类型等因素忽略不计，并且不考虑市场需求的变化，那么影响获利大小的一个主要因素就是如何选择猪的售出时机，即何时卖出获利才最大。可能会有人认为，猪养得越大，售出后获利越大

28、。其实不然，精明的饲养者都知道，随着猪的生长，单位时间消耗的饲料费用也会越来越多，但同时其体重的增加速度却不断下降，而销售价格不会随体重的增加而增加，所以饲养时间过长是不合算的。试做出适当的假设，建立猪的最佳销售时机的数学模型。3. 将线性规划问题化为标准形式4. 企业甲和乙都是彩电制造商，他们可以选择生产低档商品或高档商品，得益矩阵如下，（1）该博弈有没有上策均衡？求两个企业同时决策的纳什均衡。若企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，（2）用扩展型表示这一博弈，并求出子博弈的完美纳什均衡。乙高档 低档500，5001000，700700，1000600，600 甲 高档低档5. 影响教师教

29、学质量的因素可以取为四个：=清楚易懂，=教材熟练，=生动有趣，=板书清楚。这样便做出因素集。四种因素的权数分配为（0.5，0.2，0.2，0.1）。评价取集为=（很好，较好，一般，不好）。对于某个教师，请若干人（教师，学生等等），单就来说，若有40%的人说好，50%的人说较好，10%的人说一般，没有人说不好，则得关于的单因素决策向量：（0.4，0.5，0.1，0）类似地有（0.6，0.3，0.1，0）（0.1，0.2，0.6，0.1）（0.1，0.2，0.5，0.2）问该教师的教学质量如何评价？6. 请找出此有向带权图中顶点a到其余各顶点的最短路径。7. 证明：；其中，是一元线形回归模型的判定

30、系数，是y与x的相关系数。参考答案试题 3一、 填空题1 autocorrlation23 工具变量法或tls4 sc施瓦兹准则、或者aic赤池信息准则5 0.8079或者0.81、0.8二、 判断题1. 错。2. 错。3. 错。4. 对。5. 错。6. 错。7. 对。8. 错。9. 错。异方差不影响无偏性。10. 对。三、 问答题1.作用：反应无法度量的定性因素对经济变量的影响，使模型更加准确地反应实际。设置原则：对于一个因素多个类型的虚拟变量：对于有m个不同属性类型的定性因素，应该设置m-1个虚拟变量来反映该因素的影响。对于多个因素各两种类型的虚拟变量：如果有m个定性因素，且每个因素各有两

31、个不同的属性类型，则引入m个虚拟变量。2. 选择所交保险费获利对应利率最大的养老金计划！3. 只要基金总额不少于4840.484万元，无论初始如何分配，最终两家公司都安全！4. 答案：静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略是他们针对自己各种可能的类型如何作相应的完整计划。或者换句话说，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略就是类型空间到行为空间的一个函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是离散函数，当博弈方的类型空间是连续区间或空间时则是连续函数。只有一种类型的博弈方的策略仍然是一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数。静态贝叶斯博弈中博弈方的策略之所以必须是针对自己所有

32、可能类型的函数，原因是博弈方相互会认为其他博弈方可能属于每种类型，因此会考虑其他博弈方所有可能类型下的行为选择，并以此作为自己行为选择的根据。因此各个博弈方必须设定自己在所有各种可能类型下的最优行为，而不仅仅只考虑针对真实类型的行为选择。5. 答案：正确。事实上，不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈本质上常常是相同的，是一种博弈问题的两种不同理解方法，而把它们联系起来的桥梁就是海萨尼转换。 四、 计算题1. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长的立方成正比，即，为比例系数。常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只

33、假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。利用数据估计模型中的系数可得=0.014，=0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量（g）76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483基本上满意。2. 问题分析 设猪开始进行饲养的时刻为，且此时猪的体重为，若为一头猪在t时刻的重量，则有。又设为该品种猪的最大体重，那么由前面分析知其生长速度到达一定程度就会减慢下来，到达最大体重时，生长速度就成为零。依此分析，我们发现猪的体重增长的过

