概率论与数理统计含答案讲解

1、 概率论与数理统计复习大纲与复习题 09-10 第二学期 一、复习方法与要求 学习任何数学课程，要求掌握的都是基本概念、基本定理、基本方法， 概率论与数理统计同样 . 对这些基本内 容，习惯称三基，自己作出罗列与总结是学习的重要一环，希望尝试自己完成 . 学习数学离不开作题，复习时同样 . 正因为要求掌握的是基本内容，将课件中提供的练习题作好就可以了，不必再 找其他题目 . 如开学给出的学习建议中所讲： 作为本科的一门课程，在教材中我们讲述了大纲所要求的基本内容 . 考虑到学员的特点，在学习中可以有所侧重 考试也有所侧重， 期末考试各章内容要求与所占分值如下 ： 第一章 随机事件的关系与运算，

2、概率的基本概念与关系，约占30 分. 第二章 一维随机变量的分布， 约占 25 分. 第三章 二维随机变量的分布，仅要求掌握二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、随机变量独立的 判别与函数分布的确定 . 约占 10 分. 第四章 随机变量的数字特征 . 约占 15 分 . 第五、六、七、八章约占 20 分 . 内容为： 第五章： 契比雪夫不等式与中心极限定理 . 第六章： 2 总体、样本、统计量等术语；常用统计量的定义式与常用分布（ t 分布、 2 分布）；正态总体样 本函数服从分布定理 第七章： 矩估计，点估计的评选标准，一个正态总体期望与方差的区间估计 . 第八章： 一个正态总体期望

3、与方差的假设检验 . 二、期终考试方式与题型 本学期期末考试类型为 集中开卷考试 ，即允许带教材与参考资料 . 题目全部为客观题，题型有判断与选择 . 当然有些题目要通过计算才能得出结果 . 其中判断题占 70 分，每小题 2 分；选择题占 30分，每小题 3 分. 三、应熟练掌握的主要内容 1. 理解概率这一指标的涵义 . . 掌握事件的运算律 2. 理解统计推断依据的原理，即实际推断原理，会用其作出判断 . 3. 理解事件的包含、相等、和、差、积、互斥、对立的定义，掌握样本空间划分的定义 4. 熟练掌握用简单事件的和、差、积、划分等表示复杂事件； 掌握事件的常用变形： A B A AB （

4、使成包含关系的差） ，A B AB （独立时计算概率方便） A B A AB ， A B AB AB AB （使成为互斥事件的和） A AB 1 AB 2AB n （ 其中 B1、 B2、 、Bn 是一个划分） （利用划分将 A转化为若干互斥事件的和） A AB AB （ B与B 即一个划分） 若 A B ，则 A B A, AB B, A B . 5. 掌握古典概型定义，熟悉其概率计算公式 . 掌握摸球、放盒子、排队等教材所举类型概率的计算 . 6. 熟练掌握事件的和、差、积、独立等基本概率公式，以及条件概率、全概、逆概公式，并利用它们计算概率 7. 掌握离散型随机变量分布律的定义、性质，会

5、求简单离散型随机变量的分布律 . 8. 掌握 0-1 分布、二项分布、泊松分布的分布律 . 9. 掌握连续型随机变量的概率密度的定义与性质 . 10. 掌握随机变量分布函数的定义、性质 . 11. 理解连续型随机变量的概率密度曲线、分布函数以及随机变量取值在某一区间上的概率的几何意义 12. 掌握随机变量 X 在区间 （a,b） 内服从均匀分布的定义，会写出 X 的概率密度 . 13. 掌握正态分布 N （ , 2） 概率密度曲线图像； 掌握一般正态分布与标准正态分布的关系定理； 会查正态分布函数表； 理解服从正态分布 N（ , 2 ）的随机变量 X ，其概率 P X与参数 和 的关系. 14

6、. 离散型随机变量有分布律会求分布函数；有分布函数会求分布律 . 15. 连续型随机变量有概率密度会求分布函数；有分布函数，会求概率密度 . 16. 有分布律或概率密度会求事件的概率 . 17. 理解当概率 P（A） 0时，事件 A不一定是不可能事件； 理解当概率 P（A） 1时，事件 A 不一定是必然事件 . 18. 掌握二维离散型随机变量的联合分布律定义； 会利用二维离散型随机变量的联合分布律计算有关事件的概率； 有二维离散型随机变量的联合分布律会求边缘分布律以及判断是否独立； 会确定二维离散型随机变量函数的分布 . 19. 掌握期望、方差定义式与性质，会计算上述数字 20. 掌握 0-1

7、 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的参数与期望、方差的关系 21了解契比雪夫不等式 . 22. 会用中心极限定理计算概率 . 理解拉普拉斯中心极限定理的涵义是： 设随机变量 X 服从二项分布 B(n,p) ，当 n较大时，则 近似 X N ( np, npq ) ，其中 q 1 p 23. 了解样本与样本值的区别，掌握统计量，样本均值与样本方差的定义 . 2 24. 了解 分布、 t 分布的概率密度图象，会查两个分布的分布函数表，确定上 分位点 . 25. 了解正态总体 N ( , 2) 中，样本容量为 n 的样本均值 X 与 (n 12)S 服从的分布 . 2 26.

8、掌握无偏估计量、有效估计量定义 . 27. 会计算参数的矩估计 . 22 28. 会计算正态总体 N ( , 2) 参数 与 2 的区间估计 . 29. 掌握一个正态总体 N ( , 2)，当 2已知或未知时， 的假设检验， 2 的假设检验 . 30. 了解假设检验的两类错误涵义 . 四、复习题 注 为了方便学员复习，提供复习题如下，这些题目都是课件作业题目的改造，二者相辅相成，希望帮助大家学 懂基本知识点 . 期终试卷中 70 分的题目抽自复习题 . (答案供参考) (一)判断题 第一章 随机事件与概率 1. 写出下列随机试验的样本空间 (1) 袋中有编号为 1、2、3、4、5的 5个球，从

9、中随机取 1个，观察取到球的号码，样本空间为 S 1,2,3,4,5 . 正确 (2) 袋中有编号为 1、2、3 的 3个球，从中随机取 2 个，观察取到球的号码， 样本空间为 S (1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3) 错误 解析 同时取 2 个球，不可能取到 2 个号码相同的球，如 (1,1),(2,2),(3,3) ，所以是错误的 . 2. 袋中有编号为 1、2、3、4、5 的 5个球，从中随机取一个 .设 A (取到 1、2、3 号球)，B (取到奇数号 球)，C (取到 3、4、5号球)，D (取到 4、5号球)， E (取到 2号球)，则 (1) A

10、 B (取到 1、1、2、3、3、5 号球) 错误 解析 取到 1 号球是一个结果，即一个样本点，其含在事件A中也含在事件 B中，事件 A B 是将 A， B 的样本 点放到一起构成新的事件， “取到 1号球”仍然是一个样本点，不能记为1、1，同理 3、3 也是错误的 . （2）A B E （取到 2 号球）错误 解析 事件 A B即 A B ，其由属于 A而不属于 B的样本点构成，只有“取到2号球”属于 A，不属于 B，所 以 A B E ，故 A B E 是错误的 . （3）CD（取到 1、2、3、4、5 号球） 错误 解析 事件 CD由属于 C且属于 D的样本点构成， C （取到 3、4

11、、5号球）， D （取到 4、5号球），共同的 样本点为（取到 4、 5号球），所以 CD （取到 4、5 号球），故 CD （取到 1、2、3、4、 5 号球）是错误的 . （4）C D （取到 3 号球）正确 解析 参照对事件 A B 的分析，可知 C D （取到 3号球）是正确的 . （5）A D （取到 1、2、3、4、5 号球） 正确 解析 参照对事件 A B 的分析，可知 A D （取到 1、2、3、4、5 号球）是正确的 . （6）AD （取到 1、2、3、4、5 号球）错误 解析 事件 A, D没有共同的样本点，即事件 A与D互斥， AD，故 AD （取到 1、2、3、4、5号

12、球）是错 误的. （7）A （取到 4，5 号球）；正确 解析 A 为 A 的对立事件，其由所有属于样本空间而不属于事件A的样本点组成。 （8）AB （取到 2、4、5号球） . 正确 解析 先确定 AB ，AB由 A与B共同的样本点组成， AB （取到 1、3号球），AB为 AB的对立事件，所以 AB （取到 2、4、5 号球）是正确的。 （ 9） A C 不等于样本空间 S . 错误 解析 先确定 A C 的内容， A （取到 1、2、3 号球），C （取到 3、4、5 号球）， A与C 的和事件应该为 （取 到 1、2、3、4、5 号球）。而样本空间 S 即所有结果的集合就是 （取到 1

13、、2、3、4、5 号球），所以 A C S 。故称 A C 不等于样本空间 S 是错误的。 3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设 A,B 分别为甲、乙命中目标，用 A,B 事件的关系式表示下列事件，则 （ 1）（甲没命中目标）AB 错误 （ 2）（甲没命中目标）A 正确 解析 事件（甲没命中目标） ，涵义为不考虑乙是否命中， 仅考虑甲，故（2）（甲没命中目标）A是正确的；而 AB 表示事件（甲没命中目标且乙命中目标） ，故（ 1）（甲没命中目标）AB 是错误的 . （ 3）（仅甲命中目标 ） A ； 错误 解析 A为甲命中目标，其不管乙是否命中， 而（仅甲命中目标） 意味乙没有命中目标， 所

14、以（仅甲命中目标） AB。 （4）（甲、乙均命中目标）A B 错误 （ 5）（甲、乙均命中目标）AB 正确 解析 因为 A与B的和事件 A B表示或 A或B，积事件 AB表示 A且B. A,B分别为甲、乙命中目标，所以 A B 表示或甲命中目标，或乙命中目标， AB 表示甲命中目标且乙命中目标，即甲、乙均命中目标，所以（4）错， （ 5）正确 . 4. 一批产品中有 3 件次品，从这批产品中任取 5 件检查，设 Ai （5 件中恰有 i 件次品），i=0,1,2,3叙述下列 事件，则 （1） A 0 （ 5 件中恰有 0 件次品） =（5 件中没有次品） 正确 解析 由事件 Ai的定义，显然