34、程与人口增长过程很类似，通过类比方法可设体重函数满足 其中k是反映猪的生长速度快慢的常数。易见，随着体重的增长，生长速度不断减慢直至为0.又设表示一头猪从开始饲养到t时刻共消耗的饲养费用(包括饲养人员工薪等)，为猪可上市销售的最小体重，为猪从体重增长至所需的饲养时间， 为时刻体重为的猪的单位售价。由于我们的建模目的是寻求使得纯利润尽可能大的猪的售出时刻，因此若t 时刻将猪售出，则销售总收入为 ，而总支出为，于是纯利润为问题就成为求的最大值，即 即问题的主模型。剩下的问题是如何求出 及，其中已由前面方程式确定。分模型假设 （1）本模型只对某一品种的猪进行讨论，涉及猪的性质的其他有关参数均视为常数

35、。（2）由于开始饲养时猪已有一定体重 ，故假定猪随着体重的增长，生长速度不断减慢。（3）猪的体重越大，单位时间消耗的饲养费用就越多，达到最大体重后，单位时间消耗的饲养费为一常数 。（4）通过市场调查知与体重的变化关系很微小，且不考虑市场需求，即可视为常数p。分模型建立 依假设（3），单位时间消耗的饲养费用可具体分解为两部分：一部分与体重有关（如饲料的费用）记为，另一部分为固定费用（如饲养员薪金），自然为。 由平衡原理，单位时间间隔内饲养费用的增加量为其中右端第一项为固定费总值，第二项为与体重有关的费用。利用积分中值定理可得这一部分结果为 于是 两边遍除，并令得 显然有，于是得分模型为 及 分模

36、型求解 可解得易见，k越大，越小，即增长速度越大，饲养费用越小，是符合实际的。主模型求解 可得到所谓最佳售出时间应为其中的一些常数可由如下渠道获得： 可从有关该品种猪的资料中得到；可通过简单的统计工作得到；可从市场上得知。要获得最大利润，价格越高越好，故适当掌握市场信息是必要的；还可看出，猪的最大体重越大，生长速度越快，就越容易获得最大利润。因此养猪应选择最大体重大又生长速度快的品种。3. 令可得到如下的标准形式： 4. 答案：（1） 没有上策均衡，同时决策的纳什均衡为（低档，高档），（高档，低档），或（700，1000），（1000，700）。（2） 本博弈的扩展形如下：用逆推归纳法。如果第

37、一阶段甲选高档，则到了第二阶段，乙会选择低档，因为此时得益700500,结果为（1000，700）；而如果第一阶段甲选低档，到了第二阶段，乙会选高档，因为此时得益1000600,结果为（700，1000）。甲知道乙的选择方法，所以逆推回第一阶段，甲会选择生产高档彩电，因为1000700,所以本博弈的子博弈完美纳什均衡为：甲的策略：选择生产高档产品；乙的策略：若甲选择了生产高档，则选择低档；若甲选择了生产低档，则选择高档。 本博弈的子博弈完美纳什均衡路径为：甲选择生产高档彩电，然后乙选择生产低档彩电。本博弈的双方得益为（1000，700）。5. 答案：作出单因素评判矩阵权数分配为 a=（0.5，

38、0.2，0.2，0.1）容易算出综合评判向量其中其他也是类似算出的，最大值为0.5，故该教师的讲课质量定为较好了。6. 答: a到b的最短路为ab，其权为1；a到c不可达，无最短路；a到d的最短路为ad，其权为3；a到e的最短路为ade，其权为7；a到f的最短路为abf，其权为7；a到g的最短路为abfg，其权为14。7. 证明：试题 4一、 填空题1. 的无偏估计是（ ）。2. 克服自变量与随机扰动项相关影响的一种参数估计方法是（ ）。3. granger原因最优滞后期的选择基于（ ）准则。4. 已知f0.01（4，35）=36.8，则r2=_。5. 前定变量包括（ ）变量和（ ）变量。二、

39、 判断题1. 若是某线性规划问题的最优解，则也是该问题的最优解。 （ ）2. 用单纯形法求解标准型的线性规划问题，当所有检验数时，即可判定表中解即为最优解。 （ ）3. 数学模型为线性规划模型。 （ ）4. 表达形式是正确的。 （ ）5. 表达形式是正确的。 （ ）6. 表达形式是正确的。 （ ）7. 表达形式是正确的。 （ ）8. 在存在异方差情况下，常用的ols法总是高估了估计量的标准差。 （ ）9. 当存在序列相关时，ols估计量是有偏的并且也是无效的。 （ ）10. 消除序列相关的一阶差分变换假定自相关系数必须等于1。 （ ）三、 问答题1. 简述多重共线性产生的原因和影响。2. 简述