15、A0 （5件中恰有 0件次品） =（5件中没有次品）是正确的 . （2） A0 （5件中恰有 1件次品） 错误 （3）A 0 （ 5 件中至少有 1 件次品） 正确 解析 从这批产品中任取 5件检查，从取到次品的数目的角度可以将样本点分为 3类，没有次品，有 1 件次品， 有 2 件次品，有 3 件次品 . A 0为没有次品，其对立事件为有次品，故有1 件次品， 2 件次品， 3 件次品样本点的总和 为 A0的对立事件 .故（2）A0 （5件中恰有 1件次品）是错误的， （3） A0 （ 5件中至少有 1件次品）是正确的 . （4）A3 （5件中最多有 2件次品） 正确 解析 注意该批产品中有

16、 3件次品，从取到次品数目的角度看，取5件检查次品数最多有 3件.因为 A3为5件中 恰有 3件次品，其对立事件则为没有次品，或有 1件次品，或有 2 件次品，故 A3 （ 5件中最多有 2 件次品）是正确 的. （ 5） A 2 A 3 = （ 5 件中至少有 3 件次品） 错误 （ 6） A 2 A 3 = （ 5 件中至少有 2 件次品） 正确 解析 A2 A3表示或 A2或A3，A2则是有 2件次品，故（ 5）A2 A3 = （ 5件中至少有 3件次品）是错误的， （6）A2 A3 = （5件中至少有 2件次品）是正确的 . 5. 指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？ （ 1） A B

17、 A AB 错误（2） A B AB AB AB 正确 3) A B A AB 正确 4) A B AB 错误 5) ABC ABC 错误 6) ABC A B C 正确 7） 若A B，则 A B A；正确（8） 若A B，则 AB A； 错误 9） 若 A B，则 A B . 错误 10） A B B A；正确（11）若 A,B 互斥，则 A B A 。正确 解析 由下面图示可见 A B A AB AB AB AB ，所以（ 1） A B A AB 是错误的， 2) A B AB AB AB 是正确的 . 由下面图可见 A B A AB AB ，所以（ 3） A B A AB 是正确的，

18、4） A B AB 是错误的 . 5）（6）是考察对事件运算律中德 .摩根律的掌握，显然（ 6） ABC A B C 正确， 5） ABC ABC 错误 . （7）（8）（9） 图（ a）事件 A B，即事件 B的样本点都是事件 A的样本点，故 A B 仍然为 A，所以 A B A是正确的。 AB为事件 A与B共同的样本点构成，因为事件 B的样本点都是事件 A的样本点，故 AB B，所以 AB A是 错误的。 a)(b) (c) 图（ b）红色区域为 A，图（ c）绿色区域为 B ，显然绿色区域包含红色区域，即 A B，所以 A B 是错误 的. （10） A B B A，式的两边均为 A 与

19、 B 的和事件，由事件和的运算满足交换律也可知该式成立。 （11）首先应该清楚事件差的含义，A B 是属于 A而不属于 B 的样本点构成的事件。看下图， A与 B 互斥， 事件 A的所有样本点也只有 A的样本点满足属于 A 而不属于 B ，所以 A B A是正确的。 6. 袋中有编号为 1、2、3、4、5的 5个球，从中随机取一个 .设 A （取到 1、2、3号球）， B （取到奇数号 球），C （取到 3、4、5号球），D （取到 4、5号球）， E （取到 2号球），则 3 （1） P（A）正确 5 解析 等可能概型事件 A 的概率为 P A A 中含样本点数 k k P A 样本点总数

20、n n 随机试验为从 1、2、3、4、5 的 5个球中随机取一个，从取球号数角度看共有5 种可能，即样本空间中含 5 个样 本点，且取到每一个球的可能性相等，该随机试验为等可能概型.事件 A （取到 1、2、3 号球），含三个样本点，所 3 以 P（A）是正确的 . 5 4 （2）P（B E ） P（B） P（E） 正确 5 解析 概率有性质：互斥事件和的概率等于概率的和. 事件 B （取到奇数号球） ， E （取到 2 号球），两事件 3 14 没有共同的样本点，即两事件互斥 . P（B） ,P（E） ，所以 P（B E） P（B） P（E ） 是正确的 . 555 4 （3）P（A E）

21、P（A） P（E ）错误 5 3 4) P(A E ) P(A) 正确 5 解析 方法 1 事件 A (取到 1、2、3号球)，E (取到 2号球)， A与E非互斥， A与 E和的概率为 3113 P(A E) P(A) P(E) P(AE) . 5555 方法 2 因为事件 A包含事件 E ，故 A E A，所以 3 P(A E) P(A) . 5 43 总之(3)P(A E) P(A) P(E)是错误的，(4) P (A E) P(A) 是正确的 . 55 (5) P(A B) P(A) P(B) 错误 4 (6) P(A B )正确 5 解析 事件 A (取到 1、 2、3号球)， B

22、(取到奇数号球) =(取到 1、3、5号球)，事件 A与 B有共同的样 本点，不是互斥的， A与 B的积事件 AB (取到 1、3 号球)，故 3 3 2 4 P(A B) P(A) P(B) P(AB) ， 5 5 5 5 4 所以(5) P(A B) P(A) P(B)是错误的；(6)P(A B) 4是正确的 . 5 3 1 2 (7) P(A E) P(A) P(E) ； 正确 5 5 5 33 (8) P(A B) P(A) P(B) 0； 错误 55 321 (9) P(A B) P(A) P(AB) ； 正确 5 5 5 321 (10) P(A D) P(A) P(D) . 错误

23、 555 解析 (7)、( 8)、(9)、(10)均为计算两个事件茬的概率，两个事件差的概率公式为： 对任意事件有 P(A B) P(A) P(AB) ， 若事件事件 A包含事件 B，则 P(A B) P(A) P(B)。 由题设 A (取到 1、2、3号球)， B (取到奇数号球) ，D (取到 4、5号球)， E (取到 2号球)。 3 1 2 因为事件 A包含事件 E，所以( 7) P(A E) P(A) P(E) 是正确的。 5 5 5 33 而 事 件 A 不 包 含 事 件 B ， 所 以 ( 8 ) P(A B) P(A) P(B) 0 是 错 误 的 ，( 9 ) 55 321

24、 P(A B) P(A) P(AB) 是正确的； 5 5 5 321 同样事件 A不包含事件 D，所以( 10) P(A D) P(A) P(D) 是错误的 . 555 (11) P(A) P(D) ； 正确 ；正确 12) P(AB) 2 5 13) P(CE) 0 ；正确 2 14) P(B A) ；正确 3 15) P(C D ) 1 。正确 解析 （11）该随机试验的样本空间 S （取到 1、2、3、4、5号球），由题设 D （取到 4、5号球），显然 D 取到 1、2、3号球），所以 A D， P（A） P（D）。 12）由题设 A （取到 1、2、3号球），B （取到奇数号球） =

25、（取到 1、3、5号球），故事件 AB （取到 1、 2 3 号球），所以 P（AB） 是正确的。 5 （13）由题设 C （取到 3、4、5 号球），E （取到 2 号球），两事件没有共同的样本点，即两事件互斥，CE为 不可能事件 ，故 P（CE） 0。 （14）P（B A） 的计算有两种方法： 方法 1 条件概率计算公式 P(B A) P(AB) P(A) 由前面的计算结果知道 P(AB) 2，P(A) 3，所以 P(B A) P(AB) 2/5 2 55 P(A)3/ 5 3 方法 2 由条件概率的本质涵义。 P（B A） 为在已知事件 A发生条件下事件 B发生的概率， 由题设 A （取

26、到 1、2、 3号球）， B （取到奇数号球） =（取到 1、3、5 号球）， A发生即已经知道取到的是 1、2、3 号球中的一个，其中只 2 有 1、3号球属于 B，故 A发生条件下事件 B发生的概率 P（B A） 2 。 3 （15）P（C D ）为在已知事件 D发生条件下事件 C发生的概率，由题设 C （取到 3、4、5号球）， D （取到 4、 5号球）， D 发生了，一定是取到了 4、5号球中的一个，无论取到哪一个事件C 均发生，故 P（C D） 1。 7. (1) 设事件 A,B 互斥， P(A) 0.2， P(B) =0.3 ，则 P(A B) 0.5. 正确 2) 设事件 A,

27、B互斥， P(A) 0.2， P(A B) 0.5 则 P(B ) =0.7 . 错误 3) 设P(A) 0.5，P(B) 0.4，P(A B) 0.7， 则P(AB ) 0.2 . 正确 4) 设事件 A,B 相互独立， P(A) 0.2， P(B)=0.3，则 P(AB) 0.5. 错误 5) 设事件 A,B 相互独立， P(A) 0.2， P(B)=0.3，则 P(AB) 0.06.正确 (6) 设事件 A,B 相互独立， P(A) 0.2， P(B)=0.3，则 P(A B) 0.44. 正确 (7)设事件 A, B相互独立 ，P(A) 0.5, P(B) 0.2 ，则P(A B) P

28、(AB) P(A)P(B) 0.4。 正确 解析 (1)参考 6(2)的解析，可知 A,B 互斥， P(A B) P(A) P(B) 0.2 0.3 0.5 所以 P(A B) 0.5 是正确的 . (2)由上面的分析， A,B互斥， P(A B) P(A) P(B) ，故 P(B) P(A B) P(A) 0.5 0.2 0.3 所以 P(B)=0.7 是错误的 . (3)没有 A, B互斥的前提， A与 B两个事件和的概率 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 则 P(AB) P(A) P(B) P(A B) 0.4 0.5 0.7 0.2 ， 所以 P(AB ) 0.2 是正确的

29、 . (4) (5)(6)均在事件 A, B相互独立条件下讨论问题，事件A,B 相互独立必然满足 P(AB) P(A)P(B) ，所以 P(AB) 0.5是错误的， P(AB) 0.06是正确的。 因为 P(A B) P(A) P(B) P(AB) ，所以 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.2 0.3 0.06 0.44 是正确的。 (7)参考 5题中对“(4) A B AB 是错误的”的分析，应该有 A B AB 。又当随机事件 A与 B相 互 独 立 时 ， A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 均 相 互 独 立 ， 故 P(AB) P(A)P(B) 0.4 ， 综

30、 上 有 P( A B) P( A )B (P )A (P )B。 0 . 4 8. 设事件 A B,P(A) 0.5, P(B) 0.2 ，则 (1)P(A B) P(A) P(B) 0.3 正确(2) P(A B) P(A) P(B) 0.7 错误 错误 3)P(A B) P(A) 0.5 正确 (4)P(AB ) 0.5 5) P(AB ) 0.2 正确 6) P(B A) P(B) P(A) 0.3 正确 解析 若事件 A B ，如图 事件 A B，可见 B A ； 且容易得出结论 A B A, AB B ， 又由概率基本性质，若事件 A B ，则 P(A B) P(A) P(B).