40、动态模型和微分方程建模。3. 按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。4. 试建立个人住房抵押贷款模型。贷款期限半年一年三年五年五年以上利率6.126.396.667.207.56表1 中国人民银行贷款利率表贷款期限半年一年三年五年五年以上利率6.126.2556.3906.5256.660表2上海市商业银行住房抵押贷款利率表 贷款期限半年一年三年五年五年以上月还款（元） 到期一次还清444.36 305.99237.26196.41本息总和（元） 10612.0010664.5411015.6311388.7111784.71表3上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表 表2和表3是如何依据

41、中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？5. 判断下列论述是否正确，并作简单讨论。古玩市场的交易中买卖双方的后悔都来源于自己对古玩价值判断的失误，若预先对价值的判断是正确的，那么交易者肯定不会后悔。四、 计算题1. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。2. 意大利生物学家dancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然

42、战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 他无法解释这个现象，于是求助于其岳父，著名的意大利数学家v.volterra，希望建立一个食饵捕食系统的数学模型，定性或定量地回答这个问题.3. 将线性规划问题化为标准形式4. 一个歹徒劫持了小孩，威胁家长如果不付赎金就杀害人质。请按要求写出三种情况下相应的得益矩阵，分析歹徒的心态，求出纳什均衡。家长的策略：付赎金和不付赎金；歹徒的策略：杀死或释放人质。家长的得益：不付赎金，歹徒放人，4分；付赎金，歹徒放人，3分；不付赎金，歹徒撕票，2分；付赎金，歹徒撕票，1分。a歹徒的得益：得到赎金，放人，4分；得到赎金，照样撕票

43、，3分；没得到赎金，放人，2分；没得到赎金，杀人，1分。b歹徒的得益：得到赎金，放人，3分；得到赎金，照样撕票，4分；没得到赎金，放人，1分；没得到赎金，杀人，2分。c歹徒的得益：得到赎金，放人，4分；得到赎金，照样撕票，3分；没得到赎金，放人，1分；没得到赎金，杀人，2分。5. 设，对有：试求。6. 求下列图中的最优投递路线。 （a） （b）7. 如何解释“可以按一定的置信度保证，ols估计量与回归系数b之间的绝对误差不会大于”这一结论。参考答案试题 4一、 填空题12 工具变量法或tls3 sc施瓦兹准则、或者aic赤池信息准则4 0.8079或者0.81、0.85 外生、滞后内生二、 判

44、断题1. 对。2. 错。3. 对。4. 错。5. 对。6. 错。7. 对。8. 对。9. 错。序列相关不影响无偏性。10. 错。不是必须等于1。三、 问答题1.产生原因：（1）经济变量的内在联系是产生多重共线性的根本原因。（2）经济变量变化趋势的“共向性”。（3）解释变量中含有滞后变量。影响：（1）增大ols估计的方差。（2）难以区分每个解释变量的单独影响。（3）t检验的可靠性降低。（4）回归模型缺乏稳定性。2. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对象特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段.微分方程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数

45、, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照内在规律或用类比法建立微分方程.3. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预防传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型.4. 表2的制定: (i) 确定本银行贷款期限等级，不必与央行完全一致。(ii) 根据本银行利率低于（至少不高于）央行利率的原则，确定本银行贷款期限最低与最高等级的利率。(iii) 依据某种原则（如随时间成等差数列），确定本银行其它贷款期限的利率。表3的制定: (i) 以商业贷款10000元为例,贷款采取逐月归还方式偿还。(ii) 不得提前或延期还贷，即在贷款期限最后一个月还清。(iii) 月利率采用将对应年利率平均方式计算。5. 答案：错误。即使自己对古玩价值的判断是完全正确的，仍然有可能后悔。因为古玩交易的价格和利益不仅取决于古玩的实际价值和自己的估价，还取决于对方的估价和愿意接受的成交价格，因此仅仅自己作出正确的估价并不等于实现了最大的潜在利益。四、 计算题1. 将管道展开如图：可得，若d一定，w趋于0，趋于/2；w趋于d，趋于0。若管道长度为，不考虑两端的影响时布条长度显然为d