31、所以 1) P(A B) P(A B) P(A) P(B) 0.3 是正确的； 2) P(A B) P(A) P(B ) 0.7是错误的，(3) P(A B) P(A) 0.5是正确的； 4) P(AB ) 0.5是错误的，(5) P( AB) P(B) 0.2 是正确的； 6) 因为 P(B) 1 P(B) 0.8, P(A) 1 P(A) 0.5 ， P(B A) P(B) P(A) 0.8 0.5 0.3 是正确的 . 评注 题目 6-8 是在考核对概率基本性质(基本关系式) 的理解 9. 古典概型 (1). 箱中有 2 件次品与 3 件正品，一次取出两个，则 恰取出 1 2 件次品的概

32、率为 12 C52 正确 恰取出 2件次品的概率为 1 A52 错误 恰取出 件次品 1 件正品的概率为 C 1C 1 CC2C523 正确 恰取出 件次品 1 件正品的概率为 11 CA2C523 错误 解析 这是 道等可能概率问题中的超几何概型问题， 从 5 件产品中一次取 2 件共有 C52 种取法， 即总的样本点数 22 为C52 .注意不存在次序问题，不应该用A52 . 21 恰取出 2件次品，只有一种可能 2件次品全取出，即 C22 1 ，所以恰取出 2件次品的概率为 2 是正确的； 2C 52 恰取出 2 件次品的概率为 12 是错误的 . A52 1 1C 1C 1 恰取出 1

33、件次品 1件正品有 C 21C 31种可能，所以恰取出 1件次品 1件正品的概率为 223 是正确的；恰取出 1 2 3C52 件次品 1 件正品的概率为 C21C31 A52 是错误的 . (2). 上中下三本一套的书随机放在书架上，则 11 恰好按上中下顺序放好的概率为131 正确 A33 3 2 1 1 恰好按上中下顺序放好的概率为 1 错误 上下两本放在一起的概率为 上下两本放在一起的概率为 22 正确 A3 错误 解析 上中下三本书摆放共有 A33种可能，恰好按上中下顺序放好仅有一种可能，所以恰好按上中下顺序放好 1 11 的概率为 131是正确的，恰好按上中下顺序放好的概率为1 是

34、错误的. A333213 22 是正确的，上下两本放在一起 将上下两本书作为一个整体，与“中”排队，有A22 2 种排法，而上下两本书又有 A22 2 种排法，故上下两本 22 放在一起共有 A22 A22 2 2 4 放法，所以上下两本放在一起的概率为 2 的概率为 A233 是错误的 评注 题目 9-10 是在考核对等可能概型概率计算的理解 1 11 10. 若P(A) ,P(B) ,P(AB ) 则 2 34 (1) P(B A) 1 正确(2) P(B A) 2 错误 23 3 (3) P(A B ) 正确(4) P(A B) P(A) 错误 4 解析 若 P(A) 0，事件 A有资格

35、做条件，事件 A发生条件下事件 B 的条件概率的定义为 P(B A) P(AB) P(A) 若 P（B） 0，事件 B有资格做条件，事件 B 发生条件下事件 A的条件概率的定义为 P（A B) P(AB) P(B) 111 由题设 P(A) ,P(B ) ,P(AB )，所以(1) 234 P(B A) P(AB) 14 1 P(A) 12 2 1 是正确的，（2） P（B A） 2 23 1 是正确的， P（B） 13 4 4) P(A B) P(A) 是错误的 . 2 次，每次任取一只，作不放回抽样，则 是错误的 . (3) P(A B) P(AB) 4 3 11. 已知 10 只电子元件

36、中有 2 只是次品，在其中取 8 1） P（ 第一次取到正品 ） 正确 10 C1 2） P（ 第一次取到次品 ）12正确 C1 C10 C 1C 1 3 P( ) A120 正确 （4） P（ 第一次取到正品，第二次取到次品） C8C22错误 C120 82 （5）P（ 第一次取到正品，第二次取到次品） 正确 10 9 82 （6）P（ 一次取到正品，一次取到次品 ） 错误 10 9 10，取到正品的样本点数为 8，取到次品的 解析 （1）（2）仅考虑第一次取到正品或次品的概率，总的样本点数为 8 样本点数为 2，所以（ 1） P （第一次取到正品 ） 8 是正确的， 10 C12 （2）P

37、（ 第一次取到次品 ）12是正确的 C110 10 （4）（ 5）用两种方法计算（第一次取到正品，第二次取到次品）事件的概率. 方法 1 样本点总数为 A120 10 9 90 ，（第一次取到正品，第二次取到次品）的样本点数为 1 1 16 C8C2 8 2 16 ，所以 P（ 第一次取到正品，第二次取到次品）. 90 方法 2 设 A （ 第一次取到正品） ， B （ 第二次取到正品） ，则 AB （ 第一次取到正品，第二次取到次品） 8 2 16 P（AB） P（A）P（A B） . 10 9 90 C 1C 12 综上，（ 4） P （第一次取到正品，第二次取到次品 ）82 2 是错误的

38、，错在样本点总数计为 C10 而不 C12010 2 8 2 是 A120 ，没有考虑顺序 .（5）P（ 第一次取到正品，第二次取到次品 ） 是正确的 . 10 9 （6）事件（一次取到正品，一次取到次品）对顺序没要求，可以是第一次取到正品，第二次取到次品，也可以是 第一次取到次品，第二次取到正品 C8C2 16 ，所 10 9 方法 1 样本点总数为 C12045 ，事件（一次取到正品，一次取到次品）所含样本点数为 10 2 以P （一次取到正品，一次取到次品 ） 16 . 45 方法 2 设 A （ 第一次取到正品） ， B （ 第二次取到正品） P（ 一次取到正品，一次取到次品 ) P(

39、AB AB) P(AB) P(AB) 8 2 2 8 16 10 9 10 9 45 82 所以（ 6） P （一次取到正品，一次取到次品） 是错误的 . 10 9 12某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种零件，产量分别占总产量的 P(A)P(B A) P(A)P(B A) 25%、35%、40%，每个车间的产品中， 次品分别占 5%，4%，2%。现在从产品中随意抽检一件，设A1、 A2、 A3分别为抽到甲、乙、丙车间的产品， B为抽到 次品， 1）则在已知取到甲车间产品的条件下取到次品的概率应该记作 P（B A1） ；正确 P（A1 B） ；错误 P（A1B）。错误 则在已知取到次品的条件

40、下取到甲车间产品的概率应该记作 P（A1 B） ；正确 P（B A1） ；错误 P（A1B）。错误 解析 条件概率符号的规定为：作为已知发生的事件写在括号中竖线的右侧另一事件写在括号中竖线的左侧。由 题设 A1 （取到甲车间产品） ，B （抽到次品） ，故在已知取到甲车间产品的条件下取到次品的概率应该记作 P(B A1) ， 是正确的，、均是错误的。 2）则在已知取到甲车间产品的条件下，取到次品的概率 P(B A1) 0.05 。 正确 则在已知取到乙车间产品的条件下，取到次品的概率 P(B A2) 0.04 。 正确 则在已知取到丙车间产品的条件下，取到次品的概率 P(B A3) 0.02

41、。 正确 解析 首先不言而喻的是每件产品会等可能的被取到。题目中给出各车间的次品率，如甲车间的次品率为 0.05 ， 相当于甲车间的产品中次品占全部产品的5%。若已知取到甲车间的产品，此时取到次品的概率即次品占甲车间产品的 比率 5%=0.05，所以 P（B A1） 0.05 是正确的。其余同理。 3）则抽到次品 B 的概率为 P(B) 0.05 0.04 0.02 。错误 P(B) P(A1)P(B A1) P(A2)P(B A2) P(A3)P(B A3) 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 。正确 解析 抽到的次品必然属于甲、乙、丙三个车间中的某一个， A1、 A2

42、、 A3 即是一个完备事件组也称作划分，即 事件 B可以用 A1、A2、 A3划分为互斥的三部分， B A1B A2B A3B 。所以 P(B) P(A1B A2B A3B) P(A1B) P(A2B) P(A3B) 再由乘法公式，如 P(A1B) P(A1)P(B A1) 0.25 0.05，同理可以计算 P(A2B) 、P(A3B)。综上分析可知是正确 的。 P(B) 0.05 0.04 0.02 ，简单的将各车间的次品率相加是错误的。 (4)已经计算得抽到次品 B的概率为 0.0345 ，则在已知抽到次品的条件下抽到甲车间产品的概率为 P(A1 B) P(A1B) P(B) 0.25 0

43、.05 0.0345 正确 P(A1 B) P(B) P(A1B) 0.0345 0.25 0.05 错误 在已知抽到次品的条件下抽到甲车间产品的概率记为 P(A1 B) 是对的，条件概率 P(A1 B) 的定义式为 P(A1 B) P(A1B) ，所以正确，是错误的。 1 P(B) 13.设甲袋中有 6只红球， 4只白球，乙袋中有 7只红球， 3 只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从 乙袋中随机取一球，则： 68 1)两次都取到红球的概率为正确 10 11 2)两次都取到红球的概率为6 7 错误 10 10 3)已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为 4)已知从甲袋取到白球，

44、从乙袋中取到红球的概率为 5)从乙袋中取到红球的概率为6 84 7 ； 10 11 10 11 6)已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率为 错误 10 37 3 7 错误 10 11 正确 68 10 11 6 8 4 7 10 11 10 11 正确 解析 设 A (从甲袋中取到红球) ， B (从乙袋中取到红球) ， (1)(2)P( 两次都取到红球 ) P(AB) P(A)P(B A) 6 8 48 10 11 110 8 其中 P(B A) 的思路是：从甲袋取到红球事件已经发生了，即将 1 个红球放到乙袋中，乙袋中有 11 8 个红球，故此时取到红球的概率为 . 11 11 个球

45、，其中 8 所以（ 1）两次都取到红球的概率为 6 8 是正确的，（ 2）两次都取到红球的概率为 6 7 是错误的 . 10 11 10 10 3）如前面所设，事件“已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球”的概率应该记为 P（B A） ，如上面的分析， 8 P（B A），所以（ 3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为 11 7 是错误的 . 10 4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率是条件概率，即 P（B A）， P（B A） 7 .所以（ 4）已知从 11 37 甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为 3 7 是错误的 . 10 11 （5）从乙袋中取到红球有两种可能，一为

46、从甲袋取到红球且从乙袋中取到红球，另一为从甲袋取到白球且从乙袋 中取到红球，可以用全概公式计算： P(B) P(AB AB) P(AB) P(AB) 6 8 4 7 10 11 10 11 P(A)P(B A) P(A)P(B A) 所以（ 5）从乙袋中取到红球的概率为6 8 4 7 是正确的。 10 11 10 11 6）根据所设事件， “已知从乙袋取到红球，从甲袋中取到红球的概率”应该表示为 P（AB） ，即已知事件 B发 生了，求在事件 B 发生条件下，事件 A发生的条件概率。由逆概公式（贝叶斯公式）有 P(A)P(B A) 68 P(AB) P(AB) P(A)P(B A) 6 180

47、 141 7 ， 11 P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A) 6 8 全打中的概率为 0.2 0.2 0.04 是正确的 . 射击三枪中仅打中一枪的概率为 0.82 0.2 . 10 11 10 所以（ 6）是正确的。 评注 11-13 是在考核对条件概率，乘法公式的理解 14. 某人打靶，命中率为 0.2 ，则下列事件的概率为 1） 第一枪没打中的概率为 0.8 ； 正确（ 2）第二枪没打中的概率为 0.8 ； 正确 3） 第二枪没打中的概率为 0.16 错误 4） 第一枪与第二枪全打中的概率为 0.2 0.2 0.4 错误 5） 第一枪与第二枪全打中的概率为 0.2 0.2

48、 0.04 正确 6） 第三枪第一次打中的概率为 0.82 0.2 . 正确 7） 解析 题目给出“命中率为 0.2 ”，相当于每次打靶命中与否都是相互独立的 . 既然各枪打中的概率为 0.2 ， 各枪 3） P（ 第一枪与第二枪全 2 “第三枪第一次打中” 当然是第一、 二抢没打中， 第三枪打中， 所以(6)第三枪第一次打中的概率为 0.82 0.2 是正确的 . 射击三枪中仅打中一枪，可以是第一枪打中第二、三枪未打中，也可以是第二枪打中第一、三枪未打中，还 可以是第三枪打中第一、二枪未打中，即有三种可能，所以(7)射击三枪中仅打中一枪的概率为 0.82 0.2 是错误的， 正确的是 C31

49、0.82 0.2 3 0.82 0.2 。 15 . 几点概率思想 1) 概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标 正确 2) 频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数 . 正确 3) 实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生 . 正确 4) 实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生 . 错误 第二章 随机变量及其分布 16. 随机变量 X 的分布律为 1 11 3 ，则 1) 1 p3 正确 2) 解析 分布律有性质：所有概率和为 p 2 错误 3 11 1. 故应该有 1 1 33 p 1 ，所以( 1) p 1 是正确的， 3 2 2) p 23 是错误的

50、 . 17. 在 6只同类产品中有 2只次品， 4只正品 .从中每次取一只，共取 5 次， 每次取出产品立即放回， 再取下一只，设 X 为 5 次中取出的次品数，则 1) 第 3 次取到次品的概率为 0. 错误 2) 正确 1 第 3 次取到次品的概率为 1 3 3) 5 次中恰取到 2 只次品的概率 P X 2 C 52 1 33 正确 4) 5 次中恰取到 2 只次品的概率 2 33 错误 正确 5) 最少取到 1 只次品的概率P X11C5012 最少取到 只次品的概率P X11C 533 6) 最少取到 1 只次品的概率 P X 1 C51 13 1 32 4 错误 7） 随机变量 X

51、 的分布律为 P X k C5k 1 2 3 3 k 5 k ； 错误 8） 随机变量 X 的分布律为 P X k C5k 1 2 5 3 3 , k 0,1,2, ,5 . 正确 解析 由题设每次取出产品立即放回，再取下一只，故每次取到次品的概率相同，均为 1 1 ，共取 5 3 B(5,1) ，X k 3 次，每次两个结果， 次品或正品， 该随机试验为 5 重伯努利实验， 5 次中取到的次品数 X 服从二项分布 的概率，即 5次中 恰取到 k 只次品的概率为 所以（ 1） 3） 4） 5） P X k C5k 3123 k 5 k (k 0,1,2,3,4,5) ， 第 3次取到次品的概率

52、为 0是错误的，（2）第 3 次取到次品的概率为 5 次中恰取到 5 次中恰取到 最少取到 1 2 只次品的概率 P X 2 只次品的概率 P X 只次品）的对立事件是 1 是正确的 . 3 2 5 2 2 是正确的， 2 C5 3 3 22 233 是错误的 . 5 次中没取到次品， （没取到次品） 即 X 0 的概率， 5）最少 取到 1 只 次品的 概率 P X 1 1 C50 13 23 05 是正 确的，（6） 最 少取到 1 只次 品 的概率 P X 1 C 51 12是错误的. C5112为 5 次中恰取到 1 只次品的概率，即 X 1 的概率 . 33是错误的C533为 次中恰

53、取到 只次品的概率，即 的概率 求随机变量 X 的分布律，应该将 X 的所有可能取值与取值的概率列出，由前面的分析知道 X k 的概率为 P X kC5k 1323是正确的，（7）错在没有列出 k 的范围，（8）是正确的。 18. 某交通路口一个月内发生交通事故的次数 X 服从参数为 3 的泊松分布 P （3） ，则 （1）该交通路口一个月内发生 3 次交通事故的概率 P X 3 1.错误 32e 3 （ 2）该交通路口一个月内发生 2 次交通事故的概率 P X 2 3 e . 正确 2! 13 3）该交通路口一个月内最多发生1 次交通事故的概率 P X 1 3 e . 错误 4）该交通路口一

54、个月内最多发生1 次交通事故的概率为 0 3 1 3 1 30e 3 31e 3 0! 1! 正确 解 析 泊 松 分 布 P（3） 的分 布 律 为 P X 3ke3 k k! ( k 0,1, 2 例）如 ， X1的 概 率为 31e3 PX 1 1! 3e 3.所以 1）该交通路口一个月内发生 3 次交通事故的概率为 33e3 P X 3 3! 33e3 32e3 ，故 P X 3 1是错 2 误的. 23 2） 该交通路口一个月内发生 2 次交通事故的概率 P X 2 3 e 是正确的 . 2! 3） 4）该交通路口一个月内最多发生 1 次交通事故的概率， 即 X 1 的概率， X 1

55、 X 0 X 1 ， PX 1 P( X 0) (X 1) PX 0 PX 1 0! 30e3 31e 3 1! 4e 3 故（ 4）该交通路口一个月内最多发生1 次交通事故的概率为 P X 0 P X 1 30e 3 31e 3 1! 0! 是正确的， 3e 而称交通路口一个月内最多发生 1 次交通事故的概率为 P X 1 是错误的 . X 1，取到白球令 X 0 ，则 1! 1）称 X 为服从 0 1分布 . 正确 2） X 为连续型随机变量 . 错误 10 10 3） X 的分布律为 32 . 错误 （ 4） X 的分布律为 2 3 . 正确 55 55 0, x 0, 19. 袋中有

56、2 个红球 3 个白球，从中随机取一个球，当取到红球令 3 5） X 的分布函数为 F（x） 3, 0 x 1, 错误 5 1, x 1. 0, x 0, 3 6) X 的分布函数为 F(x) 3, 0 x 1, 正确 5 1, x 1. 解析 由题设 X 仅取数 0 与 1，且 X 取 0 与 1 的概率均大于 0，所以（ 1）称 X 为服从 0 1 分布是正确的 0 1分布是离散型随机变量的分布， X 服从 0 1分布，显然不会是连续型随机变量，所以（2） X 为连续型随 机变量是错误的 因为 X 1 的概率即取到红球的概率， 1 23 故 P X 1， P X 0，所以（ 3）X 的分布

57、律为 3 55 5 0 2是 5 10 错误的，（ 4） X 的分布律为 2 3 是正确的 . 55 随机变量 X 的分布函数 F（x） 的定义为 F（ x） P X x x 。R当 x 0 时分布函数的函数值 33 F（0） P X 0 ，即随机变量 X 取值小于或等于 0 的概率，应该为 ，即 F（0） PX 0 ，而（ 5 ）定义 55 1 的概率，应该为 1， 3 5)定义 F(1)， 5 显然（ 5）也是错误的。而（ 6）是正确的。 F（0） 0 ，显然（ 5）是错误的。再分析 x 1时分布函数的函数值 F（1） PX 1 ，即随机变量 X 取值小于或等于 0 x 0 20. 设随机

58、变量 X 的分布函数为 F（x） 1 0 x 1，则 3 1 x 1 1） PX 0.5 0 错误 （ 2） PX 0.5 1 3 正确 3） PX 0.5 0 正确 （4） PX 0.5 1 3 错误 5） P0.5 X 1.5 2 正确 3 （6） P0.5 X 1 .5 1 错误 7） X的分布律为 0 21 . 正确 （8） X的分布律为 0 1 13 错误 13 23 正确 23 解析 分布函数的定义为 F（x） PX x ，例如 F （2）就是 X 2的概率， F（2） PX 2. 该题分布函数为分段函数，例如 当 x2，因为 2 0，所以 F( 2) 0，即 F( 2) PX 2

59、 0； 11 当 x 0.3,因为 0 0.3 1，所以 F (0.3) ，即 F (0.3) PX 0.3 ； 33 当 x 3, 因为 3 1，所以 F(3) 1，即 F(3) P X 3 1. 利用上面知识分析（1）（2） PX 0.5 ：由分布函数定义， PX 0.5 F （0.5） ，而 0 0.5 1，所以 11 PX 0.5 F （0.5） ，故（1）PX 0.5 0 是错误的 .（2）PX 0.5 是正确的 . 33 1 该分布函数值仅在 x 0与 x 1两处有变化，即当 x由小于 0 变到等于 0时，分布函数值由 0增加到 ，增加 3 1 111 了 ，故增加的 即 X 0

60、的概率，也即 PX 0；当 x 由小于 1 变到等于 1 时，分布函数值由 增加到 1，增 3333 2 22 加了 2 ，故增加的 2 即 X 1 的概率，也即 P X 1 2 . 3 33 分布函数的图像更清楚地展示了上述规律，见图 01 10 21 ， X 在其他各点的概率为 0. 故 13 23 分布函数仅在 x 0与x 1两处有跳跃，所以随机变量 X 的分布律为 7) X 的分布律为 1 2 是正确的， (8) X 的分布律为 20 1 01 是错误的 . 3) PX 0.5 0 是正确的， 4)PX 0.5 是错误的 . 3 由分布函数的定义 F(x) PX x 可以知道 Pa X